1、3.1.1方程的根与函数的零点(1)一.教材分析从教材编写的顺序来看，方程的根与函数的零点是必修1第三章函数的应用一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函
2、数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想.二.教学目标1.知识与技能：掌握函数零点的概念，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，学会用函数的方法求解方程的根。2.过程与方法：由观察几个具体的方程与相应函数的图象，发现方程的根与函数的零点之间的关系，培养学生观察和发现的能力，以及从特殊到一般的方法；继续培养学生数形结合的方法；学会用函数的思想方法解决方程的根的问题。3.情感态度价值观：通过本节课学习，让学生继续体验 “从特殊到一般”的认知规律，体会函数在解决问题中的魅力。三.教学重点难点1.教学重点：函数零点的概念，方程的根与函数零
3、点之间的联系，用函数的方法求解方程的根；2.教学难点：方程的根与函数零点之间的联系，用函数的方法求解方程的根。四.教学准备：1.教学用具：多媒体课件2.教法和学法：引导探索发现法以及小组合作交流的学习方法五.教学过程设计 （一）创设情景，引入课题问题1：如何求方程3x26x1=0的实数根.问题2：如何求方程3x56x1=0的实数根.(一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度利用函数来解决这个方程的问题。)设计意图：从学生的认知
4、冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标（二）新知探究1.零点的概念问题1：求方程x22x30的实数根，并画出函数yx22x3的图象； 分析：方程x22x30的实数根为-1、3。函数yx22x3的图象如图所示。 问题2：观察形式上函数yx22x3与相应方程x22x30的联系。函数y0时的表达式就是方程x22x30。问题3：由于形式上的联系，则方程x22x30的实数根在函数yx22x3的图象中如何体现？y0即为x轴，所以方程x22x30的实数根就是y
5、x22x3的图象与x轴的交点横坐标。设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。初步提出零点的概念：-1、3既是方程x22x30的根，又是函数yx22x3在y0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。问题4：函数yx22x1和函数yx22x3零点分别是什么？函数yx22x1的零点是-1。函数yx22x3不存在零点。设计意图：应用定义，加深对概念的理解。提出零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点（zero point）2.函数零点的
6、判定：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。 问题5：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？ 第一组：第二组：第一组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第二组中他的行程就不一定曾渡过河。设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。问题6： 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？A、B两
7、点在x轴的两侧.设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。问题7：A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号(式子)来表示？A、B两点在x轴的两侧。可以用f(a)f(b)0来表示。设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。问题8：满足条件的函数图象与x轴的交点一定在(a,b)内吗？即函数的零点一定在(a,b)内吗？一定在区间(a,b)上。若交点不在(a,b)上，则它不是函数图象。设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对
8、函数的定义有进一步的理解。通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：一般地，我们有：如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)f(b)0，那么函数yf（x）在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f（c）=0，这个c也就是方程f(x)0的根（三）新知应用与深化例题 :求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数分析：用计算器或计算机作出x和f(x)的对应值表和图象。x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表可知，f(2)0,则，这说明函数在区间(2，3)内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点是只有唯一一个设计意图：学生应用零点存在性定理来解决例题中的函数的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。课堂练习：P88 1.求函数的零点. 2.利用信息技术作出函数的图象，并指出函数的零点存在的区间.（四）总结归纳通过引导让学生回顾零点概念、意义与求法，以及零点存在性判断，鼓励学生积极回答，然后老师再从数学思想方面进行总结（五）作业：1.P88 练习1(2),(3),(4)2.已知(1)m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；(2)如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值