1、单元综合检测(四)一、选择题(每小题5分,共50分)1.已知a与b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a-3b|等于()A.B.C.D.41.A【解析】|a-3b|=.2.(2016福建厦门一中期中考试)已知ab=-12,|a|=4,a和b的夹角为135,则|b|为()A.12B.6C.3D.32.B【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义可得ab=-12=|a|b|cos 135=4|b|,解得|b|=6.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.3.A【解析】(a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+2b)=0,即3a2-2
2、b2-ab=0,即ab=3a2-2b2=b2,cos=,即=.4.如图所示,M,N是函数y=2sin(wx+)(0)图象与x轴的交点,点P在M,N之间的图象上运动,当MPN面积最大时=0,则=()A.B.C.D.84.A【解析】由图象可知,当P位于M,N之间函数y=2sin(x+)(0)图象的最高点时,MPN面积最大.又此时=0,MPN为等腰直角三角形.过P作PQx轴于Q,|PQ|=2,则|MN|=2|PQ|=4,周期T=2|MN|=8.=.5.(2016兰州一中月考)ABC的外接圆圆心为O,半径为1,2且|=|,则向量在向量方向的投影为()A.B.C.-D.-5.A【解析】2,O,B,C三点
3、共线,ABAC.|=|,ABC=60,向量在向量方向上投影为|cos 60=.6.M是ABC所在平面内一点, =0,D为AC中点,则的值为()A.B.C.1D.26.A【解析】如图所示,D是AC的中点,延长MD至E,使得DE=MD,四边形MAEC为平行四边形,),=0,=-)=-3,.7.(2016河南八市重点高中月考)已知向量与向量的夹角为,| |=3,| |=2,设向量,若,则的大小为()A.B.C.D.7.C【解析】因为,所以=0,即)=0,整理得=-3,因此23cos =-3cos =-,因为0,所以=.8.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足,则点P
4、一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点8.B【解析】设AB的中点是E,O是三角形ABC的重心,+2).=2,+4)=3,P在AB边的中线上,是中线的三等分点,不是重心.9.(2016福建泉州五校联考)若点M是ABC所在平面内一点,且满足,则ABM与ABC的面积之比等于()A.B.C.D.9.D【解析】,M,B,C三点共线,过C作AB的垂线交AB于点D,过点M作AB的垂线交AB于点E,取AH=AC,AN=AB,过点H作AB的垂线交AB于F,即AHMN构成平行四边形,则HF=ME,而SABMSABC=MECD=HFCD=AHAC=,A
5、BM与ABC的面积之比为14.10.(2016江西师大附中、临川一中联考)已知点C为线段AB上一点,P为直线AB外一点,PC是APB的角平分线,I为PC上一点,满足+(0),| |-|=4,| |=10,则的值为()A.2B.3C.4D.510.B【解析】|=|=10,PC是APB的角平分线,又+ (0),即=,所以I在BAP的角平分线上,由此得I是ABP的内心,过I作IHAB于H,以I为圆心,IH为半径,作PAB的内切圆,如图,分别切PA,PB于E,F,则|-|=4,| |=10,| |=|= (|+|-|)= |-(|-|)=3,在直角三角形BIH中,cos IBH=,所以=|cos IB
6、H=|=3.二、填空题(每小题5分,共20分)11.已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a(2a+b),则实数m的值为.11.2【解析】2a+b=(2,4)+(m,4)=(2+m,8),由a(2a+b)得2(2+m)=8,即m=2.12.(2016安徽皖江名校联盟联考)在平面直角坐标系内,已知B(-3,-3),C(3,-3),H(cos a,sin a),则的最大值为.12.6+19【解析】由题意得B(-3,-3),C(3,-3),H(cos ,sin ), =(cos +3,sin +3), =(cos -3,sin +3),=(cos +3,sin +3)(cos -3,sin +3
7、)=cos2-9+sin2+6sin +27=6sin +196+19.13.已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A).若mn,且acos B+bcos A=csin C,则角B=.13.【解析】由mn得mn=0,即cos A-sin A=0tan A=,又因为在三角形ABC中,0A0,所以sin C=1,即C=,因此B=-.14.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,CBA=60,ABD=45, =x+y,则x+y的值为.14.-【解析】根据题意,以线段AB所在直线为x轴,以O为原点建立平面直角坐标系,设圆的半径为r,则有A(
8、-r,0),B(r,0),C,D(0,r),所以=(-r,0), ,即解得所以有x+y=-.三、解答题(共50分)15.(12分)已知向量a=(sin x,cos x),b=(sin x,sin x),c=(-1,0).(1)若x=,求向量a,c的夹角;(2)求函数f(x)=ab的最大值.15.【解析】(1)当x=时,a=,所以cos =-,因而=.(2)f(x)=sin2x+sin x cos x= (1-cos 2x+sin 2x)=sin,所以函数f(x)的最大值是.16.(12分)(2015东北三省三校一模)已知ABC的面积为2,且满足00,ABC的面积为2,bcsin =2,sin
9、0,变形可得cb=,0,=cbcos =,由04,可得04,解得tan 1,又0,向量夹角的范围为.(2)化简可得f()=2sin2cos 2=2cos 2=1+sin 2-cos 2=1+2sin.由(1)知,2-,sin,1+2sin2,3,f()的取值范围为2,3.17.(13分)(2015宜春四校一模)已知p=(sin A,cos A),q=(cos A,-cos A)(其中q0).(1)若0A,方程pq=t- (tR)有且仅有唯一解,求t的取值范围;(2)设ABC的内角A,B,C的对应边分别是a,b,c,且a=,若pq,求b+c的取值范围.17.【解析】(1)依题意可得t=pq+si
10、n A cos A-cos2A+sin 2A-cos 2A=sin,A,-2A-.再根据t=pq+有唯一解,可得-t或t=1.(2)由pq(其中q0)得=-1,即tan A=-,A=.再根据正弦定理可得2R=1,b+c=sin B+sin C=sin,由B+,可得b+c1.18.(13分)(2015安徽六校联考)设x轴,y轴正方向上的单位向量分别是i,j,坐标平面上点An,Bn(nN*)分别满足下列两个条件:=j且=i+j;=3i且3i.(1)求的坐标;(2)若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an,求an(nN*)的表达式;(3)对于(2)中的an,是否存在最小的自然数M,对一切n(nN*),都有anM成立?若存在,求M;若不存在,说明理由.18.【解析】(1) +=j+(n-1)(i+j)=(n-1)i+nj=(n-1,n),+=3i+3i+3i+3i=3i=9-9n,0.(2)由(1)可知An(nN*)在直线y=x+1上.设直线与x轴交点为P,则P(-1,0).an=(n+1)-n=5+(n-2).(3)an-an+1=5+(n-2)-5+(n-1)= (n-4),a1-a20,a2-a30,a3-a40,a6-a70,即在数列an中,a4=a5=5+是数列的最大项,存在最小的自然数M=6,对一切(nN*)都有anM成立.