1、河北省衡水2022高三第一学期四调考试数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知z=i(3-i)2+i，则z在复平面内对应的点位于A实轴上 B虚轴上C第一、三象限的角平分线上 D第二、四象限的角平分线上2已知向量a，b满足|a|=2，b=(1，1)，|a+b|=10，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为A(22,22) B(1,1) C(-1,-1) D(-22,22)3在RtABC中，A=90，B=60，AB
2、=2，则ABBC=A-4 B4 C-8 D84已知A，B，C为平面内任意三点，则“AB与AC的夹角为钝角”是“|AB+AC|BC|”的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件52 000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为5-12如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BFAC，DHAC，AEBD，CGBD，且点E为线段BO的黄金分割点，则BF= A3-52BA+5+510BG B3-52BA+5-510BG C5-12BA
3、+5-510BG D3-52BA+55BG6已知复数z满足zz+4iz=5+ai，则实数a的取值范围是A-4,4 B-6,6 C-8,8 D-12,127已知点P是ABC所在平面内一点，有下列四个等式：PA+PB+PC=0；PA(PA-PB)=PC(PA-PB)；|PA|=|PB|=|PC|；PAPB=PBPC=PCPA如果只有一个等式不成立，则该等式为A B C D8对于给定的正整数n，设集合Xn=1,2,3,n，AXn，且A记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2023)=A202322023+1 B202322022+1
4、C202222022+1 D202222023+1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9设非零向量a，b的夹角为，c为任意非零向量，定义运算a*b=|a|b|sin，则下列结论正确的是A若a*b=0，则a/b Ba*(b+c)=a*b+a*c C2(a*b)(ab)=a2b2sin2 D若|a|=|b|=1，则a*b的最大值为110已知复数z1，z2满足|z1|z2|0，则下列结论正确的是 A若|z1|=|z2|，则z1=z2 B|z1+z2|z1|+|z2| C若|z1|=|z2|，则z
5、12=z22 D|z1z2|=|z1|z2|11如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的非负半轴上滑动，则OBOC的值可能是A1 B-1 C2 D-212已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R若对任意的x，yR，都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，则下列结论正确的是 Af(0)=1 Bf(x)+f(0)0 C若f(1)=12，则n=12023f(n)=12 Df(x)必为奇函数第卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知2z-11+z=i，则z的虚部是_14若函数f(x)=asinx+cosx的图象
6、关于直线x=6对称，则实数a=_15在ABC中，|AB|=|AC|=|AB-AC|，P是线段BC上的动点，有下列三个结论： 2|AP|3|AB|；ABACAPAC；ABAPACAP 则所有正确结论的序号是_16已知向量a，b，c满足|a|=1，b=-2a，|c-b|=2|c-a|，则向量c-b与a的夹角的最大 值是_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分） 设复数z1=1-i，z2=cos+isin，其中0, (1)若复数z=z1z2为实数，求的值； (2)求|z1+z2|的取值范围18（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
7、已知ABC的外接圆半径R=2，且tanB+tanC=2sinAcosC (1)求B和b的值； (2)求ABC面积的最大值19（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，BAD=3，E为CD的中点， AF=AD(01).(1)若AEBF，求实数的值；(2)求BFFE的取值范围20（12分） 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x+c为奇函数，且在区间(-,-1)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减 (1)求f(x)的解析式； (2)若过点A(1,m)(m-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围21（12分）治理垃圾是某市改善环境的重要举措2021年该市产生的垃
8、圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从2022年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75% (1)写出该市从2022年开始的年垃圾排放量与治理年数n(nN*)的表达式；(2)设An为从2022年开始n年内的年平均垃圾排放量如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由22（12分） 已知函数f(x)=ln(x+1)-1 (1)证明：f(x-1)2x-3； (2)设函数g(x)=(x+1)f(x)-12ax2+1，若g(x)在区间(0,+)上存
9、在最大值，求实数a的取值范围数学参考答案一、选择题1C【解析】因为z=1+3i2+i=(1+3i)(2-i)(2+i)(2-i)=5+5i5=1+i，所以z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一、三象限的角平分线上2B【解析】由b=(1,1)，得|b|=12+12=2，则|a+b|=a2+b2+2ab=|a|2+|b|2+2ab=10，即4+2+2ab=10，则ab=2，所以向量a在向量b上的投影向量的坐标为(ab|b|)b|b|=b=(1,1).3A【解析】因为ABC为直角三角形，且A=90，B=60，AB=2，所以BC=4，且=120，所以ABBC=|AB|BC|cos120=24
10、(-12)=-4.4B【解析】设AB与AC的夹角为(0,)，当为钝角时，|AB+AC|2-|BC|2=|AB+AC|2-|AC-AB|2=4ABAC0，所以|AB+AC|BC|；当|AB+AC|BC|时，|AB+AC|2|AC-AB|2，所以4ABAC0，即ABAC0，故cos0，所以2，所以“AB与AC的夹角为钝角”是“|AB+AC|BC|”的充分不必要条件5 D【解析】由题意得BE=5-12BO，显然BE=DG，BO=OD=12BD，所以BG=(2-5-12)BO=5-52BO，故BO=25-5BG=25(5-1)BG，因为BF=BA+AF=BA+5-12AO=BA+5-12(BO-BA)
11、=3-52BA+5-12BO，所以BF=3-52BA+55BG.6 D【解析】设z=x+yi，x，yR，则x2+y2+4i(x-yi)=5+ai，整理得x2+y2+4y+4xi=5+ai，所以x2+y2+4y=5,4x=a,即y2+4y+a216-5=0因为此方程有实根，所以=16-4(a216-5)0，解得-12a12.7B【解析】对于，设BC的中点为D，连接PD，则PB+PC=2PD. 又PA+PB+PC=0，所以PB+PC=-PA，所以PA=-2PD，故点P为ABC的重心；对于，由PA(PA-PB)=PC(PA-PB)，得(PA-PB)CA=BACA=0，故ABAC，即ABC为直角三角形
12、；对于，由点P到ABC三个顶点的距离相等，得点P为ABC的外心；对于，由PAPB=PBPC，得(PA-PC)PB=CAPB=0，同理可得BAPC=CBPA=0，所以ACPB，ABPC，BCPA，即点P为ABC的垂心，当ABC为等边三角形时，重心、外心、垂心重合，此时均成立，不成立，满足要求；当成立时，其他三个均不一定成立8D【解析】根据题意知A为集合Xn的非空子集，满足I(A)=1的集合只有1个，即1；满足I(A)=2的集合有2个，即2，1，2；满足I(A)=3的集合有4个，即3，1，3，2，3，1，2，3；满足I(A)=n的集合有2n-1个，所以S(n)=1+22+322+n2n-1，则2S
13、(n)=12+222+323+(n-1)2n-1+n2n，两式相减得-S(n)=1+2+22+.+2n-1-n2n=2n-1-n2n，所以S(n)=(n-1)2n+1，所以S(2023)=202222023+1.二、选择题9ACD【解析】对于A，因为a*b=|a|b|sin=0，所以sin=0，解得=0或=，所以a/b，故选项A正确；对于B，不妨取a=(1,0)，b=(0,1)，c=(0,-1)，设a与b+c的夹角为，a与c的夹角为，则a*(b+c)=|a|b+c|sin=100=0,a*b+a*c=|a|b|sin+|a|c|sin=111+111=2，此时a*(b+c)a*b+a*c，故选
14、项B错误；对于C，2(a*b)(ab)=2(|a|b|sin)(|a|b|cos)=2|a|2|b|2sincos=a2b2sin2，故选项C正确；对于D，当|a|=|b|=1时，a*b=|a|b|sin=sin1，当且仅当=2时取等号，所以(a*b)max=1，故选项D正确10BD【解析】设z1=1+i，z2=2i，则|z1|=|z2|=2,z12=(1+i)2=2i,z22=(2i)2=-2，不满足z1=z2，也不满足z12=z22，故选项AC错误；对于B，设z1，z2在复平面内对应的向量分别为OZ1，OZ2，且OZ1,OZ20，由向量加法的几何意义知|OZ1+OZ2|OZ1|+|OZ2|
15、，故|z1+z2|z1|+|z2|，故选项B正确；对于D，设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，dR，且a，b，c，d0，则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，所以|z1z2|=(ac-bd)2+(ad+bc)2=(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2，|z1|z2|=a2+b2c2+d2=(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2=|z1z2|，故选项D正确11AC【解析】设OAD=(02)，因为AD=1，所以OA=cos,OD=sin,BAx=2-，故xB=cos+cos(2-)=cos+sin，yB=sin(2-)=cos，所以OB=
16、(cos+sin, cos)同理可得C(sin,cos+sin)，所以OC=(sin,cos+sin)，所以OBOC=(cos+sin,cos)(sin,cos+sin)=1+sin2因为02，所以0sin21，则1OBOC2，故OBOC的值可能是l，212BC【解析】对于A，令x=y=0，由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，得2f(0)=2f2(0)，故f(0)=0或f(0)=1，故选项A错误；对于B，令x=y，则f(2x)+f(0)=2f2(x)，故f(2x)+f(0)0因为xR，令t=2x，tR，所以f(t)+f(0)0，即f(x)+f(0)0，故选项B正确；对于C，令x=
17、1，y=0，则f(1)+f(1)=2f(1)f(0)，若f(1)=12，则f(0)=1；令x=y=1，则f(2)+f(0)=2f2(1)，即f(2)+1=12，所以f(2)=-12；令x=2，y=1，则f(3)+f(1)=2f(2)f(1)，即f(3)+12=-12，所以f(3)=-1；令x=3，y=1，则f(4)+f(2)=2f(3)f(1)，即f(4)-12=-1，所以f(4)=-12；令x=4，y=1，则f(5)+f(3)=2f(4)f(1)，即f(5)-1=-12，所以f(5)=12；令x=5，y=1，则f(6)+f(4)=2f(5)f(1)，即f(6)-12=12，所以f(6)=1；
18、令x=6，y=1，则f(7)+f(5)=2f(6)f(1)，即f(7)+12=1，所以f(7)=12，由此可得f(n),nN*的值有周期性，且周期为6又f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，所以n=12023f(n)=337f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(1)=12，故选项C正确；对于D，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，当f(0)=0时，f(y)+f(-y)=，即f(x)+f(-x)=0，则f(x)-f(-x)=0，即f(x)=f(-x)，所以f(x)为偶函数，故选项D错误三、填空题1335 【解析】设z=a+bi
19、(a,bR)，由2z-11+z=i，得2(a+bi)-1=i(1+a+bi)，即2a-1+2bi=-b+(a+1)i，所以2a-1=-b,2b=a+1,解得a=15b=35，所以z=15+35i，故z的虚部是351433【解析】因为函数f(x)=asinx+cosx的图象关于直线x=6对称，所以f(x)=asinx+cosx在x=6时取得最值，结合辅助角公式得f(6)=a2+1，即12a+32=a2+1，整理得3a2-23a+1=(3a-1)2=0，解得a=3315【解析】因为|AB|=|AC|=|AB-AC|=|CB|，所以ABC是等边三角形，取BC的中点为O，连接AO，以O为坐标原点，BC
20、所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图设|AB|=2，则A(0,3)，B(-1,0)，C(1,0)，P(x,0)(-1x1)，所以AP=(x,-3),AB=(-1,-3)，所以2|AP|2-3|AB|2=4x20，即2|AP|3|AB|，故正确；ABAC-APAC=-1+3-(x+3)=-1-x-2,0，故错误；ABAP-ACAP=-x+3-(x+3)=-2x-2,2，故错误166【解析】由|c-b|=2|c-a|，得|c-b|=2|c-b+b-a|又由b=-2a，得2|(c-b)-3a|=|c-b|，则4(c-b)2-6a(c-b)+9a2=(c-b)2，即(c-b)
21、2-8a(c-b)+12=0，即a(c-b)=(c-b)2+128，所以cos=a(c-b)|a|c-b|=(c-b)2+128|c-b|212(c-b)28|c-b|=32，当且仅当(c-b)2=12时取等号，所以向量c-b与a的夹角的最大值是6.四、解答题17解：(1)z=z1z2=(1+i)(cos+isin)=(cos-sin)+(cos+sin)i （2分）若复数z=z1z2为实数，则cos+sin=0故tan=-1. （3分）又0,，所以=34 （4分）(2)因为z1=1-i，z2=cos+isin所以|z1+z2|=|1-i+cos+isin|=|(1+cos)+(-1+sin)
22、i| =(1+cos)2+(-1+sin)2=3+2cos-2sin =3+22cos(+4) （6分）又0,，所以+44,54所以-1cos(+4)22, （8分）则3-22|z1+z2|5即2-1|z1+z2|5故|z1+z2|的取值范围是2-1,5. （10分）18解：(1)因为tanB+tanC=2sinAcosC，所以sinBcosB+sinCcosC=2sinAcosC即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,故sin(B+C)=2sinAcosB （2分）因为A+B+C=，所以sinA=2sinAcosB又sinA0，所以cosB=22，因为0B，所以B=4 （4
23、分）由正弦定理得bsinB=2R，则b=2222=2. （6分）(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得4=a2+c2-2ac由基本不等式得4=a2+c2-2ac2ac-2ac，当且仅当a=c时取等号，所以ac42-2=2(2+2), （10分）所以SABC=12acsinB=24ac242(2+2)=1+2故ABC面积的最大值为1+2 （12分）19解：(1)在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=AD=3，BAD=3，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，D(3,0)，B(1,3)，C(4,3). （2分）又E为CD的中点，所以E(72,32), 则|AE=(72,32
24、)因为AF=AD，所以F(3,0)，则BF=(3-1,-3). （4分）因为AEBF，所以AEBF=0即72(3-1)+32(-3)=0，解得=1021 （6分）(2)由(1)知F(3,0)，E(72,32)，BF=(3-1,-3)，则FE=(72-3,32) （8分）所以BFFE=(3-1)(72-3)-32=-92+272-5=-9(-34)2+116因为01，所以当=34时，BFFE取得最大值为116；当=0时，BFFE取得最小值为-5，故BFFE的取值范围是-5,116 （12分）20解：(1)因为函数f(x)=ax3+bx2-3x+c为R上的奇函数，所以f(0)=0，即c=0，所以f
25、(x)=ax3+bx2-3x又f(-x)=-f(x)所以-ax3+bx2+3x=-ax3-bx2+3x，则b=0 （2分）又f(x)在区间(-,-1)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减，所以f(x)在x=-1处取得极大值，因为f(x)=ax3-3x，f(x)=3ax2-3所以f(-1)=0，即3a-3=0，解得a=1 （4分）所以f(x)=x3-3x，经检验符合题意 （5分）(2)由(1)知f(x)=x3-3x，所以点A(1,m)(m-2)不在曲线y=f(x)上，且f(x)=3x2-3.设切点为M(x0,y0)，则y0=x03-3x0，f(x0)=3(x02-1)故切线的斜率满足3(x0
26、2-1)=x03-3x0-mx0-1，整理得2x03-3x02+m+3=0.因为过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，所以关于x的方程2x3-3x2+m+3=0有三个实根 （7分）设g(x)=2x3-3x2+m+3，则g(x)=6x2-6x令g(x)0，得0x0，得x1所以g(x)在区间(-,0),(1,+)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，所以g(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=1 （9分）所以关于x的方程2x3-3x2+m+3=0有三个实根的必要条件是g(0)=m+30g(1)=m+20解得-3m-2 （10分）此时g(-1)=m-2-440所以当-3m-2时，关于x
27、的方程2x3-3x2+m+3=0有三个实根故实数m的取值范围是(-3,-2). （12分）21解：(1)设治理n年后，该市的年垃圾排放量构成数列an当1n5时，an是首项为a1=200-20=180，公差为-20的等差数列，所以an=a1+(n-1)d=180-20(n-1)=200-20n. （2分）当n5时，数列an是以a5为首项，公比为34的等比数列，所以an=a5qn-5=100(34)n-5 （4分）所以an=200-20n,1n5,100(34)n-5,n6. （5分）(2)现有的治理措施是有效的，理由如下：设Sn为数列an的前n项和，则An=Snn,所以An+1-An=Sn-1n
28、+1-Snn=nSn+1-(n+1)Snn(n+1)=n(Sn+an+1)-(n+1)Snn(n+1)=nan+1-Snn(n+1) =(an+1-a1)+(an+1-a2)+(an+1-an)n(n+1). （8分）由(1)知当1n5时，an=200-20n，所以an为递减数列； （9分）当n6时，an=100(34)n-5，所以an为递减数列，且以a6a5，所以当nN*时，an为递减数列，故an+1-a10，an+1-a20，an+1-an0,所以An+1-An0，则(x)=1x-1x=x-1x （1分）令(x)0，得0x0，得x1所以(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+)上单
29、调递增，所以(x)(1)=0，即2x-lnx-20即lnx-12x-3，故f(x-1)2x-3 （4分）(2)解：由题意得g(x)=(x+1)ln(x+1)-12ax2-x，则g(x)=ln(x+1)-ax令h(x)=g(x)=ln(x+1)-ax，x0，则h(x)=1x+1-a. （5分）当a0时，h(x)0，g(x)在区间(0,+)上单调递增，所以g(x)g(0)=0，所以g(x)在区间(0,+)上单调递增，无最大值，不符合题意； （6分）当a1时，h(x)=1x+1-a1-a0，g(x)在区间(0,+)上单调递减，所以g(x)g(0)=0，所以g(x)在区间(0,+)上单调递减，无最大值，不符合题意 （7分）当0a0当x(0,1a-1)时，h(x)0，g(x)在区间(0,1a-1)上单调递增当x(1a-1,+)时，h(x)0时，h(x)2x+1-2-ax1a-1，且h(t)h(0)=0，所以由零点存在定理，得存在x0(1a-1,t)，使得h(x0)=0所以当x(0,x0)时，h(x)0，即g(x)0；当x(x0,+)时，h(x)0，即g(x)0，所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增，在区间(x0,+)上单调递减，所以g(x)在区间(0,+)上存在最大值g(x0)，符合题意，综上，实数a的取值范围是(0,1) （12分）