1、第六节正弦定理和余弦定理及其应用基础达标一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015淮安联考)在ABC中,a=2,b=2,B=,则SABC=()A.2B.3C.6D.61.A【解析】由正弦定理得,得sin A=,又ba,则BA,所以A=,C=,故SABC=ab=22=2.2.(2015西北工业大学附中期末考试)在三角形ABC中,a,b,c是边A,B,C对边,若a2-c2=2b,且sin B=6cos Asin C,则b=()A.4B.3C.2D.12.B【解析】由sin B=6cos Asin C得b=6c,即2b2=3a2-3c2=6b,所以b=3.3.(2015南京三模)在三角形ABC
2、中,内角A,B,C所对的边是a,b,c,且A=,acos C+ccos A=2bcos A,则sin B+sin C的取值范围是()A.B.C.D.3.A【解析】sin B+sin C=sin B+sin=sin B+sincos B-cossin B=sin B+cos B=sinB+,0B,B+,b,则B=()A.B.C.D.4.A【解析】利用正弦定理,化简已知等式得sin A sin Bcos C+sin C sin B cos A=sin B,sin B0,sin Acos C+sin C cos A=sin(A+C)=sin B=.ab,AB,即B为锐角,所以B=.5.(2015天津
3、高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为()A.10B.9C.8D.75.C【解析】由cos A=-,可得sin A=,而S=bcsin A=3,可得bc=24,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+12=(b-c)2+2bc+12=64,解得a=8.6.(2015合肥质检)ABC中,ABC = 30,AB=,BC边上的中线AD=1,则边AC的长度为()A.1或B.C.D.1或6.A【解析】由正弦定理可知,则sin ADB=,所以ADB=60或ADB=120.当ADB=60时,BD=2,DC=
4、2,ADC=120,由余弦定理得AC=.当ADB=120时,BD=1 ,DC=1 ,ADC=60 ,所以ADC为等边三角形,所以AC=1.综合得AC的长度为1或.7.(2016河南林州一中质检)在ABC中,角A,B的对边分别为a,b,且A=2B,sin B=,则的值是()A.B.C.D.7.D【解析】由A =2B知sin A=sin 2B=2sin Bcos B,又由sin B=知cos B=,所以由正弦定理得=2cos B=2.二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2015北京高考)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.8.1【解析】由余弦定理得cos A=,由正弦定理得=1.9.(2
5、015福建高考)若锐角ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.9.7【解析】由题可得c=5,b=8,那么由S=bcsin A=10可得sin A=,又由于该三角形是锐角三角形,则有cos A=,那么由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=49,解得a=7.三、解答题(共10分)10.(10分)(2015山东实验中学一模)在ABC中,角A,B,C的对边长分别是a,b,c,且满足(2b-c)cos A-acos C=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,ABC的面积SABC=,试判断ABC的形状,并说明理由.10.【解析】(1)(2b-c)cos A-acos C=0,(2
6、sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0,2sin Bcos A=sin(A+C),2sin Bcos A=sin B,cos A=,A=. (2)SABC=,bcsin A=,bc=3.cos A=,b+c=2.b=c=. 又A=,ABC是等边三角形.高考冲关1.(5分)(2016南昌摸底)在ABC中,sin A=8,则ABC的面积为()A.3B.4C.6D.1.A【解析】因为=bccos A=8,又因为sin A=,所以cos A=,因此bc=10,所以SABC=bcsin A=10=3.2.(5分)(2015重庆高考)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分线AD=
7、,则AC=.2.【解析】在ABD中,由正弦定理得sin ADB=.由题意知0ADBb,所以B=.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,解得c=2或c=1.5.(13分)(2016云南玉溪一中月考)ABC的内角A,B,C及所对的边分别为a,b,c,已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小; (2)若sin A=,求ABC的面积.5.【解析】(1)由倍角公式知原等式可化为sin 2A-sin 2B,即sin=sin,ab,AB.又A,B(0,),2B-+2A-=,C=.（2）由正弦定理可求得a=,ac,cos A=.sin B=sin(A+C)=.SABC=acsin B=.