1、2014-2015学年河南省驻马店市正阳高中高二（上）第二次质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1设集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，3，4，则U（AB）=( )A2，3B1，4，5C4，5D1，52若命题“pq”为假，且“q”为假，则( )A“pq”为假Bp假Cp真D不能判断q的真假3过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为( )AB2C3D4曲线y=x3+1在点（1，0）处的切线方程为( )A3x+y+3=0B3xy+3=0C3xy=0D3xy3=05某校从高一年级学生中随机抽
2、取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A588B480C450D1206执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为( )A105B16C15D17口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为( )ABCD8设函数f（x）=xex，则( )Ax=1为f（x）的极大值点Bx=1为f（x）的极小值点
3、Cx=1为f（x）的极大值点Dx=1为f（x）的极小值点9已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )Ay=2xBCD10函数y=2x312x在区间1，3上的最大值和最小值分别为( )A18，8B54，12C8，8D10，811已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则等于( )ABCD12抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36，则p=( )A2B4C6D8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图，这
4、12位同学购书费用的中位数是_14已知x，y的值如表所示：x234y546如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，那么b=_15已知条件p：xa，条件q：x2+x20，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_16已知以y=x为渐近线的双曲线D：=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的最大值是_三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17设F1，F2分别是短轴长为6的椭圆E：+=1（ab0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且ABF2的周长为16（1）求椭圆的标准方程；（2）点P为E上一点，若PF1=3，求PF2
5、的长度18某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查（）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率19已知命题P：a2a，命题Q：对任何xR，都有x2+4ax+10，命题P且Q为假，P或Q为真，求实数a的取值范围20已知f（x）=x3+ax2a2x+2（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若a0，求函数f（x）的单调区间21已知函数f（x）=x22lnx，h（x）=x2x
6、+a（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）g（x），若函数k（x）在1，3上恰有两个不同零点求实数a的取值范围22已知曲线上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=3的距离小2（）求曲线的方程；（）曲线在点P处的切线l与x轴交于点A直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论2014-2015学年河南省驻马店市正阳高中高二（上）第二次质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个
7、是符合题目要求的.1设集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，3，4，则U（AB）=( )A2，3B1，4，5C4，5D1，5【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】求出集合AB，然后求出它的补集即可【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，3，4所以AB=1，2，32，3，4=2，3；U（AB）=1，4，5；故选B【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型2若命题“pq”为假，且“q”为假，则( )A“pq”为假Bp假Cp真D不能判断q的真假【考点】复合命题的真假 【专题】常规题型；简易逻辑【分析】由命题“pq”为假，且“q”为假，可知
8、q为真，p为假；从而判断四个选项即可【解答】解：命题“pq”为假，且“q”为假，q为真，p为假；则pq为真，故选B【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题3过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为( )AB2C3D【考点】椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的标准方程即可得出c，进而得出弦AB的坐标及弦长【解答】解：椭圆+=1，可得a2=4，b2=3，c=1不妨取焦点F（1，0），过焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦为AB，+=1，解得y=弦长|AB|=2=3故选：C【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键4曲线y=x3+1在点（1，0）
9、处的切线方程为( )A3x+y+3=0B3xy+3=0C3xy=0D3xy3=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的概念及应用【分析】先求出函数y=x3+1的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可【解答】解：y=3x2y|x=1=3，切点为（1，0）曲线y=x3+1在点（1，0）切线方程为y0=3x（1），即3xy+3=0故选B【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题5某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40，50），50，60），60，70），70，80）
10、，80，90），90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A588B480C450D120【考点】频率分布直方图 【专题】图表型【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率总数可求出所求【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为110（0.005+0.015）=0.8 由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为6000.8=480人故选B【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考
11、查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力6执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为( )A105B16C15D1【考点】循环结构 【专题】算法和程序框图【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=135（2i1），由此能够求出结果【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=135（2i1）输入n的值为6时，输出s的值s=135=15故选C【点评】本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5
12、的概率为( )ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计【分析】由组合知识求出从4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解【解答】解：从5个球中随机抽取两个球，共有=6种抽法满足两球编号之和大于5的情况有（2，4），（3，4）共2种取法所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为P=故选：C【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题8设函数f（x）=xex，则( )Ax=1为f（x）的极大值点Bx=1为f（x）的极小值点Cx=1为f（x）的极大值点Dx=1为f（x）的极小值点
13、【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】导数的概念及应用【分析】由题意，可先求出f（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xex，可得f（x）=（x+1）ex，令f（x）=（x+1）ex=0可得x=1令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（1，+）上是增函数令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（，1）上是减函数所以x=1为f（x）的极小值点故选：D【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，9已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )Ay=2x
14、BCD【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题【分析】由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程【解答】解：，故可设，则得，渐近线方程为 ，故选C【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键10函数y=2x312x在区间1，3上的最大值和最小值分别为( )A18，8B54，12C8，8D10，8【考点】利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】利用导数性质求解【解答】解：y=2x312x，x1，3，y=6x212，由y=0，得x=，或x=（舍），f（1）=2（1）312（1）=10，f（）=2（）312=8，f（3）=2331
15、23=18函数y=2x312x在区间1，3上的最大值是18，最小值是8故选：A【点评】本题考查函数在闭区间上的最大值和最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用11已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则等于( )ABCD【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系 【专题】计算题【分析】先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x1，x2，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可【解答】解：由图可知，f（x）=0的三个根为0，1，2f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0解得b=3，c=2又
16、由图可知，x1，x2为函数f（x）的两个极值点f（x）=3x26x+2=0的两个根为x1，x2，x1+x2=2，x1x2=（x1+x2）22x1x2=4=故选 C【点评】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法12抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36，则p=( )A2B4C6D8【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【解答】解：
17、OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆面积为36，圆的半径为6，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，+=6，p=8，故选：D【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图，这12位同学购书费用的中位数是25【考点】茎叶图 【专题】概率与统计【分析】根据茎叶图中的数据以及中位数的概念，求出这12位同学购书费用的中位数是什么【解答】解：根据茎叶图中的数据，是按照从小到大的顺序进行排列的，12位
18、同学购书费用的中位数是（24+26）=25故答案为：25【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数的应用问题，是基础题14已知x，y的值如表所示：x234y546如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，那么b=0.5【考点】线性回归方程 【专题】计算题【分析】分析：根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值【解答】解：，而5=3b+3.5b=0.5故答案为：0.5【点评】点评：本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本题是一个基础题，运算量不大，解题的
19、依据也不复杂15已知条件p：xa，条件q：x2+x20，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是1，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】解不等式x2+x20可得x2或x1，原命题等价于x|xa是x|x2或x1的真子集，结合数轴可得【解答】解：不等式x2+x20可化为（x1）（x+2）0，解得x2或x1，p是q的充分不必要条件，x|xa是x|x2或x1的真子集，a1，即a的取值范围是1，+）故答案为：1，+）【点评】本题考查充要条件，涉及一元二次不等式的解法，属基础题16已知以y=x为渐近线的双曲线D：=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，若P
20、为双曲线D右支上任意一点，则的最大值是【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用y=x为渐近线可得b=a，c=2a，利用0=，即可得出结论【解答】解：双曲线D：=1（a0，b0）的渐近线是y=x，=，可得b=a，c=2aP为双曲线D右支上一点，|PF1|PF2|=2a而|PF1|+|PF2|F1F2|=2c0=c=2a，的取值范围是（0，故的最大值是故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17设F1，F2分别是短轴长为6的椭圆E：+=1（ab0
21、）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且ABF2的周长为16（1）求椭圆的标准方程；（2）点P为E上一点，若PF1=3，求PF2的长度【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程 【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求得椭圆的a=4，由椭圆的定义可得，|CF1|+|CF2|=|DF1|+|DF2|=2a，即可得到周长为4a，计算即可得到所求；（2）由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8，计算即可得到PF2的长度【解答】解：（1）由题意可得椭圆E：+=1的b=3，由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有F
22、2AB的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=16解得a=4，则椭圆方程为+=1；（2）点P为E上一点，若|PF1|=3，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8，即有|PF2|=8|PF1|=83=5则PF2的长度为5【点评】本题考查椭圆的定义和方程，主要考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题18某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查（）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（）若从抽取的
23、6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法 【专题】概率与统计【分析】（）求出抽样比，即可从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，写出选出2名干事的所有可能结果，设A=所选2名干事来自同一高校，写出事件A的所有可能结果，利用古典概型求解即可【解答】解：（）抽样比为：，故应从M，N，S这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1；（）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记
24、为a、b，来自高校S的1名记为c，则选出2名干事的所有可能结果为：1，2，1，3，1，a ，1，b ，1，c，2，3，2，a，2，b，2，c，3，a，3，b ，3，c ， a，b ， a，c ， b，c共15种设A=所选2名干事来自同一高校，事件A的所有可能结果为1，2，1，3，2，3，a，b，共4种，所以【点评】本题考查古典概型的应用，分层抽样，基本知识的考查，是高考文科概率考试类型题目19已知命题P：a2a，命题Q：对任何xR，都有x2+4ax+10，命题P且Q为假，P或Q为真，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】分别求出p，q分别为真，假命题时的a的范围，取
25、交集，从而求出a的范围【解答】解：命题p：a2a，解得；0a1，若p假：则a0或a1，命题q：对任何xR，都有x2+4ax+10，解得：a，若q假，则a或a，命题p与命题q中有且只有一个成立，0a1； a或a，取二者交集a1，a0或a1；a，取二者交集a0，实数a的取值范围：a1，或a0【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题20已知f（x）=x3+ax2a2x+2（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若a0，求函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】（1）
26、先求出函数的表达式，通过求导得出斜率k的值，再求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）先求出函数的导数，分别令f（x）0，f（x）0，从而求出函数的单调区间【解答】解：（1）a=1，f（x）=x3+x2x+2，f（x）=3x2+2x1k=f（1）=4，又f（1）=3，切点坐标为（1，3），所求切线方程为y3=4（x1），即4xy1=0（2）f（x）=3x2+2axa2=（x+a）（3xa）由f（x）=0得x=a或，a0，由f（x）0，得，由f（x）0，得xa或，此时f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为（，a）和【点评】本题考查了导数的应用，求曲线的切线方程，考查了函数的单调性，是一道基础题2
27、1已知函数f（x）=x22lnx，h（x）=x2x+a（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）g（x），若函数k（x）在1，3上恰有两个不同零点求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（I）先在定义域内求出f（x）=0的值，再讨论满足f（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在1，3上的单调性，根据函数k（x）在1，3上恰有两个不同零点，建立不等关系，最后解之即可【解答】解：（）f（x）=2x，令f（x）=0，x0，x=1，所以f（x）的极
28、小值为1，无极大值（）x （0，1）1（1，+）f（x）_0+f（x）减1增又k（x）=f（x）g（x）=2lnx+xa，k（x）=+1，若k（x）=0，则x=2当x1，2）时，f（x）0；当x（2，3时，f（x）0故k（x）在x1，2）上递减，在x（2，3上递增，22ln2a32ln3所以实数a的取值范围是：（22ln2，32ln3【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题22已知曲线上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=3的距离小2（）求曲线的方程；（）曲线在点P处的切线l与x
29、轴交于点A直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设S（x，y）曲线上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线的方程；（）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变【解答】解：（）设S（x，y）曲线上的任意一点，由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=1的距离相等，曲线是以F为焦点直线y=1为准线的抛物线，曲线的方程为：x2=4y（）当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，证明如下：由（）可知抛物线的方程为y=，设P（x0，y0）（x00）则y0=，由y得切线l的斜率k=切线l的方程为：，即由得，由得，又N（0，3），所以圆心C（），半径r=点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大