1、高考资源网（） 您身边的高考专家第二节参数方程 基础达标一、填空题(每小题5分,共25分)1.(2015重庆测试)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=4cos ,直线l的参数方程为 (t为参数),若直线l将曲线C的周长分为15,则实数a=.-1或5【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,标准方程为(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程为x+y-a=0,直线l将曲线C的周长分为15,则弦所对的圆心角是60,则圆心(2,0)到直线l的距离为,即,解得a=-1或5.2.(2015湘潭三模)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方
2、程为=2cos ,直线l的参数方程为 (t为参数),则直线l与曲线C的交点的直角坐标为.(0,0)和【解析】由曲线C的极坐标方程为=2cos ,可化为2=2cos ,转化为直角坐标方程可得x2+y2-2x=0,把代入可得t=0或t=,故直线l与曲线C的交点坐标为(0,0)和.3.(2015马鞍山质检)以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 (为参数,R)上的点到曲线(cos +sin )=4(,R)的最短距离是.2【解析】曲线的普通方程为x2+y2=7,曲线(cos +sin )=4的直角坐标方程为x+y=4,圆心(0,0)到直线x+y=4的距离d=2,所以圆
3、x2+y2=7上的点到直线x+y=4的最短距离为d-r=2.4.(2015重庆高考)已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos 2=40, 0,解得-1m0,实数m=1,1.7.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (k为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.圆C的极坐标方程为=2sin .(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点M的坐标为(2,3),求|MA|MB|的值.【解析】(1)由=2sin 得2=2sin ,即x2+y2-
4、2y=0,标准方程为x2+(y-1)2=1.故圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.(2)直线l的参数方程为 (k为参数),可化为,代入圆C的直角坐标方程,得=1,即t2-t+7=0.由于=-47=0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以又直线l过点P(2,3),故由上式及t的几何意义,得|MA|MB|=|t1|t2|=7.8.(2015太原模拟)已知在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+(y-2)2=4.(1)以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C1,C2的极坐标方程及其交点的极坐标;(2)求圆C1与C2公共弦的参数方程.【解析】(1)由题意得圆C1
5、,C2的极坐标方程分别为=2,=4sin ,圆C1与C2交点的极坐标为.(2)由(1)得圆C1与C2交点的极坐标为,化为直角坐标为(,1),(-,1),圆C1与C2公共弦的参数方程为 (t是参数).9.(2015新课标全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得所以
6、C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0.因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2cos ,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4.当=时,|AB|取得最大值,最大值为4.10.(2015贵阳监测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的极坐标方程为=1.(1)求直线l与圆C的公共点的个数;(2)在平面直角坐标中,圆C经过伸缩变换得到曲线C,设M(x,y)为曲线C上一点,求4x2+xy+y2的最大值,并求相应点M的坐标.【解析】(1)直线l
7、的普通方程为x-y-=0,圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.圆心(0,0)到直线l的距离为d=1,即圆心到直线的距离等于圆半径,直线l与圆C有1个公共点.(2)圆C的参数方程是 (02),曲线C的参数方程是 (01,因为M,N分别为曲线C与直线l上的动点,所以|MN|的最小值为3-1.3.(5分)在直角坐标系xOy中,曲线C1,C2的参数方程分别为 (为参数)和 (t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C1,C2的交点的极坐标为.【解析】曲线C1: (为参数)的普通方程为x2+y2=2,曲线C2: (t为参数)的普通方程为x=2-y.由所以曲线C1与C2的交点的直角
8、坐标为(1,1),即曲线C1与C2的交点的极坐标为.4.(10分)(2014新课标全国卷)已知曲线C: =1,直线l: (t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【解析】(1)曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=|4cos +3sin -6|.则|PA|=|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =,当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为;当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.5.(10分)(2015湖南高考)已知直线l: (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|MB|的值.【解析】(1)=2cos 等价于2=2cos .将2=x2+y2,cos =x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.(2)将代入,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知|MA|MB|=|t1t2|=18.- 8 - 版权所有高考资源网
