专题01角平分线四大模型在三角形中的应用（能力提升）（解析版）.docx

1、专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（能力提升）1如图：在四边形ABCD中，BCDA，ADDC，BD平分ABC，DHBC于H，求证：（1）DAB+C180 （2）BH（AB+BC） 【解答】证明：（1）过D作DEAB，交BA延长线于E，如图所示：BD平分ABC，DHBC，DHDE，在RtADE和RtCDH中，RtADERtCDH（HL），CDAE，DAB+DAE180，DAB+C180；（2）在RtBDE和RtBDH中，RtBDERtBDH（HL），BEBH，RtADERtCDH，AECH，AB+BCAB+BH+CHBE+BH2BH，BH（AB+BC）2如图，ADBC，D90，CPB30

2、，DAB的角平分线与CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上（1）求PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点【解答】（1）解：ADBC，C180D1809090，CPB30，PBC90B60，PB平分ABC，ABC2PBC120，ADBC，DAB+ABC180，DAB18012060，AP平分DAB，PADDAB30；（2）证明：过P点作PEAB于E点，如图，AP平分DAB，PDAD，PEAB，PEPD，BP平分ABC，PCBC，PEAB，PEPC，PDPC，P是线段CD的中点3如图，梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，AE平分BAD，AEBE（1）求证：BE平分ABC

3、；（2）求证：AD+BCAB；（3）若SABE4，求梯形ABCD的面积【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：ADBC，MDAE，AE平分BAD，DAEBAE，BAEM，ABMB，AEBE，ABECBE，BE平分ABC；（2）证明：ABMB，BEAE，AEME，E是CD的中点，DECE，在ADE和MCE中，ADEMCE（SAS），ADMC，AD+BCMC+BCMBAB；（3）解：ABMB，AEME，MBE的面积ABE的面积4，ABM的面积248，ADEMCE，ADE的面积MCE的面积，梯形ABCD的面积ABM的面积84【问题提出】在ABC中，ACB2B，AD为BAC的角平分线

4、，探究线段AB，AC，CD的数量关系【问题解决】如图1，当ACB90，过点D作DEAB，垂足为E，易得ABAC+CD；由此，如图2，当ACB90时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明【方法迁移】如图3，当ACB90，AD为ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明【解答】解：【问题解决】：如图1中，当ACB90时，AD为BAC的角平分线，ACB90，DEAB，DCDE，ACB2B，ACB90，B45，DEAB，DEBE，在AED和ACD中，AEDACD（AAS），AEAC，ABAE+BEAC+CD；当ACB90时，结论：ABCD+AC

5、，理由：如图2，在AB上截取AGAC，连接DG，AD为BAC的平分线，GADCAD，在ADG和ADC中，ADGADC（SAS），CDDG，AGDACB，ACB2B，AGD2B，AGDB+GDB，BGDB，BGDGDCABBG+AGCD+AC；【方法迁移】结论：ABCDAC，理由：如图3在AF上截取AHAC，连接DH，AD为FAC的平分线，HADCAD，在ADH和ACD中，ADHACD（SAS），CDHD，AHDACD，即ACBFHD，ACB2B，FHD2B，FHDB+HDB，BHDB，BHDHDC，ABBHAHCDAC5已知：如图，在RtABC中，A90，ABAC，点D在BC上，点E与点A在B

6、C的同侧，且CED90，B2EDC（1）求证：FDCECF；（2）若CE1，求DF的长【解答】解：A90，ABAC，ABC为等腰直角三角形，BACB45，B2EDC，FDC4522.5，CED90，DCE90FDC9067.522.5，FDCECF；（2）如图，延长CE到G，使EGCE，连接DG交AC于H，CED90，GED90，CEDGED，在GED和CED中，GEDCED（SAS），GFDECDE，DFHCFE，DHFCEF90，ACB45，HDC45，HDCHCD，DHCH，在DHF和CHG中，DHFCHG（ASA），DFCG，EGCE，CG2CE，DF2CE，CE1，DF26如图，已知

7、在ABC中，BAC90，ABAC，BD平分ABC，CEBD交BD的延长线于点E求证：CEBD【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点FCEBD，BAC90，BADCAFBEC90又ADBEDC，ABDACF在ABD与ACF中，ABDACF（ASA）BDCFBD平分ABC，CBEFBE在BCE与BFE中，BCEBFE（ASA）CEFE，即CECFCEBD7如图，在ABC中，CAB90，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF（1）若ABAC，BE+CF4，求四边形AEDF的面积（2）求证：BE2+CF2EF2【解答】（1）解：连接AD，如图1，在RtABC中，ABAC，A

8、D为BC边的中线，DACBADC45，ADBC，ADDC，又DEDF，ADDC，EDA+ADFCDF+FDA90，EDACDF，在AED与CFD中，AEDCFD（ASA）AECF，BE+CF4，ABBE+AE4所以S四边形AFDESAFD+SAEDSAFD+SCFDSADCSABCAB2424（2）证明：延长ED至点G，使得DGDE，连接FG，CG，如图2，DEDG，DFDE，DF垂直平分DE，EFFG，D是BC中点，BDCD，在BDE和CDG中，BDECDG（SAS），BECG，DCGDBE，ACB+DBE90，ACB+DCG90，即FCG90，CG2+CF2FG2，BE2+CF2EF28（

9、2020春南岸区期末）在MAN内有一点D，过点D分别作DBAM，DCAN，垂足分别为B，C且BDCD，点E，F分别在边AM和AN上（1）如图1，若BEDCFD，请说明DEDF；（2）如图2，若BDC120，EDF60，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由【答案】（1）略 （2）略【解答】解：（1）DBAM，DCAN，DBEDCF90，在BDE和CDF中，BDECDF（AAS）DEDF；（2）EFFC+BE，理由：过点D作CDGBDE，交AN于点G，在BDE和CDG中，BDECDG（ASA），DEDG，BECGBDC120，EDF60，BDE+CDF60FDGCDG+CD

10、F60，EDFGDF在EDF和GDF中，EDFGDF（SAS）EFGF，EFFC+CGFC+BE9.（2020秋渑池县期末）（1）如图，在RtABC中，C90，B45，AD平分BAC，交BC于点D如果作辅助线DEAB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 ；（2）如图，ABC中，C2B，AD平分BAC，交BC于点D（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明【答案】（1）ABAC+CD （2）略【解答】解：（1）如图1，AD平分BAC，CADEAD，在CAD和EAD中，CADEAD（AAS），CDDE，ACAE，B45，DEB90，DEEB，DCBE，A

11、E+BEAC+DCAB；故答案为：ABAC+CD（2）成立证明：如图2，在AB上截取AEAC，连接DE在ACD和AED中，ACDAED（SAS），CDED，CAED，又C2B，AED2B，又AEDB+EDB，2BB+EDB，BEDB，EDEBABAE+EB，EDEBCD，AEAC，ABAC+CD10.（百色期末）如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）说明BECF的理由；（2）如果AB5，AC3，求AE、BE的长【答案】（1）略 （2）BE1，AE4【解答】（1）证明：连接BD，CD，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF，BEDCFD90，D

12、GBC且平分BC，BDCD，在RtBED与RtCFD中，RtBEDRtCFD（HL），BECF；（2）解：在AED和AFD中，AEDAFD（AAS），AEAF，设BEx，则CFx，AB5，AC3，AEABBE，AFAC+CF，5x3+x，解得：x1，BE1，AEABBE51411.（广州期中）如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点D（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）连接AD，若BDC40，求DAC的度数【答案】（1）略 （2）DAC50【解答】（1）证明：如图，过点D作三边AB、BC、CA所在直线的垂线，垂足分别是Q、M、N则垂线段DQ、D

13、M、DN，即为D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离D是ABC的平分线BD上的一点，DMDQD是ACM的平分线CD上的一点，DMDNDQDMDND点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等（2）解：连接AD，DCG是BCD的外角，DCGDBC+BDC，ACGABC的外角ACGABC+BAC，2BDCBAC，BDC40，BAC80，EAC100，由（1）可得DQDN，AD平分EAC，DACEAC5012（2021秋雨花区期末）如图，ABC中，ABC60，AD、CE分别平分BAC、ACB，AD、CE相交于点P（1）求APC的度数；（2）若AE3，CD4，求线段AC的长【解答】解：（1）ABC60

14、，BAC+BCA120，AD、CE分别平分BAC、ACB，PAC+PCA（BAC+BCA）60，APC120（2）如图，在AC上截取AFAE，连接PF，AD平分BAC，BADCAD，在APE和APF中，APEAPF（SAS），APEAPF，APC120，APE60，APFCPD60CPF，CE平分ACB，ACPBCP，在CPF和CPD中，CPFCPD（ASA），CFCD，ACAF+CFAE+CD3+4713（2020秋南开区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（ab）2+|a4t|0，且t0，t是常数直线BD平分OBA，交

15、x轴于D点（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ONOD；（2）如图2，过点A作AEBD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰RtBPF，其中BPF90，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度【解答】（1）证明：直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（ab）2+|a4t|0，且t0，ab4t，点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），AOB是等腰直角三角形，点M是AB的中点，OMAB

16、，MOA45，直线BD平分OBA，ABDABO22.5，ONDBNM90ABD9022.567.5，ODBABD+BAD22.5+4567.5，ONDODB，ONOD（等角对等边）；（2）答：BD2AE理由如下：延长AE交BO于C，BD平分OBA，ABDCBD，AEBD于点E，AEBCEB90，在ABECBE中，ABECBE（ASA），AECE，AC2AE，AEBD，OAC+ADE90，又OBD+BDO90，ADEBDO（对顶角相等），OACOBD，在OAC与OBD中，OACOBD（ASA），BDAC，BD2AE；（3）OG的长不变，且OG4t过F作FHOP，垂足为H，FPH+PFH90，BPF90，BPO+FPH90，FPHBPO，BPF是等腰直角三角形，BPFP，在OBP与HPF中，OBPHPF（AAS），FHOP，PHOB4t，AHPH+APOB+AP，OAOB，AHOA+APOP，FHAH，GAOFAH45，AOG是等腰直角三角形，OGOA4t