1、专题升级训练 空间几何体(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是()A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是()A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台4.若正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,则该几何体的表面积是()A.4B.4+4C.8D.4+45.如下图是某几何体的三视图,其中正(主)视图是腰长为2的等腰三角形,侧(左)视图是半径为1的半圆,则该几何体的
2、体积是()A.B.C.D.6.若一个螺栓的底面是正六边形,它的正(主)视图和俯视图如图所示,则它的体积是()A.27+12B.9+12C.27+3D.54+3二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是14,母线长是10 cm,则圆锥的母线长为cm.8.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为2,它的三视图中的俯视图如图所示,侧(左)视图是一个矩形,则这个矩形的面积是.9.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,AMC1的面积为.三、解答题(本大
3、题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.11.(本小题满分15分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60.已知PB=PD=2,PA=. (1)证明:PCBD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.12.(本小题满分16分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中ADAB, CDAB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,
4、E为PA的中点.(1)求证:DE平面PBC;(2)求三棱锥A-PBC的体积.#1.D解析:因为球的三视图均为圆;正方体的三视图均可以为正方形,所以排除A,C.而三条侧棱两两垂直且相等的正三棱锥的三视图可以为全等的直角三角形,排除B.因为圆柱的正(主)视图与侧(左)视图均是矩形,俯视图为圆,故选D.2.A解析:由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2,故选A.3.D解析:从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆,正(主)视图与侧(左)视图为等腰梯形,故此几何体为圆台.4.B5.D6.C解析:该螺栓是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的
5、,V总=V正六棱柱+V圆柱=3262+123=27+3.7.解析:作出圆锥的轴截面如图,设SA=y,OA=x,利用平行线截线段成比例,得SASA=OAOA,即(y-10)y=x4x,解得y=.所以圆锥的母线长为.8.2解析:如图,设底面边长为a,则侧棱长也为a,由题意得a2a=2,故a3=8,a=2.侧(左)视图与矩形DCC1D1相同,aa=2.9.解析:将直三棱柱沿侧棱A1A剪开,得平面图形如图所示,AC1为定长,当A,M,C1共线时AM+MC1最短,此时AM=,MC1=2.又在原图形中AC1=,易知AMC1=120,2sin 120=.10.解:(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这
6、个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S=522+22+2()2=22+4(cm2).所求几何体的体积V=23+()22=10(cm3).11.(1)证明:连接AC,交BD于O点,连接PO.因为底面ABCD是菱形,所以ACBD,BO=DO.由PB=PD知,POBD.再由POAC=O知,BD面APC,因此BDPC.(2)解:因为E是PA的中点,所以.由PB=PD=AB=AD=2知,ABDPBD.因为BAD=60,所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,PO2+AO2=PA2,即P
7、OAC,故SAPC=POAC=3.由(1)知,BO面APC,因此BOSAPC=.12.(1)证明:如图,取AB的中点F,连接DF,EF.在直角梯形ABCD中,CDAB,且AB=4,CD=2,所以BFCD.所以四边形BCDF为平行四边形.所以DFBC.在PAB中,PE=EA,AF=FB,所以EFPB.又因为DFEF=F,PBBC=B,所以平面DEF平面PBC.因为DE平面DEF,所以DE平面PBC.(2)解:取AD的中点O,连接PO.在PAD中,PA=PD=AD=2,所以POAD,PO=.又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD.在直角梯形ABCD中,CDAB,且AB=4,AD=2,ABAD,所以SABC=ABAD=42=4.故三棱锥A-PBC的体积VA-PBC=VP-ABC=SABCPO=4.
