专题01角平分线四大模型在三角形中的应用（专项训练）（解析版）.docx

1、专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（专项训练）1如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，BD4cm，CD2cm，（1）求D点到直线AB的距离（2）求AC 【解答】解：（1）作DEAB于E，AD平分CAB，C90，DEAB，DECD2cm；（2）在RtADC和RtADE中，RtADCRtADE，ACAE，BD4cm，CD2cm，BE2cm，则AC2+62（AC+2）2，解得，AC2cm2如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，BPC40（1）求BAC；（2）证明：点P到ABC三边所在直线的距离相等；（3）求CAP【解答】解：（1）在ABC中，ACDBAC+

2、ABC，在PBC中，PCDBPC+PBC，PB、PC分别是ABC和ACD的平分线，PCDACD，PBCABC，APC+PCB（BAC+ABC）BAC+ABCBAC+PCB，PCDBAC，BPC40，BAC24080，即BAC80；（2）作PEBA于E，PFAC于F，PGBC于G，CP是ACD的平分线，PFAC，PGBC，PFPG，同理，PEPF，PEPFPG，即点P到ABC三边所在直线的距离相等；（3）PEBA，PFAC，PEPF，CAPCAE503（1）如图在ABC，C90，AD平分CAB，BC6cm，BD4cm，那么点D到AB的距离是cm（2）如图，已知12，34，求证：AP平分BAC【解

3、答】解：（1）如图，作DEAB于E，BC6cm，BD4cm，CD2cm，AD平分CAB，C90，DEAB，DECD2cm，即点D到AB的距离是2cm，故答案为：2；（2）证明：如图，作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，12，PDAB，PEBC，PDPE，同理，PFPE，PDPF，又PDAB，PFAC，AP平分BAC4四边形ABCD中，DADC，连接BD，ABDDBC（1）如图1，求证：BAD+BCD180；（2）如图2，连接AC，当DAC45时，BC3AB，SDBC27，求AB的长；（3）如图3，在（2）的条件下，把ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC于点K，F是线段BC上

4、一点，连接EF，BFE45，求EFC的面积【解答】（1）证明：如图1，过点D作DMBA交BA的延长线于M，DNBC于N，则DMADNC90，ABDDBC，DMBA，DNBC，DMDN，在RtDMA和RtDNC中，RtDMARtDNC（HL），DAMBCD，DAM+DAB180，DAB+BCD180；（2）如图2，过点D作DMBA交BA的延长线于M，DNBC于N，由（1）得，DNCDMA，CNMA，DADC，DAC45，DACDCA45，即DAC+DCA90，ADC90，ABC180ADC90，BD平分ABC，DBMDBN45，MDNB90，MDBBDNDBMDBN45，DNBN，DMBM，DM

5、DN，MBBNDN，设ABa，则BC3AB3a，设CNb，则MACNb，MBa+b，BN3ab，a+b3ab，ba，BNDN3ab2a，SBCDBCDN3a2a27，解得，ab3，AB3；（3）如图3，过点E作EGAB交AB的延长线于G，EHBC于H，由翻折可知，AEADCDCE，AECADC90AKBCKE，BAEBCE，在AGE和CHE中，AGECHE（AAS），AGCH，EGEH，BE平分CBG，即GBECBE45HEBBEG，BHEHBGEG，设BHk，则AG3+k，CH9k，AGCH，3+k9k，解得，k3，EHBH3，BFE45，EHF90，HEFHFE45，HEFH3，CFCBB

6、F9333，EFC的面积CFEH335如图，在四边形ABCD中，BAD，BCD180，BD平分ABC（1）如图1，若90，根据教材中一个重要性质直接可得DACD，这个性质是 （2）问题解决：如图2，求证ADCD；（3）问题拓展：如图3，在等腰ABC中，BAC100，BD平分ABC，求证：BD+ADBC【解答】解：（1）BD平分ABC，BAD90，BCD90，DADC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图2，作DEBA交BA延长线于E，DFBC于F，BD平分EBF，DEBE，DFBF，DEDF，BAD+C180，BAD+EAD180，EADC

7、，在DEA和DFC中，DEADFC（AAS），DADC；（3）如图，在BC时截取BKBD，连接DK，ABAC，A100，ABCC40，BD平分ABC，DBKABC20，BDBK，BKDBDK80，即A+BKD180，由（2）的结论得ADDK，BKDC+KDC，KDCC40，DKCK，ADDKCK，BD+ADBK+CKBC6如图，ABC中，B2A，ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC16，BC9，则BD的长为（）A6B7C8D9【解答】解：如图，在AC上截取CECB，连接DE，ACB的平分线CD交AB于点D，BCDECD在CBD与CED中，CBDCED（SAS），BDED，BCED，B2C，

8、CEDA+ADE，CED2A，AEDA，AEED，AEBD，BDACCEACBC1697故选：B7如图，ABC中，ABC60，AD、CE分别平分BAC、ACB，AD、CE相交于点P（1）求APC的度数；（2）若AE3，CD4，求线段AC的长【解答】解：（1）ABC60，BAC+BCA120，AD、CE分别平分BAC、ACB，PAC+PCA（BAC+BCA）60，APC120（2）如图，在AC上截取AFAE，连接PF，AD平分BAC，BADCAD，在APE和APF中，APEAPF（SAS），APEAPF，APC120，APE60，APFCPD60CPF，CE平分ACB，ACPBCP，在CPF和C

9、PD中，CPFCPD（ASA），CFCD，ACAF+CFAE+CD3+478阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在ABC中，A2B，CD平分ACB，AD2，AC3，求BC的长小聪思考：因为CD平分ACB，所以可在BC边上取点E，使ECAC，连接DE这样很容易得到DECDAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）请完成：（1）求证：BDE是等腰三角形；（2）求BC的长为多少？【解答】（1）证明：如图2，在BC边上取点E，使ECAC，连接DE，在ACD与ECD中，ACDECD，ADDE，ADEC，A2B，DEC2B，DECB+EDBBEDB，BDE是等腰三角形；（2）解：ADD

10、EBE2，ECAC3，BCBE+CE2+359阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在AC中，A2B，CD平分ACB，AD2.2，AC3.6，求BC的长小明的想法：因为CD平分ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题即在BC边上取点E，使ECAC，并连接DE（如图2）（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：DEC和DAC的关系是 ，判断的依据是 ；BDE是 三角形；BC的长为 （2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在ABC中，ABAC，A20，BD平分ABC，BD2.3，BC2，求AD的长【解答】解：（1）如答图1，在ACD与ECD中，ACDECD（SAS）；由知，ACDECD

11、，ADDE，ADEC，A2B，DEC2B，BEDB，BEDE，BDE是等腰三角形；由知，ACDECD，则ECAC3.6，DEAD2.2又BEDE，BEAD2.2BCBE+EC2.2+3.65.8故答案是：ACDECD；SAS；等腰；5.8；（2）ABC中，ABAC，A20，ABCC80，BD平分B，1240BDC60，如答图2，在BA边上取点E，使BEBC2，连接DE，则DEBDBC，BEDC80，460，360，在DA边上取点F，使DFDB，连接FE，则BDEFDE，5140，BEEF2，A20，620，AFEF2，BDDF2.3，ADBD+BC4.310如图1，在ABC中，A的外角平分线交

12、BC的延长线于点D（1）线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P，连接PB，PC利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹；求证：BPCBAC；（2）如图2，若Q是线段AD上异于A，D的任意一点，判断QB+QC与AB+AC的大小，并予以证明【解答】（1）解：如图1所示，证明：在AE上截取AFAC设PC交AB于GAD平分CAF，DACDAF，CAPFAP，APAP，ACAF，APCAPF，PCAPFA，PCPF，点P在线段BC的垂直平分线上，PBPCPF，PBFPFA，PBGACG，PGBAGC，BPCBAC；（2）如图2中，在AE上截取AFAC同法可证QAFQAC，QCQF，QB+QCQB+Q

13、FBF，BFAB+AFAB+AC，QB+QCAB+AC11如图，在ABC中，ABC3C，AD平分BAC，BEAD于E，求证：BE（ACAB）（提示：延长BE交AC于点F）【解答】证明：如图：延长BE交AC于点F，BFAD，AEBAEFAD平分BAC，BAEFAE在ABE和AFE中，ABEAFE（ASA）ABFAFB，ABAF，BEEFC+CBFAFBABF，ABF+CBFABC3C，C+2CBF3C，CBFCBFCF，BEBFCFCFACAFACAB，BE（ACAB）12如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，BPAD，垂足为P已知AB5，BP2，AC9试说明ABC3ACB【解答】证明：延长B

14、P，交AC于E，AD平分BAC，BPAD，BAPEAP，APBAPE，又APAP，ABPAEP，BPPE，AEAB，AEBABE，BEBP+PE4，AEAB5，CEACAE954，CEBE，BCE是等腰三角形，EBCC，又ABEAEBC+EBC，ABE2C，ABCABE+EBC3C13如图，ABC中，ACBC，ACB90，AD平分BAC交BC于点D，过点B作BEAD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由【解答】解：（1）如图，BEAD，理由如下：延长BE、AC交于点H，BEAD，

15、AEBAEH90，AD平分BAC，BAEHAE，在BAE和HAE中，BAEHAE（ASA），BEHEBH，ACB90，BCH180ACB90ACD，CBH90HCAD，在BCH和ACD中，BCHACD（ASA），BHAD，BEAD（2）BEG是等腰直角三角形，理由如下：ACBC，AFBF，CFAB，AGBG，GABGBA，ACBC，ACB90，CABCBA45，GABCAB22.5，GABGBA22.5，EGBGAB+GBA45，BEG90，EBGEGB45，EGEB，BEG是等腰直角三角形14如图，ABC中，AB6，AC8，ABC、ACB的平分线BD、CD交于点D过点D作EFBC，分别交AB

16、、AC于点E、F，则AEF的周长为（）A12B13C14D15【解答】解：BD平分ABC，CD平分ACB，ABDDBC，ACDDCB，EFBC，EDBDBC，FDCDCB，ABDEDB，ACDFDC，EBED，FDFC，AB6，AC8，AEF的周长AE+EF+AFAE+ED+DF+AFAE+EB+AF+FCAB+AC14，AEF的周长为：14，故选：C15如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线交于点E，过点E作EFBC，交AB于点M，交AC于点N求证：MNMB+NC【解答】证明：ABC、ACB的平分线相交于点E，MBEEBC，ECNECB，MNBC，EBCMEB，NECECB，MBEMEB，

17、NECECN，BMME，ENCN，MNME+EN，MNBM+CN16如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，求证：ABAC+BD【解答】证明：在AB上取一点F，使AFAC，连接EFEA、EB分别平分CAB和DBA，CAEFAE，EBFEBDACBD，C+D180在ACE和AFE中，ACEAFE（SAS），CAFEAFE+EFB180，EFBD在BEF和BED中，BEFBED（AAS），BFBDABAF+BF，ABAC+BD17已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E是边CD上一点，且AE平分BAD，BE平分ABC求证：（1）AEBE；（2）E是线段CD的中点【解答】证明：（1）ADBC，ABC+BAD180，AE平分BAD，BE平分ABC，ABEABC，BAEBAD，AEB180（ABE+BAE）180（ABC+BAD）90，AEBE；（2）过点E作EFAD，如图所示：DAEAEF，AE平分BAD，DAEBAE，BAEAEF，AFEF，ADBC，EFBC，同理可证得：BFEF，AFBF，点F是AB的中点，点E是CD的中点