1、 北京市西城区2005年抽样测试 2005.1高三数学试卷（理科） 学校_班级_姓名_题号一二三总分151617181920分数本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟。第一卷 （选择题 共40分）参考公式： 如果事件、互斥，那么 如果事件、相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）已知集合，则（ ）D （A） （B） （C） （D）（2）等比数列中，则公比等于（ ）C （A） （B） （C） （D）（3
2、）设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ）（A）第象限 （B）第象限 （C）第象限 （D）第象限 D（4）下面四个图形中，与函数（）的图像关于直线对称的是（ ）B （A） （B） （C） （D）（5）曲线（为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）（A）1 （B） （C） （D） B（6）已知命题：函数的图像必过定点；命题：若函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称. 则（ ）C （A）“”为真 （B）“”为假 （C）真假 （D）假真（7）已知向量a和b的夹角为，a，b，则（2 a b） a等于（ ） B（A）15 （B）12 （C）6 （D）3（8）定义在R上的奇函数在上是
3、增函数，又，则可表达为（ ）A （A） （B）（C） （D）北京市西城区2005年抽样测试学校_班级_姓名_第二卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9） _. 3（10）若展开式的第7项为，则实数等于_. （11）双曲线与椭圆有相同的焦点，并且一条准线方程为，则双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程是_. ；（12）不等式组表示的区域为，是定义在上的目标函数，则区域的面积为_；的最大值为 _. ；（13）已知函数，则_； 不等式的解集是_. （14）如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数在区间内单调递增；函数在区间内单调递
4、减；函数在区间内单调递增；当时，函数有极小值；当时，函数有极大值；则上述判断中正确的是_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分12分）已知，（）.（）求的值；（）求满足的锐角.（16）（本小题满分13分）在同一时间里，有甲、乙两个天气预报站相互独立的对本地天气进行预测，根据以往的统计规律，甲预报站对天气预测的准确率为0.8，乙预报站对天气预测的准确率为0.75. 求在同一时间内：（）甲、乙两个天气预报站同时预报准确的概率；（）至少有一个预报站预报准确的概率；（）如果甲站独立预报3次，试写出预报准确次数的概率分布及期望.（17）（本
5、小题满分14分）数列是公差的等差数列，其前项和为，且.（）求数列的通项；（）求；（）将前项和表示成关于的函数.（18）（本小题满分14分）已知椭圆（）与直线相交于两点、，椭圆的离心率为.（）当椭圆的右准线方程为，时，求的长度及中点的坐标；（）当，并且（为坐标原点）时，求椭圆长轴的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知函数，其中是自然对数的底数.（）判断在上的单调性；（）当时，求在上的最小值.（20）（本小题满分13分）已知数列各项均为正数，并且.（）若，（），求证：；（）若（），求证：；.参考答案： 一、选择题（1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）C （7）B （8）A二
6、、填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）（9）3 （10） （11）；（12） ； （13） （14） 三、解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）（15）解：（）因为，所以， 2分 所以， 4分 由，所以. 6分（）因为， 所以， 8分 所以， 10分因为为锐角，所以. 12分（16）解：（）设“甲天气预报站预报准确”，“乙天气预报站预报准确”. 则， . 3分（）所求事件的概率等于 6分 8分（）设表示预测准确次数. 则. 10分01230.0080.0960.3840.512 的概率分布为 12分 . 13分（17）解：（）由已知 2分 因为，所以，即， 因
7、为，所以，即 4分 由解得. 6分 所以. 8分（）， 9分所以. 11分（）由得，又，所以， 14分（18）解：（）设，由已知， 解得， 2分 所以椭圆方程为， 由 得， 所以，所以， . 4分由 ，中点的横坐标为，代入直线方程，得中点的纵坐标为，所以中点坐标为. 6分（）由 消去得， 由题意，即（*） 此时， 8分 由得， 10分 又，所以， 将代入，得， 由得，代入上式，整理得， 12分 由已知，所以，满足（*）式的条件， 所以. 14分（19）解：（）由已知. 4分 因为，以下讨论函数值的情况. 当时，即，所以在上是减函数. 6分 当时，的判别式， 所以，即，所以在上是减函数. 8分 当时，有两个根，并且，所以， 在区间上，即，在此区间上是增函数. 在区间上，即，在此区间上是减函数. 在区间上，即，在此区间上是增函数. 11分 综上，当时，在上是减函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（）当时，12分所以，在区间上，函数单调递减， 13分所以，函数在区间上的最小值为. 14分（20）解：（）因为，所以，函数（）是增函数， 2分由已知，所以. 4分（）因为，（），所以， 所以（）， 6分 所以， 所以， 所以， 所以. 8分（）由已知，（因为） 11分所以 13分