1、第二章 函数、导数及其应用第十一节 导数在研究函数中的应用第一课时 导数与函数的单调性基础梳理函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是_单调递增单调递减常数函数导数与函数单调性的关系(1)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)若f(x)0不恒成立，则f(x)0(或f(x)0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件四基自测1(易错点：混淆f(x)的图像)如图所示是函数f(
2、x)的导函数f(x)的图像，则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3，0)上是减函数B函数f(x)在区间(3，2)上是减函数C函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D函数f(x)在区间(3，2)上是单调函数答案：A2(易错点：忽视定义域)函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0，1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)答案：A3(基础点：求单调区间)函数f(x)cos xxsin x，x(0，)的递增区间为_答案：(0，2)4(基础点：导数的应用)函数f(x)x3ax在R上为增函数，则a的取值范围为_答案：0，)考点一 用导数讨论函数的单调性，求单调区间挖掘1 用导数判断简单
3、函数的单调性/自主练透例1(1)(2020邯郸模拟)已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A(0，12)和(1，)B(0，1)和(2，)C(0，12)和(2，)D(1，2)解析 函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x5 2x 2x25x2x（x2）（2x1）x0，解得0 x12或x2，故函数f(x)的单调递增区间是(0，12)和(2，)答案 C(2)设函数f(x)x(ex1)12 x2，则f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_解析 f(x)x(ex1)12x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)0.当
4、x1，0时，f(x)0.当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在1，0上单调递减答案(，1)，(0，)1，0破题技法 根据导数与函数单调性的关系，通过导函数f(x)的零点得到函数的单调区间，破解此类题的关键点：(1)求定义域，利用使函数有意义的条件求解函数的定义域；(2)求导数，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x)的导函数f(x)；(3)讨论导函数的符号，不等式f(x)0的解集就是函数f(x)的单调递增区间，不等式f(x)0的解集就是函数f(x)的单调递减区间挖掘2 讨论含参数的函数的单调性/互动探究例2(1)(2019高考全国卷节选)已知函数f(
5、x)2x3ax2b，讨论f(x)的单调性；解析 f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或xa3.若a0，则当x(，0)a3，时，f(x)0；当x0，a3 时，f(x)0.故f(x)在(，0)，a3，单调递增，在0，a3 单调递减若a0，则f(x)在(，)单调递增若a0；当xa3，0 时，f(x)0.故f(x)在，a3，(0，)单调递增，在a3，0 单调递减(2)(2018高考全国卷节选)已知函数f(x)1xxaln x，讨论f(x)的单调性解析(x)的定义域为(0，)，(x)1x21axx2ax1x2.若a2，则(x)0，当且仅当a2，x1时，(x)0，所以(x)在(0，)上单
6、调递减若a2，令(x)0，得xa a242或xa a242.当x0，a a242a a242，时，(x)0；当xa a242，a a242时，(x)0.所以(x)在0，a a242，a a242，上单调递减，在a a242，a a242上单调递增破题技法 对于含参数的函数的单调性要注意对参数的讨论考点二 导数在函数单调性中的应用挖掘1 导数与解函数不等式、比较大小/互动探究例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)f(x)0，则()Aef(2 018)f(2 019)Bef(2 018)f(2 019)Cef(2 018)f(2 019)
7、Def(2 018)与f(2 019)大小不能确定解析 令g(x)f（x）ex，则g(x)exf（x）exf（x）e2xf（x）f（x）ex，因为f(x)f(x)0，所以g(x)0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2 018)g(2 019)，即f（2 018）e2 018f（2 019）e2 019，所以ef(2 018)f(2 019)，故选A.答案 A(2)定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)f(x)x2，且x0时，f(x)x恒成立，则不等式f(x)f(1x)x12的解集为()A.，12 B.12，12C.12，D(，0)解析 令g(x)f(x)12x2，则g(x)g(x)0
8、g(x)为奇函数，又x0时，g(x)f(x)x0g(x)在(，0)上递减，则g(x)在(，)上递减，由f(x)f(1x)x12知f(x)12x2f(1x)12(1x)2，即g(x)g(1x)，从而x1xx12，所以所求不等式的解集为，12.故选A.答案 A破题技法 1.含有“f(x)”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数2常见的构造函数思路(1)已知f(x)g(x)f(x)g(x)型：联想构造函数F(x)f(x)g(x)(2)已知“f(x)g(x)f(x)g(x)”型：联想构造函数F(x)f（x）g（x）.(3)已知“f(x)f(x)”型：联想构造函数F(x
9、)exf(x)(4)已知“f(x)ln xf（x）x”型：联想构造函数F(x)f(x)ln x.挖掘2 已知函数单调性求参数/互动探究例2 设函数f(x)exax2，若f(x)在(0，)单调递增，求a的取值范围解析 f(x)exax2，x(0，)，f(x)ex2ax.要使f(x)在(0，)上单调递增，则f(x)ex2ax0恒成立，即aex2x在(0，)恒成立设h(x)ex2x，h(x)ex（x1）2x2，x(0，1)时，h(x)0，x(1，)时，h(x)0，h(x)在(0，1)为减，在(1，)为增，h(x)minh(1)e2，ae2.破题技法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数
10、在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围1已知函数f(x)2cos x(msin x)3x在(，)上单调递减，则实数m的取值范围是()A1，1 B1，12C12，12 D(12，12)解析：因为函数f(x)在(，)上单
11、调递减，所以f(x)2msin x4sin2x50在(，)上恒成立，令sin xt(1t1)，则g(t)4t22mt50在1，1上恒成立，所以g（1）0，g（1）0，解得12m12.故选C.答案：C2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在区间(1，)上单调递增，求a的取值范围；(3)若f(x)在区间(1，1)上单调递减，试求a的取值范围解析：(1)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0(2)因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上单调递增，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3(3)由f(x)3x2a0在(1，1)上恒成立，得a3x2在(1，1)上恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3，即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1，1)上单调递减