1、集合的含义与表示1.列出满足“大于5而小于10”的所有整数.2.实数可以分为、；有理数可以分为、；整数可以分为、.3.到一个定点的距离等于定长的点的集合是.6、7、8、9.有理数无理数整数分数正整数负整数圆零1.集合的含义(1)一般地，指定的称为集合，集合中的叫作这个集合的元素.(2)集合与元素的表示通常用 表示集合；通常用 表示集合中的元素.某些对象的全体每个对象大写字母A，B，C，小写字母a，b，c，知识点 关系 概念 记法 读法 元素 与集 合的 关系 属于 如果，就说a属于A“a属于A”不属于 如果，就说a不属于A “a不属于A”2.元素与集合的关系a是集合A的元素aA a不是集合A的
2、元素a A 名称 非负整数集(自然数集)正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N Z Q R 3.常用数集及表示符号列举法 把集合中的元素出来写在大括号内表示集合的方法 描述法 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 4.集合的表示方法一一列举有限集 含有元素的集合 无限集 含有元素的集合 空集 元素的集合 5.集合的分类有限个无限个不含任何1.“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？【提示】“高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象.因此，它
3、们都不能构成集合.2.“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？【提示】在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4，并且都是确定的不同对象.因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.集合中元素的特性已知集合A1,0，a，若a2A，求实数a的值.【思路点拨】如果令a2=1，0或a解方程求a检验得x值【解析】(1)若a21，则a1，当a1时，集合A中有两个相同元素1，舍去；当a1时，集合A中有三个元素1,0，1，符合.(2)若a20，则a0，此时集合A中有两个相同元素0，舍去.(3)若a2a，则a0或1，不符合集合元素的互异性，
4、都舍去.综上可知：a1.根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.1.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)a，b，c，d与d，c，b，a是两个不同的集合；(2)集合中有5个元素；(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；(4)集合A(1，3)与B(3,1)是同一集合.【解析】(1)不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求顺序，只要是相同几个元素即可，故a，b，c，d与d，c，b，a是两个相同的集合.(2)不正确.对于一个集合，它的元素是互
5、异的，而 0.50，因此，此种表示不能构成集合.要想表示集合，应写作，含有4个元素.(3)正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集.(4)不正确.A(1，3)表示的是由点(1，3)组成的单元素点集，B(3,1)表示的是由点(3,1)组成的单元素点集，而(1，3)和(3,1)是不同的两个点，因此A与B是不同的集合.121，12，14，0.71元素与集合的关系设集合Ax|x2k，kZ，Bx|x2k1，kZ.若aA，bB，试判断ab与A，B的关系.【思路点拨】因为A是偶数集，B是奇数集，所以a是偶数，b是奇数，从而ab是奇数.【解析】aA，a2k1(k1Z).bB，b2k21(k2Z).ab2(
6、k1k2)1.又k1k2Z，abB，从而ab A.判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.2.所给下列关系正确的个数是()R；Q；0N；|4|N.A.1 B.2C.3 D.4【解析】是实数，是无理数，正确，N表示正整数集，而0不是正整数；|4|是正整数，错误.【答案】B3集合的表示方法用适当的方法表示下列集合(1)比4大2的数；(2)方程x2y24x6y130的解集；(3)不等式x23的解的集合；(4)二次函数yx21图象上所有点组成的集合.【思路点拨】解答本
7、题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无限个.【解析】(1)比4大2的数显然是6，故可表示为6.(2)方程x2y24x6y130可化为(x2)2(y3)20，方程的解集为(2，3).(3)由x23，得x5.故不等式的解集为x|x5.(4)“二次函数yx21的图象上的点”用描述法表示为(x，y)|yx21.x2y3(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：元素之间用“，”而不是用“、”隔开；元素不能重复；不考虑元素顺序.(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述
8、出来，即采用描述法.3.用适当的方法表示下列集合(1)二元二次方程组的集合；(2)大于4的全体奇数组成的集合；(3)A(x，y)|xy3，xN，yN；(4)一次函数y2x1图象上所有点组成的集合.【解析】(1)列举法：(0,0)，(1,1)；(2)描述法：x|x2k1，k2，kN；(3)列举法：因为xN，yN，xy3，所以所以A(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)；(4)描述法：(x，y)|y2x1.yxyx2x0y3 或x1y2或x2y1或x3y01.集合的概念可以从以下几个方面来理解(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征.这两个特征不是
9、模棱两可的.判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合.2.对集合中元素三个特性的认识(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.如方程(x1)20的解构成的集合为1，而不能记为1,1.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集
10、合中的未知元素.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合a，b，c与b，a，c是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系.【注意】集合中元素的互异性在解题中经常用到.如已知两个集合的关系，求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.3.使用描述法必须注意(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，或是有序实数对(点)，或是集合，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，表示代表元素的范围，如xR是明确的，则xR可以省略，只写其元素x；(4)用
11、于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”、“或”等表示描述语句之间关系的词.下列说法：其中正确的有()集合xN|x3x用列举法表示为1,0,1；实数集可以表示为x|x为所有实数或R；方程组的解集为x1，y2.A.3个 B.2个C.1D.0个【错解】A【错因】对于描述法表示集合，一应清楚符号“x|x的属性”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么.xy3xy1【正解】由x3x，即x(x21)0，得x0或x1或x1，因为1N，故集合xN|x3x用列举法表示应为0,1.集合表示中的符号“”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表
12、示所有的实数，正确的表示应为x|x为实数或R.方程组的解是有序实数对，而集合x1，y2表示两个方程的解集，正确的表示应为(1,2)或【答案】Dxy3xy1(x，y)x1y2.1.下列关系中，正确的个数为()R；Q；|3|N；|Q.A.1 B.2C.3 D.4【答案】B122.已知Ax|33x0，则下列各式正确的是()A.3A B.1AC.0A D.1 A【解析】集合A表示不等式33x0的解集.显然3,1不满足不等式，而0，1满足不等式，故选C.【答案】C3.已知集合A1，a2，实数a不能取的值的集合是 .【解析】由互异性知a21，即a1，故实数a不能取的值的集合是1，1.【答案】1，14.以方程x22x30和方程x2x20的解为元素的集合中共有多少个元素？【解析】方程x22x30的解是x11，x23，方程x2x20的解是x31，x42，以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为1,2,3，共有3个元素.
