1、第二节等差数列基础达标一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016黑龙江牡丹江一中期中考试)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.21.A【解析】由S8=4a3得8a1+d=4(a1+2d),则a1=-5d,由a7=-2得a7=a1+6d=-2,联立方程,解得a1=10,d=-2,故a9=a1+(9-1)d=10-16=-6.2.(2016长春外国语学校质检)设等差数列an的前n项和为Sn,若a4=9,a6=11,则S9=()A.180B.90C.72D.102.B【解析】由a4=9,a6=11得d=1,又由a4=a1+3d得a1
2、=9-3d=6,故S9=96+1=90.3.(2015福建莆田一中模拟)已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为S(t)=v0t+at2,设物体第n秒内的位移为an,则数列an是()A.公差为a的等差数列B.公差为-a的等差数列C.公比为a的等比数列D.公比为的等比数列3.A【解析】an=Sn-Sn-1=v0n+an2-v0(n-1)- a(n-1)2=an+,所以an-an-1=an+-a(n-1)- =a,即公差为a.4.(2015山东临沂质检)在等差数列an中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为()A.4B.6C.8D.104.C【解析】a2+a4+a6+a8+
3、a10=5a6=80,a6=16,a7-a8=8.5.(2016马鞍山二中、安师大附中、淮北一中期中联考)在等差数列an中,a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165,则此数列前30项和等于()A.810B.840C.870D.9005.B【解析】由a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165,可知a1+a2+a3+a28+a29+a30=168,由等差数列的性质可得3(a1+a30)=168,解得a1+a30=56,所以S30=5615=840.6.(2016江西九江一中月考)等差数列an中-1,它的前n项和Sn有最大值,则当Sn取得最小正值时,n=()A.17B.18C.
4、19D.206.A【解析】由等差数列以及前n项和Sn有最大值可得数列单调递减,又0,a100,由不等式的性质可得a10-a9,即a9+a100,S18=9(a1+a18)=9(a9+a10)0,且k1.设cn=anlg an,若cn中的每一项恒小于它后面的项,则实数k的取值范围为.8.(1,+)【解析】由题可知logkan=4+(n-1)2=2n+2,所以an=k2n+2,又cn=anlgan,所以cn=anlgan=k2n+2lg(k2n+2)=(2n+2)k2n+2lg k,由于cn中的每一项恒小于它后面的项,即cn1时,有lg k0,因此由cncn+1得(2n+2)k2n+2lg k(2
5、n+4)k2n+4lg k,可化为(2n+2)k2n+2(2n+4)k2n+4,即(n+1),此不等式在k1下恒成立,故k1符合.当0k1时,有lg k0,因此由cncn+1得(2n+2)k2n+2lg k(2n+4)k2n+4,即(n+1)(n+2)k2,即转化为不等式k2恒成立,nN*,所以k2,则0k.综合得实数k的取值范围为(1,+).三、解答题(共10分)9.(10分)设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1, =an+1-n2-n-,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明对一切正整数n,有+.9.【解析】(1)=an+1-n2-n-,nN*.当n=1时,2a1=2S1=a2
6、-1-=a2-2.又a1=1,a2=4.(2)=an+1-n2-n-,nN*,2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1-,当n2时,2Sn=1=(n-1)an-,由-,得2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1).2an=2Sn-2Sn-1,2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),=1.数列是首项为=1,公差为1的等差数列.=1+1(n-1)=n,an=n2(n2).当n=1时,上式显然成立.an=n2,nN*,(2)由(1)知,an=n2,nN*,当n=1时, =1(n-1)(n+1),+=1+1+=1+=1+=-0,b0,a,b的等差中项是,且=a+,=b
7、+,则+的最小值为()A.2B.3C.4D.52.D【解析】由题可知a+b=1,所以+=a+b+=1+ (a+b)=3+3+2=5.3.(5分)(2016福州八中质检)已知an是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为.3.4【解析】an是等差数列,S5=55,a1+a5=2a3=22,又a4=15,设公差为d,d=4,kPQ=d=4.4.(12分)(2016惠州调研)已知an是公差为2的等差数列,且a3+1是a1+1与a7+1的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=,求数列bn的前n项和Sn.4.【解析】(1)由已知可得(a3+1)2
8、=(a1+1)(a7+1),又d=2,得a1=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,an的通项公式为an=2n+1.(2)bn=22n+1=2n+1+1,Sn=22+1+23+1+2n+1+1=22+23+2n+1+n=+n=2n+2+n-4,数列bn的前n项和Sn=2n+2+n-4.5.(13分)(2016南京调研)已知等差数列an的前n项和为Sn,且2a5-a3=13,S4=16.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)设Tn= (-1)iai,若对一切正整数n,不等式Tnan+1+(-1)n+1an2n-1恒成立,求实数的取值范围.5.【解析】(1)设数列an的公差为d.因为2a5-a3=13,S4=16,所以解得a1=1,d=2,所以an=2n-1,Sn=n2.(2)当n为偶数时,设n=2k,kN*,则T2k=(a2-a1)+(a4-a3)+(a2k-a2k-1)=2k.代入不等式Tnan+1+(-1)n+1an2n-1,得2k4k,从而0,所以f(k)是递增的,所以f(k)min=2,所以2.当n为奇数时,设n=2k-1,kN*,则T2k-1=T2k-(-1)2ka2k=2k-(4k-1)=1-2k.代入不等式Tnan+1+(-1)n+1an2n-1,得(1-2k)-4k.因为kN*,所以-4k的最大值为-4,所以-4.综上,的取值范围为(-4,2).