1、第五章 数列第三节 等比数列及其前n项和基础梳理1等比数列的有关概念(1)定义：文字语言：从_起，每一项与它的前一项的_都等于_一个常数符号语言：_(nN，q 为非零常数)第2项比同an1an q(2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么_叫作 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2_(a、G、b 不为零)2等比数列的有关公式(1)通项公式：an_Gaba1qn1(2)前 n 项和公式：3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN)(2)对任意的正整数 m，n，p，q，若 mnpq，则_特别地，若 mn2p，则_(3)若等比
2、数列前 n 项和为 Sn，则 Sm，S2mSm，S3mS2m 仍成等比数列，即(S2mSm)2_(mN，公比 q1)(4)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p 是常数)也是_数列(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为_amanapaqamana2pSm(S3mS2m)等比qk1(1)在等比数列求和时，要注意 q1 和 q1 的讨论(2)当an是等比数列且 q1 时，Sn a11q a11qqnAAqn.2当项数是偶数时，S 偶S 奇q；当项数是奇数时，S 奇a1S 偶q.四基自测1(基础点：等比中项)等比数列a
3、n中，a44，则 a2a6 等于()A4 B8C16 D32答案：C2(基础点：等比数列的前 n 项和)设an是公比为正数的等比数列，若 a11，a516，则数列an前 7 项的和为()A63 B64C127 D128答案：C3(基础点：求等比数列的项)在 3 与 192 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案：12，484(基础点：等比数列的通项)记 Sn 为数列an的前 n 项和，若 Sn2an1，则 an_答案：2n1考点一 等比数列的基本运算及性质挖掘 1 利用基本量进行计算/自主练透例 1(1)(2019高考全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和
4、为15，且 a53a34a1，则 a3()A16 B8C4 D2解析 由题意知a10，q0，a1a1qa1q2a1q315，a1q43a1q24a1，解得a11，q2，a3a1q24.故选 C.答案 C(2)(2019高考全国卷)记 Sn 为等比数列an的前 n 项和若 a113，a24a6，则 S5_.解析 由 a24a6 得(a1q3)2a1q5，整理得 q 1a13.S513（135）131213.答案 1213(3)(2018高考全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记 Sn 为an的前 n 项和若 Sm63，求 m.解析 设an的公比为 q，由题设得 anqn
5、1.由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2.故 an(2)n1 或 an2n1.若 an(2)n1，则 Sn1（2）n3.由 Sm63 得(2)m188，此方程没有正整数解若 an2n1，则 Sn2n1.由 Sm63 得 2m64，解得 m6.综上，m6.破题技法 方法解读适合题型基本量法设出 a1 和 q，将已知条件用 a1 和q 表示，建立方程组求出 a1 和 q题设中有五个基本量 a1，q，an，Sn，n 中的两个挖掘 2 利用性质进行计算/互动探究例 2(1)(2020哈尔滨模拟)等比数列an的各项为正数，且 a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a
6、10()A12 B10C8 D2log3a5解析 由题 a5a6a4a718，所以 a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.答案 B(2)(2020湖南衡阳一模)在等比数列an中，a1a3a44，则 a6 的所有可能值构成的集合是()A6 B8，8C8 D8解析 a1a3a224，a22.当 a22 时，a23a2a40 无意义，a22.q2a4a22，a6a4q2428.答案 D破题技法 方法解读适合题型性质法利用等比数列的性质化简已知条件题设中有“anam”型的表达式或anamqnm1(2020湖北荆州联考)已知数
7、列an为等差数列，且 2a1，2，2a6 成等比数列，则an前 6 项的和为()A15 B.212C6 D3解析：由 2a1，2，2a6 成等比数列，可得 42a12a62a1a6，即 a1a62，又数列an为等差数列，所以an前 6 项的和为126(a1a6)6.故选 C.答案：C2(2020山东菏泽一模)在等比数列an中，a2，a16 是方程 x26x20 的根，则a2a16a9 的值为()A2 B 2C.2D 2或 2解析：设等比数列an的公比为 q，由 a2，a16 是方程 x26x20 的根，可得 a2a162，即有 a21q162，则有 a292，则a2a16a9 a9 2.故选
8、D.答案：D考点二 等比数列的判定与证明挖掘 1 定义法证明等比数列/互动探究例 1(2019高考全国卷)已知数列an和bn满足 a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解析(1)证明：由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn112(anbn)又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为12的等比数列由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因为 a1b11.所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)知，anbn 1
9、2n1，anbn2n1，所以 an12(anbn)(anbn)12nn12，bn12(anbn)(anbn)12nn12.挖掘 2 等比中项法判定等比数列/互动探究例 2(1)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9 成等比数列Ba2，a3，a6 成等比数列Ca2，a4，a8 成等比数列Da3，a6，a9 成等比数列解析 设等比数列的公比为 q，则 a3a1q2，a6a1q5，a9a1q8，满足(a1q5)2a1q2a1q8，即 a26a3a9.答案 D(2)(2020湖南郴州一模)在数列an中，满足 a12，a2nan1an1(n2，nN)，Sn 为an的前 n 项和，
10、若 a664，则 S7 的值为()A126 B256C255 D254解析 数列an中，满足 a2nan1an1(n2)，则数列an为等比数列，设其公比为 q，又由 a12，a664，得 q5a6a132，则 q2，则 S7a1（127）12282254，故选 D.答案 D破题技法 等比数列的判断与证明的常用方法方法解读适合题型定义法在 an0(nN)前提下，若an1an q(q为非零常数)或 anan1q(q 为非零常数，n2 且 nN)，则an是等比数列已知中提供的递推关系式，或者是 an 与 Sn 的关系式进行化简，转化为数列an中相邻两项之间的关系等比中项法数列an中，an0，如果根据
11、已知条件能化简得到 a2n1anan2(nN)，或者是证明此式成立，则数列an是等比数列证明三项成等比数列通项公式法观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成 ancqn1(c，q 均是不为 0的常数，nN)，则an是等比数列能明确通项公式，用于选择或填空题中前 n 项和公式法若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且 k0，q0，1)，则数列an是等比数列能明确前 n 项和公式，只用于选择或填空题中考点三 等比数列前 n 项和及综合应用挖掘 1 等比数列前 n 项和性质及应用/互动探究例 1(1)记 Sn 为等比数列前 n 项和，若 a10，a23a1，则S10S5 _解
12、析 S10a1（1q10）1q，S5a1（1q5）1q，由 a23a1，得 q3，S10S5 1q101q5 1q5244.答案 244(2)已知等比数列an共有 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_解析 由题意，得S奇S偶240，S奇S偶80，解得S奇80，S偶160，所以 qS偶S奇16080 2.答案 2挖掘 2 等比数列的综合问题/互动探究例 2(1)(2019高考全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.求an的通项公式；设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和解析 设an的公比为 q，由题设得 2q24q16，即 q2
13、2q80.解得 q2(舍去)或 q4.因此an的通项公式为 an24n122n1.由得 bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前 n 项和为 132n1n2.(2)已知数列an满足 a10，且 an112an(nN)求证：数列an1为等比数列；求数列an的前 n 项和 Sn.解析 证明：an112an，an112(an1)，又 a111，数列an1是以 1 为首项，2 为公比的等比数列由知，an1(a11)2n12n1，an2n11.Sna1a2a3an(201)(211)(221)(2n11)(2021222n1)n2nn1.破题技法 1.(1)应用等比数列前 n 项和公式时，特别注意 q1 时，Snna1 这一特殊情况(2)Sn，S2nSn，S3nS2n 未必成等比数列(例如：当公比 q1 且 n 为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 不成等比数列；当 q1 或 q1 时且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立2项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为 q.若共有 2n 项，则 S 偶 S 奇q.