1、提能专训(九)空间几何体A组一、选择题1(2013东北三省四市一联)如图所示是一个几何体的三视图，其侧(左)视图是一个边长为a的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为()Aa3 B.C. D.答案：D解题思路：由三视图可知，几何体是由两个相同的三棱锥组合而成，所以V2a2a，故选D.2(2013东北三省二联)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A162 B82C16 D8答案：B命题立意：本题主要考查立体几何中的三视图问题和简单几何体的体积公式，难度中等解题思路：由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此V12412282，故选B.3
2、在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120(如图所示)，若将ABC绕BC边所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()A. B.C. D.答案：D解题思路：如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD的体积之差，由已知求得BD1，AD.所以VV圆锥CDV圆锥BD331.4如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a(abh)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为()A1且abhB1且abhC1且abhD1且abh答案：B解题思路：设啤酒瓶的底面积为S，啤酒瓶的容积为V瓶，瓶内酒的体积为V酒，则V酒Sa，V瓶V酒Sb，即得V瓶V酒SbS(ab)， 1.又 SaSa，即aa
3、， habab， 1且abh.5已知一个几何体的正(主)视图和俯视图如图所示，正(主)视图是边长为2a的正三角形，俯视图是边长为a的正六边形，则该几何体的侧(左)视图的面积为()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案：A命题立意：本题主要考查三视图的相关知识解题时，首先根据三视图判断出该几何体的直观图，确定相关基本量，再进行求解解题思路：由该几何体的正(主)视图和俯视图可知，该几何体是一个正六棱锥该几何体的侧(左)视图，如图所示，其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BCa，AD是正六棱锥的高，则ADa，所以该几何体的侧(左)视图的面积为Saaa2.6一个几何体的
4、正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，且圆与三角形内切，则侧视图的面积为()A6 B4C64 D44答案：A命题立意：本题考查三视图知识、空间想象能力与几何体的体积公式，难度中等解题思路：依题意得，该几何体是在一个正三棱柱的上面放置一个球的组合体，其中该正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是2，该球的半径是1，因此其侧视图的面积为12226，故选A.7(2013吉林省质检一)已知三棱锥SACB的四个顶点都在半径为1的球面上，底面ABC是正三角形，SASBSC，且平面ABC过球心，则三棱锥SABC的体积是()A. B. C. D.答案：C命题立意：本题考查与球有关的组合体知识及球的性
5、质应用，难度中等解题思路：由已知可得底面等边三角形ABC外接圆的半径为1，设等边三角形ABC的边长为a，则有a1，解得a，故V棱锥SABC()21，故选C.8如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MPMB，则点M的轨迹为()答案：B命题立意：本题考查空间直线与平面的位置关系和空间想象能力，难度中等解题思路：利用平面的基本性质求解由MPMB得点P在线段PB的垂直平分面上，又点M在平面ABCD上，所以点M在两个平面的交线上，而两个平面的交线是一条直线又OBOP，所以交线不经过点O，故选B.9(2013海口高考调研)在
6、三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，BAC30，BC1，且三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积为()A16 B12 C8 D4答案：A解题思路： ACB90，BAC30，BC1， AC. AA1底面ABC， 三棱柱ABCA1B1C1的体积V1CC13，得CC12， 三棱柱ABCA1B1C1的外接球半径r2， S表42216.10(2013石家庄一模)已知正三棱锥PABC的正(主)视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为()A4 B12 C. D.答案： D命题立意：本题考查三视图知识及与球有关的组合体知识，考查空间想象与运
7、算能力，难度中等解题思路：由三视图可知正三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为4.如图，设点D为外接球的球心，则AO2，OP2，在直角三角形AOD中，可得R2(2R)222，解得R，则此三棱锥的外接球的表面积S4R2，故选D.二、填空题11一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案：50(1)命题立意：本题考查三视图及空间几何体表面积的求解，考查空间想象与公式运用能力，难度较小解题思路：据三视图可知几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为10，四棱锥的高为5，故侧面高为h，因此表面积S45101050(1)12如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若
8、ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_答案：20命题立意：本题考查几何体外接球表面积的计算，难度中等解题思路：底面三角形ABC的外心是O，设OAOBOCr，在ABC中，ABAC2.BAC120，BC2，由正弦定理可得2r，r2，设外接球的球心为O，在RtOBO中，易得球半径R，故此球的表面积为4R220.13(2013武汉2月调研)如图，在三棱锥DABC中，已知BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，则三棱锥DABC的体积的最大值是_答案：2解题思路：据题ABBDACCD10，也就是说，线段ABBD与线段ACCD的长度是定值，因为棱AD与棱BC互相垂直，当ABBD时，AC
9、CD，此时有最大值，此时最大值为2.14已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的表面积为_答案：解题思路：AB1D1是边长为的正三角形，由正弦定理得其外接圆的半径为，圆锥底面面积为S12；圆锥的母线即为球的半径，圆锥的侧面积为S22，因此圆锥的表面积为SS1S2.B组一、选择题1下列说法正确的是()A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形
10、成的曲面所围成的几何体叫圆锥答案：B解题思路：对于A选项，若两个底面相同的斜三棱柱对接后满足A答案的情况，但不是棱柱，A错；对于B选项，取长方体上底面的一个顶点为顶点，取下底面的矩形为底的四棱锥满足B答案；对于C选项，和A选项类似，两个底面形状相同的棱台对接后满足C中的条件，但不是棱台，因为棱台是由棱锥截得的；对于D，只有旋转轴为直角三角形的直角边时，才能得到圆锥，其他情况不满足要求故选B.2已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A6B12C18D24答案：C命题立意：本题主要考查空间几何体、球的体积、棱柱的表面积
11、等基础知识，考查考生的空间想象能力、运算求解能力解题思路：根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面内切圆的半径等于1，即底面的高等于3，底面边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于32222318.3已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B. C2 D3答案：C解题思路：如图，设正四棱锥SABCD的高为x，由题意，知x(0，2)则在直角SAO中，AO，在底面正方形ABCD中，AOAB，故ABAO，所以SABCDAB22(12x2)242x2，故该锥体的体积V(x)SABCDSO(242x2)x(24x2x3)，V(x)(246x2)82x2，令
12、V(x)0，即82x20，解得x2.当x(0,2)时，V(x)0，V(x)单调递增；当x(2,2)时，V(x)0，V(x)单调递减所以当x2时，V(x)取得最大值4(河南豫东、豫北十校测试三)在矩形ABCD中，AB4，BC2，且矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，若四棱锥OABCD的体积为8，则球O的半径R()A3 B. C2 D4答案：D命题立意：本题考查锥体的体积计算、球的截面圆性质，难度中等解题思路：利用矩形求出截面圆的半径，再利用四棱锥的体积求出球心到截面圆的距离，根据勾股定理求球的半径因为矩形ABCD的对角线长为2，所以该矩形所在的截面圆的半径为r.又设球心O到截面圆的距离
13、为h，则四棱锥OABCD的体积为42h8，解得h1，所以球O的半径R4.5如图，在三棱柱ABCABC中，点E，F，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心从K，H，G，B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()AK BH CG DB答案：C解题思路：假如平面PEF与侧棱BB平行，则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FKBB，排除A；假如P为点B，则平面PEF即平面ABC，此平面只与一条棱AB平行，排除D；若P为点H，则HF为BAC的中位线， HFAC，EF为ABC的中位线， EFAB，HE为ABC的中位线， HEBC，显然不合题意，排除B；若P为点G，E
14、FAB，则EFAB，满足条件，故C正确二、填空题6(2013陕西师大附中三模)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.答案：M线段FH解题思路：连接FH，HN，FN，由题意知HN平面B1BDD1，FH平面B1BDD1，且FHHNH， 平面NHF平面B1BDD1， 当M在线段HF上运动时，有MN面B1BDD1.7已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积
15、的最小值是_答案：命题立意：本题主要考查球及其截面性质等知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及空间想象能力解题思路：由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为，AB3，过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S2.8(2013浙江杭州一模)如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为_答案：S1S2S3解题思路：如图，取BC的中点D，连接AD，OD，设OAa，OBb，OCc，S1SAODOAOD，同理S2，S3，易得SS0
16、，则S1S2.同理S2S3，因此S1S2S3.9(2013江南十校3月联考)已知ABC的三边长分别为AB5，BC4，AC3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点给出下列四个命题：若PA平面ABC，则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形；若PM平面ABC，且M是AB边的中点，则有PAPBPC；若PC5，PC平面ABC，则PCM面积的最小值为；若PC5，P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案：解题思路：由题知ACBC，对于，若PA平面ABC，则PABC，又知PAACA， BC平面PAC， BCPC，因此该
17、三棱锥PABC的四个面均为直角三角形，正确；对于，由已知得M为ABC的外心，所以MAMBMC.因为PM平面ABC，则PMMA，PMMB，PMMC，由三角形全等可知PAPBPC，故正确；对于，要使PCM的面积最小，只需CM最短，在RtABC中，(CM)min， (SPCM)min56，故错误；对于，设点P在平面ABC内的射影为O，且O为ABC的内心，由平面几何知识得内切圆半径为r1，且OC，在RtPOC中，PO， 点P到平面ABC的距离为，故正确三、解答题10(2013云南昆明高三检测)已知四棱锥PABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，如图，分别是四棱锥PABCD的侧(左)视图
18、和俯视图(1)求证：ADPC；(2)求四棱锥PABCD的侧面PAB的面积命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力解析：(1)证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，如图，连接PE，则PE平面ABCD. AD平面ABCD， ADPE. ADCD，CDPEE，CD平面PCD，PE平面PCD， AD平面PCD. PC平面PCD， ADPC.(2)依题意，在等腰三角形PCD中，PCPD3，DEEC2，在RtPED中，PE.过点E作EFAB，垂足为F，连接PF， P
19、E平面ABCD，AB平面ABCD， ABPE. EF平面PEF，PE平面PEF，EFPEE， AB平面PEF. PF平面PEF， ABPF.依题意得EFAD2.在RtPEF中，PF3， PAB的面积为SABPF6. 四棱锥PABCD的侧面PAB的面积为6.11(2013河南郑州高三质检)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点(1)求证：AB1平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD平面ABC时，求的值命题立意：本题主要考查正三棱柱的性质、线面垂直的判定、线面平行与面面平行的判定定理及性质定理等基础知识，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和逻辑推理能力
20、解析：(1)证明：取BC的中点为M，连接AM，B1M，在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，ABC为正三角形，所以AMBC，故AM平面BCC1B1.又BD平面BCC1B1，所以AMBD.又正方形BCC1B1中，tanBB1MtanCBD，所以BDB1M，又B1MAMM，所以BD平面AB1M，故AB1BD.正方形BAA1B1中，AB1A1B，又A1BBDB，所以AB1平面A1BD.(2)取AA1的中点为N，连接ND，OD，ON.因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND平面ABC.又OD平面ABC，NDODD，所以平面NOD平面ABC，所以ON平面ABC.又ON平面BA
21、A1B1，平面BAA1B1平面ABCAB，所以ONAB.注意到ABA1B1，所以ONA1B1，又N为AA1的中点，所以O为AB1的中点，即1.12(2013哈师大附中联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC，ACB90，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，ACBC1，AA12.(1)求证：CF平面AB1E；(2)求三棱锥CAB1E在底面AB1E上的高命题立意：本题以三棱柱为载体考查空间中的线面平行的判定、三棱锥高的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中解析：(1)证明：如图，取AB1的中点G，连接EG，FG. F，G分别是AB，AB1的中点， FGBB1
22、，FGBB1. E为侧棱CC1的中点， FGEC，FGEC， 四边形FGEC是平行四边形， CFEG. CF平面AB1E，EG平面AB1E， CF平面AB1E.(2) 三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC， BB1平面ABC.又AC平面ABC， ACBB1. ACB90， ACBC. BB1BCB， AC平面EB1C， ACCB1， VAEB1CSEB1CAC1. AEEB1，AB1， SAB1E， VCAB1EVAEB1C， 三棱锥CAB1E在底面AB1E上的高为.13已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长都是2，BADA1AD60，E，O分别是棱CC1和棱AD的中点，平面AD
23、D1A1平面ABCD.(1)求证：OC平面AED1；(2)求证：ADD1C；(3)求几何体DAED1的体积解题探究：本题主要考查空间点、线、面的位置关系和几何体的体积计算(1)通过线线平行证明线面平行即可；(2)利用线面垂直的判定定理进行证明；(3)利用等体积法计算几何体体积解析：(1)证明：连接A1D交AD1于点F，连接OF，EF，则F为A1D的中点，也为AD1的中点因为E，O分别是棱CC1和棱AD的中点，所以OFAA1CC1，且OFAA1.又因为CECC1，所以OF綊CE，所以四边形OCEF为平行四边形，所以OCEF.因为EF平面AED1，OC平面AED1，所以OC平面AED1.(2)证明：连接A1O，因为斜四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长都是2，A1AD60，所以AA1D为正三角形，又因为O是棱AD的中点，所以A1OAD.又因为平面ADD1A1平面ABCD，平面ADD1A1平面ABCDAD，所以A1O平面ABCD.连接A1B，OB，因为BAD60，所以ADOB，所以AD平面A1OB，所以ADA1B.又因为A1BD1C，所以ADD1C.(3)连接BD，BD1.因为平面ADD1A1平面BB1C1C，所以点E到平面ADD1A1的距离等于点B到平面ADD1A1的距离，所以VDAED1VEADD1VBADD122sin 1201.