1、第二章 函数、导数及其应用第十二节 导数的综合应用第二课时 导数与函数的零点问题考点一 利用导数判断函数的零点个数或区间例 已知函数f(x)1xx22 x33 x44 x2 0192 019，g(x)1xx22 x33 x44 x2 0192 019，设函数F(x)f(x2)g(x3)，且函数F(x)的零点均在区间a，b(ab，a，bZ)内，求ba的最小值解析 f(x)1xx2x3x2 0181x2 0191x 0，所以f(x)在a，b(ab，a，bZ)上为增函数，至多有一个零点f(1)1(1)（1）22（1）33（1）2 0192 019121312 0190，f(0)10，所以f(x)的零
2、点x满足1x0，所以f(x2)的零点x1满足1x120，则3x12.g(x)1xx2x3x2 0181x2 0191x 0，所以g(x)在a，b(ab，a，bZ)上为减函数，至多有一个零点g(1)11121312 01812 0190，g(2)0，所以g(x)的零点x满足1x2，所以g(x3)的零点x2满足1x232，所以4x25，故ba的最小值为5(3)8.破题技法 判断函数零点个数的方法(1)直接解方程法，令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；(2)利用零点的存在性定理，定理的使用前提不仅要求函数图像在区间a，b上是连接不断的曲线，且f(a)f(b)0，还要注意结合函数的图
3、像与性质才能确定函数有多少个零点；(3)数形结合法，将原问题转化为两个函数图像的交点个数问题(2019高考全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数(1)证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点；(2)若x0，时，f(x)ax，求a的取值范围解析：(1)证明：设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.当x0，2 时，g(x)0；当x2，时，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点(2)由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0
4、，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(，0考点二 由函数零点或方程的根求参数问题例 已知函数f(x)ln xkx1(k为常数)，若f(x)有且只有一个零点，求k的取值组成的集合解析 易知f(x)1kxx(x0)k0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增而f(ek2)k2kek21k(1ek2)110，f(1)1k0，故f(x)在(ek2，1)上存在唯一零点，满足题意k0时，令f(x)0
5、，得x 1k，则f(x)在(0，1k)上单调递增；令f(x)0，得x1k，则f(x)在(1k，)上单调递减若f(1k)0，即k1，显然满足题意若f(1k)0，即0k1，而f(1e)ke 0，又f(4k2)2ln2k4k12(ln2k2k)1，令h(x)ln xx1(x0)，则h(x)1xx，令h(x)0，得x1，故h(x)在(0，1)上单调递增；令h(x)0，得x1，故h(x)在(1，)上单调递减故有h(x)h(1)0，则h(2k)ln 2k2k10，即ln 2k2k1.则f(4k2)2(ln 2k2k)110，故f(x)在(1e，1k)上有唯一零点，在(1k，4k2)上有唯一零点，不符合题意
6、易知f(1k)0时不符合题意综上，k的取值组成的集合是k|k0或k1破题技法 已知函数(方程)零点的个数求参数的取值范围(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理(2)若函数不是严格单调函数，则结合图像求最小值或最大值(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图像交点的个数若函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围解析：令f(x)axx20，可得axx2.(1)当x0时，函数yax与yx2的图像有一个交点；(2)当x0时，两边同时取自然对数得xln a2ln x，即ln a2ln xx，由题意得函数yln a与g(x)2ln xx的图像在(0，)上有两个不同的
7、交点，g(x)2（1ln x）x2，令g(x)0，解得0 xe，则g(x)在(0，e)上单调递增，令g(x)0，解得xe，则g(x)在(e，)上单调递减，则g(x)maxg(e)2e，ln a2e，1ae2e时有两个交点；又x0时，必有一个交点，1ae2e时，函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点考点三 零点双变量问题例 已知f(x)exax有两个零点x1，x2，且x1x2，则下列不等关系正确的是()Aae Bx1x22Cx1x21 D有极小值点x0且x1x22x0解析 对于选项A，(分离参数)若a0，不符合题意，故a0，令f(x)0，得1axex.设g(x)xex，则g(x)(1x)e
8、x，进而可得g(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，所以g(x)在x1处取得极大值g(1)1e.由此可画出直线y1a与曲线yg(x)，如图所示，由图知，01a1e，所以ae，故选项A错误对于选项B，(分离参数构造函数)由可得g(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，由g(x1)g(x2)及图可得0 x11x2，所以2x21.欲证x1x22，即证x12x2.因为函数g(x)在(，1)上是增函数，所以即证g(x1)g(2x2)又g(x1)g(x2)，所以即证g(x2)g(2x2)，即g(x2)g(2x2)0(x21)设F(x)g(x)g(2x)xex2xe2x(x1)，可得F
9、(x)(x1)(ex2ex)0(x1)所以函数F(x)在(1，)上是增函数，所以F(x)F(1)0(x1)所以g(x2)g(2x2)(x21)，所以x1x22，故选项B正确答案 B破题技法 求解零点双变量问题的常用策略：一是构造新函数；二是将原问题转化为极值点或拐点偏移问题设函数f(x)exsin x，g(x)12x.若存在x1，x20，)使得f(x1)g(x2)成立，则x2x1的最小值是_解析：设x2x1t，由f(x1)g(x2)得x22(ex1sin x1)x1t，所以t2(ex1sin x1)x1，所以x2x1的最小值即函数F(x)2(exsin x)x在0，)上的最小值因为F(x)2ex2cos x1(x0)，所以令(x)2ex2cos x1(x0)，则(x)2(exsin x)0，所以函数F(x)在0，)上单调递增，从而F(x)F(0)22130，所以F(x)在0，)上单调递增，所以F(x)F(0)2，故x2x1的最小值为2.答案：2