1、第八章 平面解析几何第三节 圆的方程基础梳理1圆的定义、方程定义平面内到_的距离等于_的点的轨迹叫作圆圆心：_标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)半径：_定点定长(a，b)r条件：_圆心：_一般方程x2y2DxEyF0半径：r_2.点与圆的位置关系点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系：(1)点 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)点 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)点 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)20D2，E212 D2E24F1方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件：AC0
2、，B0，且D2E24F0.2以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.四基自测1(基础点：圆的一般方程与标准方程的互化)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是()A(2，3)B(2，3)C(2，3)D.(2，3)答案：D2(基础点：求圆的方程)过点 A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24答案：C3(基础点：求圆的方程)AOB 中，A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则AOB 外接圆的方程为_答案：x2
3、y24x3y04(易错点：二元二次方程表示圆的条件)若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是_答案：(2，23)考点一 求圆的方程挖掘 求圆的方程/自主练透例(1)圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点 A(1，2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)24解析 根据题意可设圆的方程为 x2(yb)21，因为圆过点 A(1，2)，所以 12(2b)21，解得 b2，所以所求圆的方程为 x2(y2)21.答案 A(2)圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_解析 法一：几何法设点
4、C 为圆心，因为点 C 在直线 x2y30 上，所以可设点 C 的坐标为(2a3，a)又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|CB|，即（2a32）2（a3）2（2a32）2（a5）2，解得 a2，所以圆心 C 的坐标为(1，2)，半径 r 10，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得（2a）2（3b）2r2，（2a）2（5b）2r2，a2b30，解得 a1，b2，r210，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法三：待定系数法设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为D2，E2，由题意得D22E2 30，4
5、92D3EF0，4252D5EF0，解得 D2，E4，F5.故所求圆的方程为 x2y22x4y50.答案 x2y22x4y50(3)在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A(1，0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析 因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r|m02m1|1m2|m1|1m2（1m）21m21 2m1m2，因为 1m22m，所以 2m1m21，所以r 11 2，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y22破题技法 求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进
6、而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(xa)2(yb)2r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程 x2y2DxEyF0；(2)由题目给出的条件，列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；(3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征 1将本例(1)改为圆心在 y 轴上，且过点(3
7、，1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0Bx2y210y0Cx2y210 x0Dx2y210 x0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为 r，则 32(r1)2r2，解得 r5，可得圆的方程为 x2y210y0，故选 B.答案：B2本小题(3)改为：在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(1，0)作直线 mxy2m10(mR)的垂线，垂足为 B，以 A，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为_解析：因为直线 mxy2m10(mR)过定点C(2，1)，所以直径 AB 的最大值为|AC|2，所以所求半径最大的圆的标准方程为x322y12212，化为一般
8、方程为 x2y23xy20.答案：x2y23xy20考点二 与圆有关的轨迹问题挖掘 1 直接法求与圆有关的轨迹方程/自主练透例 1 已知点 M 与两个定点 O(0，0)，A(3，0)的距离的比为12，则点 M 的轨迹方程为_解析 设点 M(x，y)，由题意得x2y2（x3）2y212，整理得 x2y22x30.答案 x2y22x30将本题改为“M 与 A(3，0)，O(0，0)距离之比为”，则动点 M 的轨迹方程是什么？其轨迹是什么图形解析：由题意得x2y2（x3）2y21，整理得(12)x2(12)y26x90.当 1 时，轨迹方程为 x32，表示 OA 的垂直平分线当 1 时，方程为(x3
9、12)2y292（12）2，表示为以(312，0)为圆心，半径为3|12|的圆挖掘 2 相关点(代入法)求轨迹方程/自主练透例 2(1)点 P(4，2)与圆 x2y24 上任意一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D.(x2)2(y1)21解析 设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则xx142，yy122，即x12x4，y12y2，代入 x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.答案 A(2)已知圆 C：(x1)2(y1)29，过点 A(2，3)作圆 C 的任意弦，则这些弦的中点 P
10、的轨迹方程为_解析 设 P(x，y)，圆心 C(1，1)因为 P 点是过点 A 的弦的中点，所以PAPC.又因为PA(2x，3y)，PC(1x，1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)0.所以点 P 的轨迹方程为x322(y2)254.答案 x322(y2)254破题技法 与圆有关的轨迹问题的四种求法将本例(1)变为 P(4，2)，A 是 x2y24 的动点M 是线段 PA 上的点满足|PM|MA|(0)，则动点 M 的轨迹还是圆吗？解析：由题意得PM MA，设 M(x，y)，A(x0，y0)，(x4，y2)(x0 x，y0y)，即x4（x0 x），y2（y0y），x0（1）x4，y0（1）y2.x20y204，（1）x422（1）y2224，即(x 41)2(y 21)242（1）2表示以41，21 为圆心，半径为 21的圆