1、习题课发展要求与高考对接(六)教学指导意见中的发展要求1体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用2会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决3理解绝对值不等式在解决简单的最大(小)值问题中的应用考点一数列不等式的证明方法学生用书P125设nN*，求证：2(1)12.证明(1)令an12(1)因为an1an220.所以an1an，即数列an在N*上单调递增又因为a112(1)320，所以对任意nN*(n1)都有ana10，从而12(1)成立(2)令bn12.因为bn1bn220，由此得bn1bn，所以数列bn在N*上单调递减又因为b11210.所以对任意nN*(n1)都有bnb
2、10，从而12成立故由上述(1)，(2)知，不等式成立(1)证明数列不等式常用的方法比较法、分析法、综合法、放缩法(2)放缩法证明不等式的思路及常用结论放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考查，常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性 质，利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等放缩法常用的结论：a.2()2()(kN*，k1)；b.；c.；d绝对值不等式：|a|b|ab|a|b|.1.(2016广州模拟)已知点Pn(an，bn)(nN*)在直线l：y3x1上，P1是直线l与y轴的交点，数列an是公差为1的等差数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求证
3、：.解：(1)因为P1(a1，b1)是直线l：y3x1与y轴的交点(0，1)，所以a10，b11.因为数列an是公差为1的等差数列，所以ann1.因为点Pn(an，bn)在直线l：y3x1上，所以bn3an13n2.所以数列an，bn的通项公式分别为ann1，bn3n2(nN*)(2)因为P1(0，1)，Pn(n1，3n2)，所以Pn1(n，3n1)，则|P1Pn1|2n2(3n)210n2，所以.因为2，所以当n2时，.当n1时，所以.考点二函数不等式的证明方法学生用书P126已知f(x)axb且2a26b23.求证：当x1，1时，|f(x)|.证明将bf(x)ax代入2a26b23，得2a
4、26f(x)ax23，整理得(26x2)a212xf(x)a6f2(x)30，由于关于a的一元二次方程一定有实根所以12xf(x)24(26x2) 6f2(x)30，所以f2(x)，由于x1，1，所以2，故|f(x)|.判别式法是根据已知构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其 判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法2.求证：3.证明：令y，xR，则yx2yxyx2x1.于是(y1)x2(y1)xy10.(1)若y1，则x0，符合题意；(2)若y1，则式是关于x的一元二次方程由xR，知(y1)24(y1)20，解得y3，且y1.综合(1)
5、(2)得y3，即3.考点三绝对值三角不等式的应用学生用书P126(1)设f(x)x2axb(a，bR)，若|f(x)|在x1，1上的最大值为M，求证：M.(2)设f(x)ax2bxc，当|x|1时，总有|f(x)|1.求证：|f(2)|7；证明对一切x1，1都有|2axb|4.证明(1)因为|f(x)|在x1，1上的最大值为M，即|f(x)|M，而f(x)x2axb，所以M|f(1)|1ab|，M|f(1)|1ab|，M|f(0)|b|.故4M|f(1)|f(1)|2|f(0)|1ab|1ab|2|b|(1ab)(1ab)2b|2，从而M.(2)因为|x|1时，有|f(x)|1，所以|f(0)
6、|c|1，|f(1)|1，|f(1)|1.又f(1)abc，f(1)abc，所以|f(2)|4a2bc|3(abc)(abc)3c|3f(1)f(1)3f(0)|3f(1)|f(1)|3f(0)|3137.所以|f(2)|7.因为对一切x1，1恒有|f(x)|1，则|f(1)|1，|f(1)|1，|f(0)|1，其中f(1)abc，f(1)abc，f(0)c.令g(x)2axb，x1，1，而g(x)为一次函数或常数函数，于是有|g(x)|max|2ab|，|2ab|令2abx(abc)y(abc)zc.由待定系数法求得x，y，z2.所以|2ab|f(1)|f(1)|2|f(0)|4.同理可证|
7、2ab|4.因此有|g(x)|max|2ab|，|2ab|4.即结论得证巧用添项法解决绝对值不等式问题(1)添项法是不等式推理和证明常用的技巧添一个正数，式子变大；添一个负数，式子变小在解决问题时，往往需要通过添项来构造绝对值不等式的使用条件. (2)在解决函数问题时，常需要证明含自变量或函数值的不等式，在证明过程中常常运用绝对值三角不等式，然后结合函数的性质来解决3.设a，bR且|ab1|1，|a2b4|4，求|a|b|的最大值解：|ab|(ab1)1|ab1|1|112.|ab|3(ab1)2(a2b4)5|3|ab1|2|a2b4|53124516.当ab0时，|a|b|ab|2；当ab
8、0时，则a(b)0，|a|b|a|b|a(b)|16.总之，恒有|a|b|16.而a8，b8时，满足|ab1|1，|a2b4|4，且|a|b|16.因此|a|b|的最大值为16.考点四线性规划与数学建模学生用书P127某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C，另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花
9、费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，得z2.5x4y，且x，y满足即作出可行域如图(阴影中的整点部分)，让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移，由此可知z2.5x4y在B(4，3)处取得最小值因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求利用线性规划解决实际问题的一般步骤(1)认真分析实际问题的背景，并收集有关数据(必要时可通过列表完成)； (2)确定未知量和建立目标函数；(3)利用图解法的相关步骤确定最优解；(4)分析、归纳、作答(有些实际问题应注意其整解性).
10、 4.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问：投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x万元和y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域将zx0.5y变形为y2x2z，这是斜率为2随z变化的一组平行线，当直线y2x2z经过可行域内的点M时，直线y2x
11、2z在y轴上的截距2z最大，z也最大而M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点解方程组得x4，y6，此时z40.567(万元)所以当x4，y6时，z取得最大值所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大1不等式ab与能同时成立的充要条件是()Aab0Ba0bC.0解析：选B.当a，b同为正数时，因为ab，两边同时除以ab，得，与矛盾当a，b同为负数时，同理，与矛盾所以a，b异号，即a0b.2设a0，b0，则以下不等式中，不恒成立的是()A(ab)4B.C.0，给出下面四个不等式：|ab|a|；|ab|b|；|ab|a|b|.其
12、中正确的是()A和 B和C和 D和解析：选C.因为ab0，所以a，b同号所以|ab|a|b|，所以和正确4设h0，甲：|ab|2h；乙：|a1|h，|b1|h，那么甲是乙的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.由|ab|(a1)(b1)|a1|b1|hh2h，知乙甲；反之，取a4h，b4，则|ab|2h成立，但|a1|h不成立，故选B.5不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，) B(，25，)C1，2 D(，12，)解析：选A.由绝对值的几何意义知|x3|x1|4，要使不等式a23a|x3|x1|恒
13、成立，只要a23a4，即a4或a1.6函数y|x4|x6|的最小值为_解析：利用分区间(分类)讨论法求最小值y|x4|x6|所以ymin2.答案：27若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为_解析：|3xb|4x50，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的序号)ab1；a2b22；a3b33；2.解析：两个正数，和定积有最大值，即ab1，当且仅当ab时取等号，故正确；()2ab2224，当且仅当ab时取等号，得2，故错误；由于1，故a2b22成立，故正确；a3b3(ab)(a2b2ab)2(a2b2ab)，因为ab1，所以
14、ab1.又a2b22，所以a2b2ab1.所以a3b32，故错误；1112，当且仅当ab时取等号，故成立答案：9求证：若n3，nN，则.证明：当k2，kN时，有，所以.从而原不等式得证10证明0时，12x0，故f(x)0，又f(x)1(12x)xf(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称故当x0时，f(x)0.综上当x0时，恒有f(x)0，即m时，求证：m|a|，|x|m|b|，|x|m1.所以|x|2|b|.所以2，即2.2设函数f(x)x22bxc(cb1)，f(1)0，且方程f(x)10有实根(1)证明：3c1且b0；(2)若m是方程f(x)10的一个实根，判断f(m4)的正负并加以证明解
15、：(1)证明：f(1)012bc0b.又cb1.故c13c.方程f(x)10有实根，即x22bxc10有实根，故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3或c1.又cb1，得3c1，由b知b0.(2)f(m4)的符号为正，证明如下：f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1)f(m)10，所以cm1.所以c4m430，所以f(m4)的符号为正3已知二次函数f(x)ax2bxc(a0，b，cR)(1)已知a2，f(2)2，若f(x)2对xR恒成立，求f(x)的表达式；(2)已知方程f(x)0的两实根x1，x2满足x1x2，设f(x)在R上的最小值为m，求证：mx1.解：(1)由f(x)f(2)2对xR恒成立，a2，可知f(x)在x2时取得最小值2，所以f(x)2(x2)22，即f(x)2x28x10.(2)证明：法一：因为方程f(x)0的两实根分别为x1，x2.所以可设f(x)a(xx1)(xx2)，所以mf(x)minf(x2x1)2.由x1x10，又a0，所以m(x2x1)2x1x1，即mx1.法二：因为方程f(x)0即ax2bxc0的两实根x1，x2满足x1x2，所以f0，所以c0，所以1bac0，当2b10，即b0；当2b10，即b时，由1bacb21，所以(1)22b1(b21)22b1b20，所以x1m0，综上，mx1.