1、第五章 数列第一节 数列的概念与简单表示法基础梳理1数列的有关概念概念含义数列按照_排列的一列数数列的项数列中的_数列的通项 数列an的第 n 项 an通项公式数列an的第 n 项 an 与 n 之间的关系能用公式_表示，这个公式叫作数列的通项公式前 n 项和数列an中，Sn_叫作数列的前 n 项和一定顺序每一个数anf(n)a1a2an2.数列的表示方法列表法列表格表示 n 与 an 的对应关系图像法把点_画在平面直角坐标系中通项公式 把数列的通项使用_表示的方法公式法递推公式使用初始值 a1 和 an1f(an)或 a1，a2 和 an1f(an，an1)等表示数列的方法(n，an)公式3
2、.an 与 Sn 的关系若数列an的前 n 项和为 Sn，4数列的分类1与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为 N或其有限子集数列的图像是一群孤立的点2周期性：若 ankan(nN，k 为非零正整数)，则an为周期数列，k 为an的一个周期四基自测1(基础点：数列的项)已知数列an的通项公式为 an912n，则在下列各数中，不是an的项的是()A21 B33C152 D153答案：C2(基础点：数列递推关系)在数列an中，a11，an1 1an1(n2)，则 a4()A.32 B53 C.74 D85答案：B3(基础点：数列的前 n 项和)设 Sn 为数列an的前 n 项和，已知 S40
3、，a55，则 S5 为_答案：54(易错点：数列的通项公式)数列 1，23，35，47，59，的一个通项公式 an_答案：n2n1考点一 数列的项与通项公式挖掘 1 判断通项公式/自主练透例 1(1)下列公式可作为数列an：1，2，1，2，1，2，的通项公式的是()Aan1 Ban（1）n12Can2sin n2Dan（1）n132解析 由 an2sin n2 可得 a11，a22，a31，a42，.故选 C.答案 C(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：1，7，13，19，；0.8，0.88，0.888，；12，14，58，1316，2932，6164，；32，1，710，9
4、17，；0，1，0，1，.解析 符号问题可通过(1)n 或(1)n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n(6n5)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an891 110n.各项的分母分别为 21，22，23，24，易看出第 2，3，4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为232，原数列可化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.将数列统一为32，55，710，917，对于分子 3，5，7，9，是序号的 2 倍加1，可得分子的通项公式为 bn2n1，
5、对于分母 2，5，10，17，联想到数列1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21，因此可得它的一个通项公式为 an2n1n21.an0，（n为奇数），1，（n为偶数）.破题技法 1.已知数列的前 n 项写出一个通项公式，主要考查的是逻辑推理与归纳常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法由于只给出了部分规律，符合这几个特殊项的通项公式并不唯一2具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)各项的符号特征和绝对值特征；(4)对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的
6、关系；(5)对于正负号交替出现的情况，可用(1)k 或(1)k1，kN处理挖掘 2 判断数列的项/自主练透例 2(1)已知数列 2，5，2 2，11，则 2 5是这个数列的()A第 6 项B第 7 项C第 19 项D第 11 项解析 数列即：2，5，8，11，据此可得数列的通项公式为：an 3n1，由 3n12 5，解得：n7，即 2 5是这个数列的第 7 项答案 B(2)如果一个数列an的通项公式 ann22n3.求 a10；83 是否为该数列的项，如果是，是数列的第几项解析 当 n10，a101002103123.如果 n22n383，即 n22n800.(n10)(n8)0，n8(n10
7、 舍)，故 83 是这个数列的第 8 项考点二 已知递推关系求通项公式挖掘 求通项公式/互动探究例 根据下列已知条件，求数列an的通项公式：累加法：(1)a12，an1anln11n；累乘法：(2)a112，ann1n1an1(n2)；构造法：(3)a11，an12an3；辅助数列法：(4)a156，an113an12n1；取倒数：(5)a11，anan13an11；取对数：(6)a13，an1a2n.解析(1)因为 an1anln11n，所以 an1anlnn1n(n1)，所以 anan1ln nn1(n2)，所以 an1an2lnn1n2，a2a1ln21(n2)，所以 ana1ln nn
8、1lnn1n2ln21ln n(n2)，所以 anln na1(n2)，又 a12，所以 anln n2.(2)因为 ann1n1an1(n2)，所以当 n2 时，anan1n1n1，所以 anan1n1n1，a3a224，a2a113，以上 n1 个式子相乘得 anan1an1an2a3a2a2a1n1n1n2n 2413，即ana1 1n11n21，所以 an1n（n1）.当 n1 时，a1 11212，也与已知 a112相符，所以数列an的通项公式为 an1n（n1）.(3)设递推公式 an12an3 可以转化为 an1t2(ant)，即 an12ant，解得t3，故递推公式为 an13
9、2(an3)令 bnan3，则 b1a134，且bn1bn an13an3 2.所以bn是以 b14 为首项，2 为公比的等比数列所以 bn42n12n1，即 an2n13.(4)在 an113an12n1两边分别乘以 2n1，得 2n1an123(2nan)1.令 bn2nan，则 bn123bn1，根据待定系数法，得 bn1323(bn3)所以数列bn3是首项为 b13256343，公比为23的等比数列所以 bn34323n1，即 bn3223n.于是，anbn2n312n213n.(5)取倒数，得 1an3an11an13 1an1.1an 是等差数列，1an 1a13(n1)13(n1
10、)an13n2.(6)由题意知 an0，将 an1a2n两边取常用对数得到 lg an12lg an，即lg an1lg an 2，所以数列lg an是以 lg a1lg 3 为首项，2 为公比的等比数列所以 lg an(lg 3)2n1，所以 an.破题技法 常见求通项公式的方法方法转化过程适合题型累加法(a2a1)(a3a2)(anan1)ana1an1anf(n)(f(n)可求和)累乘法a2a1a3a2an1an2 anan1ana1an1an f(n)，f(n)可求积构造法由 an1panq 化为 an1mp(anm)，构造anm为等比数列an1panq辅助数列法由 an1panqn
11、化为an1qn1panqqn1q，放入辅助数列bn，bn1pqbn1q，再构造数列an1panrqn取倒数法anman1k（an1b）取倒数得 1ankbm 1an1km，令 bn 1ananman1k（an1b）取对数对 anparn1化为 lg anrlg an1lg p令 bnlg ananparn1(n2，p0)考点三 Sn 与 an 的关系的应用挖掘 1 已知 Sn 求 an/自主练透例 1(1)已知数列an的前 n 项和 Sn2n1，则 a2a6()A.164 B 116C16 D64解析 a2S2S1(221)(211)2，a6S6S5(261)(251)2532，a2a664.
12、答案 D(2)(2020广东化州第二次模拟)已知 Sn 为数列an的前 n 项和，且 log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_解析 由 log2(Sn1)n1，得 Sn12n1，当 n1 时，a1S13；当 n2 时，anSnSn12n，所以数列an的通项公式为 an3，n1，2n，n2.答案 an3，n12n，n2挖掘 2 已知 Sn 与 an 的关系/互动探究例 2(1)(2018高考全国卷)记 Sn 为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则S6_解析 Sn2an1，当 n2 时，Sn12an11，anSnSn12an2an1，(n2)即 an2an1，当 n1 时，a1S12
13、a11，得 a11.数列an是首项 a1 为1，公比 q 为 2 的等比数列，Sna1（1qn）1q1（12n）1212n，S612663.答案 63(2)(2020广东江门模拟)记数列an的前 n 项和为 Sn，若任意 nN，2Snan1，则 a2 020_解析 2Snan1，2Sn1an11(n2)，2Sn2Sn12ananan1(n2)，即 anan1(n2)，又 2S12a1a11，a11，a2 020a2a11.答案 1破题技法 Sn 与 an 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用 anSnSn1(n2)转化为只含 Sn，Sn1 的关系式，再
14、求解(2)利用 SnSn1an(n2)转化为只含 an，an1 的关系式，再求解1在例 2(2)中，an的通项公式 an_答案：(1)n12在例 1(1)中，可否求通项公式 an?解析：当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n1，a11 适合 an2n1，故 an2n1.考点四 数列的性质例 已知数列an满足an1ann2，a120，则ann 的最小值为()A4 5 B4 51C8 D9解析 由 an1an2n 知：a2a121，a3a222，anan12(n1)，n2，以上各式相加得 ana1n2n，n2，所以 ann2n20，n2，当 n1 时，a1
15、20 符合上式，所以 ann2n20，nN，所以ann n20n 1，nN，所以 n4 时ann 单调递减，n5 时ann 单调递增，因为a44 a55，所以ann 的最小值为a44 a55 8，故选 C.答案 C破题技法 1.类比周期函数的概念，我们可以定义：对于数列an，如果存在一个常数 T(TN)，使得对于任意的正整数 nn0，恒有 anTan 成立，那么称数列an是从第 n0 项起的周期为 T 的周期数列若 n01，则称数列an为纯周期数列；若 n02，则称数列an为混周期数列T 的最小值称为最小正周期，简称周期2解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当出现各项重复性
16、地出现后，便可由此确定该数列的最小正周期 T，再根据公式 anTan 将所求项转化为较小的项，从而求得该项的值3求数列的最大项、最小项的常见方法(1)利用“两边夹”思想设 an 为数列an中的最大项，则有anan1，anan1(n2)解出适合上述不等式组的 n 值，从而确定数列的最大项类似地，设 an 为数列an中的最小项，则有anan1，anan1(n2)解出适合上述不等式组的 n 值，便能确定数列的最小项(2)利用函数思想数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列项的最值完全可以依据研究函数最值的方法解决，但特别要注意数列的项数 n 只能是正整数根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作商
17、等方法来确定函数的单调性，进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小项给出一个数列an，若能够判断数列an为递增数列，则该数列具有以下性质：a1a2an，故(an)mina1.反之，若该数列为递减数列，则有 a1a2an，故(an)maxa1.1在数列an中，a114，an1 1an1(n2，nN)，则 a2 020 的值为()A14 B5C.45D.54解析：在数列an中，a114，an1 1an1(n2，nN)，所以 a21 1145，a311545，a4114514，所以an是以 3 为周期的周期数列，所以 a2 020a67331a114.答案：A2(2020江西宜春期末测试)已知函数 f(x)x12，x12，2x1，12x1，x1，x1，若数列an满足 a173，an1f(an)(nN)，则 a2 019()A.73B.43C.56D.13解析：由题意，知 a2f(73)43，a3f(43)13，a4f(13)56，a5f(56)23，a6f(23)13，a7f(13)56，故数列an从第三项起构成周期数列，且周期为 3，故 a2 019a313.故选 D.答案：D