1、专题01 平行线间的拐点问题类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。一选择题1（2023新城区校级一模）如图，直线mn，含有45角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若120，则2的度数为（）A15B25C35D45【分析】过B作BKm，推出BKn，由平行线的性质得到OBK120，2ABK，求出ABKABOOBK25，即可得到225【解答】解：过B作BKm，mn，BKn，OBK120，2ABK，ABO45，ABKABOOBK452025，2ABK25故选：B2（2023海南）如图，直线mn
2、，ABC是直角三角形，B90，点C在直线n上若150，则2的度数是（）A60B50C45D40【分析】根据平行线的性质可以得到1BDC，然后直角三角形的性质，即可求得2的度数【解答】解：延长AB交直线n于点D，mn，150，1BDC50，ABC90，CBD90，290BDC905040，故选：D3（2023秋渝中区校级期中）如图，直线ABCD，GEEF于点E若EFD32，则BGE的度数是（）A62B58C52D48【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解【解答】解：过点E作直线HIABABCD，ABHI，EFD32，CDHI，HEFEFD32，GEEF于点E，GEF90，GE
3、HGEFHEF903258，ABHI，BGEGEH58故选：B4（2022秋杜尔伯特县期末）如图，已知ABCD，BE，DE分别平分ABF和CDF，且交于点E，则（）AEFBE+F180C2E+F360D2EF180【分析】过点E作EMAB，利用平行线的性质可证得BED（ABF+CDF），可以得到BED与BFD的关系【解答】解：过点E作EMAB，如图：ABCD，EMABCDEM，ABEBEM，CDEDEM，ABF的平分线与CDF的平分线相交于点E，ABEABF，CDECDF，BEDBEM+DEM（ABF+CDF），ABF+BFD+CDF360，ABF+CDF360BFD，BED（360BFD），
4、整理得：2BED+BFD360故选：C5（2022秋榆树市期末）如图，ABCD，则图中1、2、3关系一定成立的是（）A1+2+3180B1+2+3360C1+322D1+32【分析】首先过点E作EFAB，由ABCD，可得EFABCD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得AEF1，CEF3，继而可得1+32【解答】解：过点E作EFAB，ABCD，EFABCD，AEF1，CEF3，2AEF+CEF1+3故选：D6（2023秋湖北月考）将含有30角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放若1120，则2为（）A120B130C140D150【分析】过A作ABl1，得到ABl2，推出31120，2
5、BAC，即可求出23+430+120150【解答】解：过A作ABl1，l1l2，ABl2，31120，2BAC，23+430+120150故选：D二填空题7（2023江油市开学）如图，ABCD，P为AB，CD之间的一点，已知228，BPC58，则130【分析】过P作PQAB，得到PQCD，推出CPQ228，BPQ1，求出BPQBPCCPQ30，即可得到1的度数【解答】解：过P作PQAB，ABCD，PQCD，CPQ228，BPQ1，BPQBPCCPQ582830，130故答案为：308（2023秋南岗区校级期中）如图，已知DEBC，ABC105，点F在射线BA上，且EDF125，则DFB的度数为
6、 20【分析】过F作FMDE，推出FMBC，得到ABC+MFB180，D+MFD180，求出MFB75，MFD55，即可得到DFBMFBMFD20【解答】解：过F作FMDE，DEBC，FMBC，ABC+MFB180，D+MFD180，ABC105，EDF125，MFB75，MFD55，DFBMFBMFD20故答案为：209（2023秋道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动图1是一位同学跳绳时的一个瞬间数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知ABCD，EAB70，ECD105，则AEC35【分析】过E作EFAB，则EFABCD，利用平行线的性质求得FEA11
7、0，FEC75，进而可求解【解答】解：过E作EFAB，ABCD，EFABCD，EAB+FEA180，ECD+FEC180，EAB70，ECD105，FEA110，FEC75，AECFEAFEC35，故答案为：3510（2022秋雅安期末）如图，ABCD，DCE的角平分线CG的反向延长线和ABE的角平分线BF交于点F，EF60，则E100【分析】过F作FHAB，依据平行线的性质，可设ABFEBFBFH，DCGECGCFH，根据四边形内角和以及EF60，即可得到E的度数【解答】解：如图，过F作FHAB，ABCD，FHABCD，DCE的角平分线CG的反向延长线和ABE的角平分线BF交于点F，可设AB
8、FEBFBFH，DCGECGCFH，ECF180，BFCBFHCFH，四边形BFCE中，E+BFC360（180）180（）180BFC，即E+2BFC180，又EBFC60，BFCE60，由可得，E+2（E60）180，解得E100，故答案为：10011（2023秋南岗区校级期中）已知：如图，ABCD，ABG的平分线与CDE的平分线交于点M，M45，F64，E66，则G88【分析】过点G，F、E、M分别作GHAB，FQAB，EPAB，MNAB，根据平行线的传递性得出ABCDGHFQEPMN，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；【解答】解：过点G、F、E、M分别作GHAB，F
9、QAB，EPAB，MNAB，ABCD，ABCDGHFQEPMN，BNN1，NMD4，BM平分ABG，MD平分CDE，BMD45，21+2390，521，1023，67，89，GFE7+86+964，FED9+D9+2366，2362，21+690288，BGF5+621+688故答案为：88三解答题12（2022秋宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且CNAC+CBQ（1）求证：MNPQ；（2）如图2，射线AE、BD分别平分MAC和CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与NAC内部的一条射线AD交于点D，若C2D，求EAD的度数【分析
10、】（1）过C作CSMN，由已知可以得到PQCS，从而得到MNPQ；（2）连接DC并延长交AE于点F，由已知可以得到DACNAC，再由EADEAC+CAD及平角的意义可以得到解答【解答】（1）证明：过C作CSMN，如图，CSMN，NACACS，ACBACS+BCSNAC+CBQ，BCSCBQ，PQCS，MNPQ；（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：ACFDAC+ADC，BCFDBC+BDC，ACBDAC+DBC+ADB2ADB，ADBDAC+DBC，2ADB2DAC+2DBC2DAC+QBC，又ACBNAC+CBQ2ADBNAC+CBQ2DAC+QBC，即NAC2DAC，DACNAC
11、，EADEAC+CADMAC+NAC（MAC+NAC）9013（2022秋莘县期末）综合与实践如图，已知ABCD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中P90，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当所放位置如图所示时，PFD与AEM的数量关系是 PFD+AEM90；（2）当所放位置如图所示时，求证：PFDAEM90；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且DON15，PEB30，求N的度数【分析】（1）作PHAB，根据平行线的性质得到AEMHPM，PFDHPN，根据MPN90解答；（2）根据平行线的性质得到PFD+BHN180，根据P90解答；（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算【
12、解答】解：（1）如图，作PHAB，则AEMHPM，ABCD，PHAB，PHCD，PFDHPN，MPN90，PFD+AEM90，故答案为：PFD+AEM90；（2）猜想：PFDAEM90；理由如下：如图，ABCD，PFD+BHN180，BHNPHE，PFD+PHE180，P90，PHE+PEB90，PEBAEM，PHE+AEM90，PFDAEM90；（3）如图，P90，PEB15，PHEPPEB901575，BHFPHE75，ABCD，DFH+BHF180，DFH180BHF105，OFNDFH105，DON20，N180DONOFN5514（2022秋洛宁县期末）问题情境：如图1，ABCD，P
13、AB130，PCD120求APC度数小明的思路是：如图2，过P作PEAB，通过平行线性质，可得APC50+60110问题迁移：（1）如图3，ADBC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，ADP，BCPCPD、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出CPD、间的数量关系【分析】（1）过P作PEAD交CD于E，推出ADPEBC，根据平行线的性质得出DPE，CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出DPE，CPE，即可得出答案【解答】（1）解：CPD+，理由是：如图3，过P作PE
14、AD交CD于E，ADBC，ADPEBC，DPE，CPE，CPDDPE+CPE+；（2）当P在BA延长线时，CPD；当P在AB延长线时，CPD15（2023春鼎城区期末）已知直线ABCD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点问题提出：（1）如图1，A120，C130，求APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出APC，A，C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EFPC，作PEGPEF，点G在直线CD上，作BEG的平分线EH交PC于点H，若APC20，PAB150，求PEH的度数【分析】（1）首先过点P作PQAB，则易得ABPQCD，然后由两直线平行，
15、同旁内角互补，即可求得APQ60，CPQ50，最后可以求出APC110；（2）作PQAB，易得ABPQCD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得APCAC；（3）由（2）知，APCPABPCD，先证BEFPQB110、PEGFEG，GEHBEG，根据PEHPEGGEH可得答案【解答】解：（1）A+C+APC360如图1所示，过点P作PQAB，A+APQ180，A120，APQ180A18012060，ABCD，PQCD，C+CPQ180，C130，CPQ180C18013050，APCAPQ+CPQ60+50110；（2）APCAC，理由如下：如图2，作PQAB，AAPQ，ABCD，PQCD，
16、CCPQ，APCAPQCPQ，APCAC；（3）由（2）知，APCPABPCD，APC20，PAB150，PCD130，ABCD，PQBPCD130，EFPC，BEFPQB130，PEGPEF，PEGFEG，EH平分BEG，GEHBEG，PEHPEGGEHFEGBEGBEF6516（2023秋南岗区校级期中）已知：如图，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出BAP，DCP，APC的数量关系；（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若ACP+PHQCQH，求证：ACEF；
17、（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分ACP，GK平分AGP，GK与CK交点K，连接AK，若PQH4PCK+2PHQ，CKGCHQ，AKC+KAC159，求BAC的大小【分析】（1）过P作PNAB，根据平行线的传递性得出PNCD，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；（2）过点Q作QNAC，证出PHQ2，根据平行线的传递性即可证明；（3）根据三角形内角和即可算出121，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出PQH42+2584+25，结合（2）即可解出518，过K作KMAC，证出CKG1+321+3，根据平行线性质得出EGAEHC，即可得35+2118+2139，即可求解；【解答】解：（1）
18、过P作PNAB，BAP1，ABCD，PNCD，DCP2，APC1+2BAP+DCP；（2）过点Q作QNAC，ACP1，ACP+PHQCQH，1+2CQH，PHQ2，QNEF，ACEF；（3）CK平分ACP，GK平分AGP，12，34，AKC+KAC159，118015921，PQH4PCK+2PHQ42+2584+25，由（2）知ACP+PHQCQH，即42+5180PQH，18042584+25，518，过K作KMAC，ACEF，KMACEF，CKM1，GKM3CKG1+321+3ABCD，CKGCHQ，EGAEHC，即235+CHQ5+CKG5+3+21，35+2118+2139，ACEF
19、，BACEGA237817（2023秋道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若B+PECP，求证：ABCD；（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若ABP+PEHP+EHD，求证：ABCD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是ABP、PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BPPE时，若BFGEHD+10，BGE36，求EHD的度数 【分析】（1）过点P作PFAB，推出PECEPF，进而得PFCD，根据平行公理的推论即可得证；（2）分别过点P和点E
20、作PFAB，EMCD，推出PEMFPE，进而得PFEM，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E作ENAB，根据（1）（2）的思路证FEN+NEHBFE+EHD，设EHD，PBG，PEG，则BFG+10，结合角平分线的定义及（2）的条件得2+290+，接着分别用含的式子代替和，代入2+290+求出的值即可【解答】解：（1）证明：过点P作PFAB，BBPF，B+PECBPEBPF+EPF，PECEPF，PFCD，ABCD；（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PFAB，EMCD，ABPBPF，MEHEHD，ABP+PEHP+EHD，即ABP+PEM+MEHBPF+FPE+EHD，PEMFPE，P
21、FEM，EMAB，ABCD；（3）如图3，过点E作ENAB，由（2）得ABCD，ENCD，BFEFEN，NEHEHD，FEHFEN+NEHBFE+EHD，设EHD，PBG，PEG，则BFG+10，BG、EF分别是ABP、PEH的角平分线，ABP2，PEH2，BPPE，P90，由（2）得ABP+PEHP+EHD，2+290+，FEHFEN+NEHBFE+EHD，+10+2+10，BGE36，FGB180（BFG+FBG），FGB180BGE，BFG+FBGBGE36，+10+36，26，2（26）+2（2+10）90+，1818（2023秋南岗区校级期中）已知，过ECF内一点A作AD/EC交CF
22、于点D，作AB/CF交CE于点B（1）如图1，求证：ABEADF；（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分ABE和ADF，求证：BMDN；（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果GACGCA，AQ平分GAD，QAC50，求MPA+PQF的度数【分析】（1）由平行线的性质得出AABE，AADF，即可得出结论；（2）过点A作AG平分BAD，由角平分线定义得出DAGBAGBAD，ABMABE，ADNADF，证出ABMDAGBAGADN，得出BMAG，DNAG，即可得出结论；（3）设GAQQADx，则DAC50x，G
23、AC50+xGCA，得出BAD100，BAQ100+x，由平行线的性质得出BACGCA50+x，求出BAP180BAQ80x，过点P作PHAB，过点Q作QIAC，由平行线的性质得出MPHABM50，HPAPAB80x，QACIQA50，FQIFCA50+x，求出MPAMPH+HPA50+8x130x，PQFIQA+FQI50+50+x100+x，即可得出答案【解答】（1）证明：ADEC，ABCF，AABE，AADF，ABEADF；（2）证明：过点A作AG平分BAD，如图2所示：则DAGBAGBAD，射线BM，射线DN分别平分ABE和ADF，ABMABE，ADNADF，ABEADFBAD，ABM
24、DAGBAGADN，BMAG，DNAG，BMDN；（3）解：AQ平分GAD，GAQQAD，设GAQQADx，则DAC50x，GAC50+xGCA，BAD100，BAQ100+x，ABCF，BACGCA50+x，BAP+BAQ180，BAP180BAQ80x，过点P作PHAB，过点Q作QIAC，如图3所示：ADEC，BADABE100，ABMABE50，MPHABM50，HPAPAB80x，QACIQA50，FQIFCA50+x，MPAMPH+HPA50+80x130x，PQFIQA+FQI50+50+x100+x，MPA+PQF130x+100+x23019（2023秋南岗区校级期中）已知，射
25、线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点（1）如图1，若A+DAED，求证：ABCD（2）如图2，若ABCD，求证：ADAED（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点，交AE于点K，EDICDE，BAIEAI，IAED25，求EKD的度数【分析】（1）过点E作EHAB，证明AAEF，再根据已知条件证明DDEF，从而证明EFCD，最后根据平行公理的推论证明结论即可；（2）先根据平行线的性质证明AEHG，再根据外角性质证明AD+AED，通过变换得出结论即可；（3）设AE与CD交于点H，EAIx，把BAI和EAB都用x表示出来，然后根据已知条件，找出角与角之间的关系，最后得出
26、CHECDE+AED，列出关于x的方程，求出x，最后根据EKDAKI180EAII，求出答案即可【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EHAB，AAEF，A+DAED，AEDAEF+DEF，DDEF，EFCD，ABCD；（2）证明：ABCD，AEHG，EHGD+AED，AD+AED，ADAED；（3）解：设AE与CD交于点H，EAIx，则BAI，ABCD，EHCEAB，IAED25，EKIEAI+IEDI+AED，x+25EDI+25，EDIx，EDICDE，CDI，CHECDE+AED，解得：x60，EKDAKI180EAII18060259520（2023春栾城区校级期中）【问题解决】：如
27、图，ABCD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE若ABE40，CDE60，求BED的度数；嘉琪想到了如图所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点E作EFABABEBEF（ 两直线平行，内错角相等）；EFAB，ABCD（已知）；EFCD（ 平行于同一条直线的两直线平行）；CDE（ DEF）（ 两直线平行，内错角相等）；又BEDBEF+DEF（ 角的和与差）；BEDABE+CDE（ 等量代换）；ABE40，CDE60（已知）；BEDABE+CDE100（等量代换）；【问题迁移】：请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：如图，ABCD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线
28、ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设BAP，DCP（1）如图，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出，和APC之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出，和APC之间满足的数量关系【分析】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；DEF；两直线平行，内错角相等；角的和与差；等量代换；问题迁移：（1）APCa+，理由见解析；（2）APC或APC【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；问题迁移：（1）过点P作PQAB，可证APQBAP，CPQD
29、CP，由APCAPQ+CPQ即可求解；（2）当P在BN上时，过点P作PQAB，同理可证：APQBAP，CPQDCP，由APCCPQAPQ，即可求解；当P在OD上时，过点P作PQCD，同理可证：APQBAP，CPQDCP，由APCAPQCPQ，即可求解【解答】问题解决：解：过点E作EFAB，ABEBEF（两直线平行，内错角相等），ABCD（已知），EFCD（平行于同一条直线的两直线平行），CDEDEF（两直线平行，内错角相等），又BEDBEF+DEF（角的和与差），BEDABE+CDE（等量代换），ABE40，CDE60（已知），BEDABE+CDE100（等量代换），问题迁移：（1）解：APC
30、a+，理由：过点P作PQAB，APQBAP（两直线平行，内错角相等），ABCD（已知），PQCD（平行于同一直线的两直线平行），CPQDCP（两直线平行，内错角相等），又APCAPQ+CPQ（角的和与差），APCBAP+DCP（等量代换），BAP，DCP（已知），APC+（等量代换），（2）如图所示：解：如图，当P在BN上时，APC，理由：过点P作PQAB，由（1）同理可证：APQBAP，CPQDCP，APCCPQAPQ，APCDCPBAP，BAP，DCP，APC；如图，当P在OD上时，APC，理由：过点P作PQCD，由（1）同理可证：APQBAP，CPQDCP，APCAPQCPQ，APCBAPDCP，BAP，DCP，APC
