1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件,学生用书P5)1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的逆否关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)如果既有pq，又有qp，记作：pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件1辨明两个易误点(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否
2、定是只否定命题的结论(2)注意区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)，与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同2充要条件常用的三种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件1(2015高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.由于ABAAB，所以“ABA”是“
3、AB”的充要条件2(选修21 P10练习T4(1)改编)“x4”是“x22x30”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选B.因为x22x30，所以该不等式的解集为x|x3，所以x4x22x30.但x22x30x4，所以“x4”是“x22x30”的充分而不必要条件3(2015高考山东卷)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0解析：选D.根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否
4、命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”故选D. 4(选修21 P10练习T3(2)改编)“(xa)(xb)0”是“xa”的_条件答案：必要不充分5(选修21 P8习题1.1A组T4改编)命题：“若一个三角形的两边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是_答案：“若一个三角形的两边相等，则这两条边所对的角也相等”考点一四种命题的相互关系及真假判断学生用书P5(1)(2014高考陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假(2)命题“若x，y都是偶数，则
5、xy也是偶数”的逆否命题是()A“若xy是偶数，则x与y不都是偶数”B“若xy是偶数，则x与y都不是偶数”C“若xy不是偶数，则x与y不都是偶数”D“若xy不是偶数，则x与y都不是偶数”解析(1)原命题正确，所以逆否命题正确模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误故选B.(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x与y不都是偶数”答案(1)B(2)C判断四种命题间关系、真假的方法(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题
6、的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假. 1.以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确说法的序号)命题“若log2a0，则函数f(x)logax(a0且a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价解析：对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，不难看出，命题“若aM
7、，则bM”与命题“若bM，则aM”互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案：考点二充分条件、必要条件的判断(高频考点)学生用书P6充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题(1)(2015高考天津卷)设xR，则“1x2”是“|x2|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(
8、2016台州高三质检)函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是()Aab0 Bab0Ca2b20 Dab(3)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy2与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_解析(1)11x3.由于是的真子集，所以“1x2”是“a，故A30，反之，当A30时，有sin B，由于ba，所以B60或B120，因此正
9、确综上所述，真命题的序号是.答案(1)A(2)C(3)充要条件问题的常见类型及解题策略(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本节要点整合)(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可. 2.(1)(2016温州高三返校联考)设A，B为两个互不相同的集合，p：xAB，q：xA或xB，则綈q是綈p的()A充分且必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D非充分且非必要条件(2)(2014高考浙江卷)已知i是
10、虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(3)已知a，bR，下列四个条件中，使“ab”成立的必要而不充分的条件是()Aab1 Bab1C|a|b| D2a2b解析：(1)选B.p是集合A，B的交集，q是集合A，B的并集若綈q则綈p的等价命题是：若p则q，故p是q的充分非必要条件，故选B.(2)选A.当ab1时，(abi)2(1i)22i；当(abi)22i时，得解得ab1或ab1，所以“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件(3)选A.对于选项A，ab1不能推出ab，但ab可以推出ab1，故选A
11、.考点三充分条件、必要条件的应用学生用书P7已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分但不必要条件解(1)由MPx|5x8，得3a5，因此MPx|5x8的充要条件是a|3a5(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|3a5中取一个值，如取a0，此时必有MPx|5x8；反之，MPx|5x8未必有a0，故“a0”是“MPx|55.所以实数a的取值范围为(5，)根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条
12、件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 3.(2016绍兴一中月考)若“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为_解析：由x2x60，解得x3.因为“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，所以x|xa是x|x3的真子集，即a3，故a的最小值为3.答案：3,学生用书P7)方法思想等价转化思想在充要条件中的应用已知p：2x10，q：x22x1m20(m0)，且綈p是綈q
13、的必要而不充分条件，求实数m的取值范围解因为綈p是綈q的必要而不充分条件，所以p是q的充分而不必要条件，由q：x22x1m20(m0)，得1mx1m，设q：Qx|1mx1m，p：Px|2x10，因为p是q的充分而不必要条件，所以PQ，所以或即m9或m9.所以m9.本题将“綈p是綈q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要条件”；将p、q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用1.给定两个命题p、q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由
14、q綈p且綈pq可得p綈q且綈qp，所以p是綈q的充分而不必要条件2已知条件p：xy2，条件q：x，y不都是1，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.(等价法)因为p：xy2，q：x1，或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1，且y1，因为綈q綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件故选A.1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.
15、依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数2命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆否命题是()A“若a，b，c成等比数列，则b2ac”B“若a，b，c不成等比数列，则b2ac”C“若b2ac，则a，b，c成等比数列”D“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”解析：选D.根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆否命题是“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”3(2016杭州萧山中学高三适应性测试)“是第二象限角”是“sin tan 0，tan 0，能得到sin tan 0；当sin tan 0，tan 0，此时是第二象限角，若sin
16、 0，此时是第三象限角，因此“是第二象限角”是“sin tan 0，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得ABxR|x2，CxR|x2，故ABC，则“xAB”是“xC”的充要条件5已知aR，则“a2”是“a22a”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.若a2，则a22a，反之不成立，所以“a2”是“a22a”成立的充分不必要条件6命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为()A“若x4，则x23x40”为真命题B“若x4，则x23x40”为真命题C“
17、若x4，则x23x40”为假命题D“若x4，则x23x40”为假命题解析：选C.根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x23x40，所以x4或1，故选C.7(2016绍兴一中第一学期回头考试)已知x，yR，则“xy1”是“xy”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.xy1(xy)21x2y22xy1x2y212xy2xyxy，所以充分性成立；又当x2，y1时，xy成立，但xy1不成立，所以必要性不成立故选A.8已知直线l，m，其中只有m在平面内，则“l”是“lm”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：
18、选B.当l时，直线l与平面内的直线m平行、异面都有可能，所以lm不成立；当lm时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l，即“l”是“lm”的必要不充分条件，故选B.9(2015高考浙江卷)设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a10，b1时，ab0，ab0，故ab0 ab0；当a2，b1时，ab0，但ab0，所以ab0 ab0.故“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件10下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()Ap：x1，q：x2xBp：|a|b|，q：a2b2Cp：xa2b2，q：x
19、2abDp：acbd，q：ab且cd解析：选D.A中，x1x2x，x2xx0或x1x1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|b|，根据不等式的性质可得a2b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2b22ab，由xa2b2，得x2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a1，b1，c0，d3，满足acbd，但是ad，反之，由同向不等式可加性得ab，cdacbd，故p是q的必要不充分条件综上所述，故选D.11(2016台州书生中学高三第一次月考)已知命题p：函数yax(a0且a1)在R上是增函数，命题q：loga2log2a2(a0且a1)，则下列命题中为真命题的是()
20、Apq BpqC(綈p)q Dp(綈q)解析：选D.因为当0a0且a1)在R上是增函数”是假命题，所以綈p是真命题因为当a时，loga2log2a0且a1)”是假命题，所以綈q是真命题，所以pq是假命题；pq是假命题；(綈p)q是假命题；p(綈q)是真命题，故选D.12已知p：xk，q：(x1)(2x)0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A2，)B(2，)C1，) D(，1解析：选B.由q：(x1)(2x)0，得x2，又p是q的充分不必要条件，所以k2，即实数k的取值范围是(2，)，故选B.13在命题“若mn，则m2n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是_解析：
21、原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题故假命题个数为3.答案：314函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_解析：已知函数f(x)x22x1的图象关于直线x1对称，则m2；反之也成立所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.答案：m215若命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：由题意知ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得解得3a0，故3a0.答案：3，016(2016温州模拟)记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分
22、条件，则实数a的取值范围为_解析：不等式x2x60；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A1，) B(，1C1，) D(，3解析：选A.由x22x30，得x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件故a1.2已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是_解析：Ax|1x3，因为xB成立的一个充分不必要条件是xA，所以AB，所以m13，即m2.答案：(2，)3已知集合A，Bx|xm21p：xA，q：xB，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围解：化简集合A，由
23、yx2x1.配方得y.因为x，所以ymin，ymax2.所以y.所以A.化简集合B，由xm21，得x1m2，B.因为命题p是命题q的充分条件，所以AB.所以1m2，解得m或m.所以实数m的取值范围是.4已知两个关于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，求两方程的根都是整数的充要条件解：因为mx24x40是一元二次方程，所以m0.又另一方程为x24mx4m24m50，且两方程都要有实根，所以解得m.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以所以m为4的约数又因为m，所以m1或1.当m1时，第一个方程x24x40的根为非整数；而当m1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m1.