1、专题1：构造等边三角形【典例引领】例：在菱形ABCD中，ABC=60，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明。【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】首先构造全等三角形，过点E作EGBC，可得到AGE是等边三角形，就可证出BGEECF，进而得出BE=EF【解答】证明：（2）图2：BE=EF图3：BE=EF图2证明如下：过点E作EGBC，
2、交AB于点G四边形ABCD为菱形AB=BC又ABC=60ABC是等边三角形 AB=AC ACB=60 又EGBC AGE=ABC=60 又BAC=60 AGE是等边三角形 AG=AE，BG=CE又CF=AE GE=CF又BGE=ECF=120 BGEECF（SAS） BE=EF图3证明如下：过点E作EGBC交AB延长线于点G四边形ABCD为菱形 AB=BC 又ABC=60 ABC是等边三角形 AB=AC ACB=60 又EGBC AGE=ABC=60又BAC=60AGE是等边三角形AG=AE BG=CE又CF=AEGE=CF AGE =ECF=60 BGEECF（SAS）BE=EF【强化训练】
3、1如图，ABC中，AB=BC，BDAC于点D，FAC=12ABC，且FAC在AC下方点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PECQ于点E，连接DE（1）若ABC=60，BP=AQ如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；（2）若ABC=260，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍然成立（用含的三角函数表示）【答案】（1）DE=12AQ，DEAQ，理由见解析； EAQ，DE=12AQ，
4、理由见解析；（2）AQ=2BPsin，理由见解析.【分析】（1）先判断出ABC是等边三角形，进而判断出CBP=CAQ，即可判断出BPCAQC，再判断出PCQ是等边三角形，进而得出CE=QE，即可得出结论；同的方法即可得出结论；（2）先判断出，PAQ=90ACQ，BAP=90ACQ，进而得出BCP=ACQ，即可判断出进而判断出BPCAQC，最后用锐角三角函数即可得出结论【解答】（1）DE=12AQ，DEAQ，理由：如图1，连接PC，PQ，在ABC中，AB=AC，ABC=60，ABC是等边三角形，ACB=60，AC=BC，AB=BC，BDAC，AD=CD，ABD=CBD=12BAC，CAF=12A
5、BC，CBP=CAQ，在BPC和AQC中，BC=ACCBP=CAQBP=AQ，BPCAQC（SAS），PC=QC，BPC=ACQ，PCQ=PCA+AQC=PCA+BCP=ACB=60，PCQ是等边三角形，PECQ，CE=QE，AD=CD，DE=12AQ，DEAQ；DEAQ，DE=12AQ，理由：如图2，连接PQ，PC，同的方法得出DEAQ，DE=12AQ；（2）AQ=2BPsin，理由：连接PQ，PC，要使DE=12AQ，DEAQ，AD=CD，CE=QE，PECQ，PQ=PC，易知，PA=PC，PA=PE=PC以点P为圆心，PA为半径的圆必过A，Q，C，APQ=2ACQ，PA=PQ，PAQ=P
6、QA=12（180APQ）=90ACQ，CAF=ABD，ABD+BAD=90，BAQ=90，BAP=90PAQ=90ACQ，易知，BCP=BAP，BCP=ACQ，CBP=CAQ，BPCAQC，BPAQ=BCAC=BC2CD，在RtBCD中，sin=CDBC，AQBP=2CDBC=2sin，AQ=2BPsin2如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60，得到线段PQ，连接BQ（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1
7、）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若BPO=15，BP=4，请求出BQ的长【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）43-4【分析】（1）结论：BQ=CP如图1中，作PHAB交CO于H，可得PCH是等边三角形，只要证明POHQPB即可；（2）成立：PC=BQ作PHAB交CO的延长线于H证明方法类似（1）；（3）如图3中，作CEOP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF=3a，在RtPCE中，表示出PC，根据PC+CB=4，可得方程(6+2)a+2a=4，求出a即可解
8、决问题；【解答】解：（1）结论：BQ=CP理由：如图1中，作PHAB交CO于H在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB中点，CO=AO=BO，CBO=60，CBO是等边三角形，CHP=COB=60，CPH=CBO=60，CHP=CPH=60，CPH是等边三角形，PC=PH=CH，OH=PB，OPB=OPQ+QPB=OCB+COP，OPQ=OCP=60，POH=QPB，PO=PQ，POHQPB，PH=QB，PC=BQ（2） 成立：PC=BQ理由：作PHAB交CO的延长线于H在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB中点，CO=AO=BO，CBO=60，CBO是等边三角形，CHP
9、=COB=60，CPH=CBO=60，CHP=CPH=60，CPH是等边三角形，PC=PH=CH，OH=PB，POH=60+CPO，QPO=60+CPQ，POH=QPB，PO=PQ，POHQPB，PH=QB，PC=BQ（3） 如图3中，作CEOP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CFOPC=15，OCB=OCP+POC，POC=45，CE=EO，设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF=3a，在RtPCE中，PC=PE2+CE2 =(2a+3a)2+a2 =(6+2)a，PC+CB=4，(6+2)a+2a=4，解得a=42-26，PC=43-4，由（2）可知BQ=PC，BQ=43-
10、43在菱形ABCD中，ABC=60,点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，点E的位置随点P的位置变化而变化.（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；（2）当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=23 ,BE=219 ,求四边形ADPE的面积. 【答案】（1）BP=CE； CEAD；（2）成立，理由见解析；（3）83 .【分析】（1）连接AC，证明
11、ABPACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；根据菱形对角线平分对角可得ABD=30，再根据ABPACE，可得ACF=ABD=30，继而可推导得出CFD=90 ，即可证得CEAD；（2）(1)中的结论：BP=CE，CEAD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；（3）连接AC交BD于点O，CE，作EHAP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由APE是等边三角形，求得PH， EH的长，再根据S四ADPE=SADP+SAPE，进行计算即可得.【解答】（1）BP=CE，理由如下：连接AC，菱形ABCD，ABC=60，ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=
12、60，APE是等边三角形，AP=AE ，PAE=60 ，BAP=CAE，ABPACE，BP=CE； CEAD ，菱形对角线平分对角，ABD=30，ABPACE，ACF=ABD=30，ACD=ADC=60，DCF=30，DCFADC=90，CFD=90 ，CFAD ，即CEAD；（2）(1)中的结论：BP=CE，CEAD 仍然成立，理由如下： 连接AC，菱形ABCD，ABC=60，ABC和ACD都是等边三角形，AB=AC，BAD=120 ，BAP=120DAP，APE是等边三角形，AP=AE ， PAE=60 ，CAE=6060DAP=120DAP，BAP=CAE，ABPACE，BP=CE，AC
13、E=ABD=30， DCE=30 ，ADC=60，DCEADC=90 ， CHD=90 ，CEAD，(1)中的结论：BP=CE，CEAD 仍然成立； (3) 连接AC交BD于点O，CE，作EHAP于H，四边形ABCD是菱形， ACBD，BD平分ABC ，ABC=60，AB=23，ABO=30 ，AO=3 ， BO=DO=3，BD=6，由(2)知CEAD，ADBC，CEBC，BE=219 ， BC=AB=23，CE=(219)2(23)2=8，由(2)知BP=CE=8，DP=2，OP=5，AP=52(3)2=27，APE是等边三角形，PH=7 ， EH=21，S四ADPE=SADP+SAPE，S
14、四ADPE=12DPAO+12APEH，=1223+122721=3+73=83，四边形ADPE的面积是83 .4已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=3x+723与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形（1）如图1，求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点P为ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且APB=60，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若AFE=30，求AF2+EF2的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标【答案】（1）A（72，0）（2）49；（3）P（52，33）
15、【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长即可解决问题；（2）如图2中，连接CE、CF证明CEF是等边三角形，AFCF即可解决问题；（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQAB于Q，PKOC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC证明APF是等边三角形，ATPB即可解决问题；【解答】（1）如图1中，y=-3x+723，B（72，0），C（0，723），BO=72，OC=723，在RtOBC中，BC=OC2+OB2=7，四边形ABCD是菱形，AB=BC=7，OA=AB-OB=7-72=72，A（-72，0）（2）如图2中，连接CE、CFOA=OB，COAB，AC=BC=7，
16、AB=BC=AC，ABC是等边三角形，ACB=60，APB=60，APB=ACB，PAG+APB=AGB=CBG+ACB，PAG=CBG，AE=BF，ACEBCF，CE=CF，ACE=BCF，ECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60，CEF是等边三角形，CFE=60，EF=FC，AFE=30，AFC=AFE+CFE=90，在RtACF中，AF2+CF2=AC2=49，AF2+EF2=49（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQAB于Q，PKOC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PCCEF是等边三角形，CEF=60，EC=CF，AFE=30，CEF=H+E
17、FH，H=CEF-EFH=30，H=EFH，EH=EF，EC=EH，PE=AE，PEC=AEH，CPEHAE，PCE=H，PCFH，CAP=CBT，AC=BC，ACPBCT，CP=CT，ACP=BCT，PCT=ACB=60，CPT是等边三角形，CT=PT，CPT=CTP=60，CPFH，HFP=CPT=60，APB=60，APF是等边三角形，CFP=AFC-AFP=30，TCF=CTP-TFC=30，TCF=TFC，TF=TC=TP，ATPF，设 BF=m，则AE=PE=m，PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，在RtAPT中，AT=AP2-TP2=3m，在RtABT中，AT2+TB2=AB2，（3m）2+（2m）2=72，解得m=7或-7（舍弃），BF=7，AT=21，BP=37，sinABT=ATAB=217，OK=PQ=BPsinPBQ=37217=33，BQ=BP2-PQ2=6，OQ=BQ-BO=6-72=52，P（-52，33）
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