1、第八节直线与圆锥曲线的位置关系基础达标一、选择题(每小题5分,共25分)1.不论k取何值,直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点,则实数b的取值范围是()A.(-)B.-C.(-2,2)D.-2,21.B【解析】直线y=k(x-2)+b恒过点(2,b),所以只要满足22-b21,即b23,解得-b.2.(2015石家庄二模)已知F是抛物线x2=4y的焦点,直线y=kx-1与该抛物线交于第一象限内的交点A,B,若|AF|=3|FB|,则k的值是()A.B.C.D.2.D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2+(2-4k2)y+1=0,则y1+y2=4k2-2
2、,y1y2=1,又|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,由已知y1+1=3(y2+1),由得y1=3,y2=,代入得k= (A,B在第一象限,负值舍去).3.(2015山东北镇中学模拟)直线x-2y+2=0经过椭圆=1(ab0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.3.C【解析】由题意可知椭圆的一个焦点为(-2,0),一个顶点为(0,1),代入椭圆方程得b=1,c=2,则a=,则该椭圆的离心率为.4.(2015河南八市联考)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过点F的直线交抛物线于A,B两点,过点A作准线l的垂线,垂足为E,当A点坐标为(3,y0)时,A
3、EF为正三角形,则此时OAB的面积为()A.B.C.D.4.A【解析】如图所示,过点F作AE的垂线,垂足为点H,则H为AE的中点,因为A点坐标为(3,y0),所以AE=3+,EH=p,所以2p=3+,所以p=2,所以y2=4x,此时A(3,2),F(1,0),kAF=,所以直线AF的方程为y= (x-1),代入抛物线方程可得3(x-1)2=4x,解得x=3或,所以y=2或-,所以AOB的面积S=SOFB+SOFA=1.5.已知曲线y=ax2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A,B,如果过这两个交点的直线的倾斜角是45,则实数a的值是()A.2B.C.1D.-15.B【解析】曲线y=
4、ax2关于点(1,1)对称的曲线方程为y=-a(x-2)2+2,设两个不同的交点A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程ax2=-a(x-2)2+2,即方程ax2-2ax+2a-1=0的两根,x1+x2=2,过两个交点的直线的倾斜角是45,=a(x1+x2)=1,a=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015宿迁质检)椭圆C: =1(ab0)的右焦点为F,直线y=-x与椭圆C交于A,B两点,且AFBF,则椭圆C的离心率为.6. -1【解析】设左焦点为F,则四边形FAFB是平行四边形,又AFBF,所以四边形FAFB是矩形,则OA=OF=c,又AOF=120,所
5、以AF=c,AF=c,由椭圆定义可得AF+AF=c+c=2a,即c=a,则离心率e=-1.7.(2015绍兴质检)已知抛物线C:y2=4x,点M(-1,1),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则实数k的值为.7.2【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得直线AB的方程为y=k(x-1),代入抛物线C:y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,所以=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=x1x2+x1+x2+y1y2-(y1+y2)+2=x1x2+x1+x2+k2(x1-1)(x2-1)-k(x1+x2
6、)+2k+2=(1+k2)x1x2+(1-k2-k)(x1+x2)+k2+2k+2=0,所以1+k2+(1-k2-k) +k2+2k+2=0,解得k=2.8.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,椭圆C: =1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线与圆M相切,则a的值为.8.2【解析】圆M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,m2+3=4,m2=1,mb0)的离心率为,F1,F2为其左、右焦点,且|F1F2|=2,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1,F2分别作直线l的垂线,垂足分别为P,Q,求四边形P
7、F1F2Q面积的最大值.10.【解析】(1)由题知c=1,e=,故a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)当k=0时, =2;当k0时,令|PF1|=d1,|QF2|=d2,则d1=,d2=,|PQ|=.由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由题知=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,即m2=1+2k2,所以 (d1+d2)|PQ|=,又m2=1+2k2,故|m|1,所以=|=0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=3|FB|,则k=()A.B.C.D.1.A【解析】由抛物线定义可得|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,则xA+
8、2=3(xB+2),xA=3xB+4.将直线y=k(x+2),k0代入抛物线C:y2=8x整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则xA+xB=-4+,xAxB=4,与联立解得xA=6,xB= (舍负),k2=,又k0,所以k=.2.(5分)(2015江苏盐城中学阶段检测)已知椭圆=1(ab0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k20),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为.2.1【解析】设P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则k1k2=,因为两式相减得=-=-=-1+=-,所以|k1|+
9、|k2|2=1,当且仅当|k1|=|k2|=时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为1.3.(5分)已知正方形的一条边AB在直线y=x+4上,顶点C,D在抛物线y2=x上,则该正方形的边长为.3.3或5【解析】设CD所在直线的方程为y=x+b(bb0),右焦点F(,0),点A在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=kx+m(k0)与椭圆C有且只有一个公共点M,且与圆O:x2+y2=a2+b2相交于P,B两点,问kOMkPB=-1是否成立?请说明理由.4.【解析】(1)因为椭圆C的右焦点F(,0),经过点A,所以解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程是+y2=1.(2)不成立.由
10、(1)知圆O:x2+y2=5,因为直线与椭圆C有且只有一个公共点M,所以方程组 (*)有且只有一组解,由(*)得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,从而=0,即16(4k2-m2+1)=0,化简得m2=1+4k2,xM=-,yM=kxM+m=.所以点M的坐标为.因为kPB=k0,由可知m0,所以kOMkPB=k=-1,所以kOMkPB=-1不成立.5.(13分)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与
11、m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.5.【解析】(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,则|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为ABD的面积为4,所以|BD|d=4,即2pp=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30,直线m的斜率为或-.当直线m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于直线n与C只有一个公共点,故=p2+8pb=0.解得b=-.因为直线m的截距b1=3,所以坐标原点到直线m,n距离的比值为3.同理,当直线m的斜率为-时,坐标原点到直线m,n的距离的比值也为3.