1、山西省忻州市第一中学北校2019-2020学年高一数学下学期3月月考试题（含解析）一、选择题1.下列角位于第三象限的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择.【详解】第三象限的角度范围是.对A：，是第二象限的角，故不满足题意；对B：是第二象限的角度，故不满足题意；对C：是第二象限的角度，故不满足题意；对D：，是第三象限的角度，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查角度范围的判断，属基础题.2.若，则点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由角在第二象限知，余弦小于零，正弦大于零，
2、因此对点来说横坐标小于零纵坐标大于零，故可以确定点位于第二象限【详解】 点在第二象限.故选:.【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易.3.下列说法正确的是()A. 单位向量都相等B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项.【详解】对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误；对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当时可能，所以B错误；对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当时和不一定平行，所以C错误；对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相
3、同，所以若，则成立，所以D正确.综上可知，D为正确选项，故选：D【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题.4.已知定义在上的偶函数满足：当时，若，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据是定义在上的偶函数，结合指数函数与对数函数的图像与性质化简，即可由时，函数的单调性比较大小.【详解】因为是定义在上的偶函数所以由对数的运算及对数函数的图像与性质可知由指数函数的图像与性质可知因而当时，为递增函数所以即故选：C【点睛】本题考查了偶函数的图像与性质，指数函数与对数函数图像与性质应用，中间值法比较大小，属于基础题.5.已知函数 f (x)
4、Asin(x)(A0， 0，)的图象如下，则点的坐标是( )A. (，)B. (，)C. (，)D. (，)【答案】C【解析】【分析】由函数f（x）的部分图象求得A、T、和的值即可【详解】由函数f（x）Asin（x+）的部分图象知，A2，T2（41）6，又x1时，y2，2k，kZ；2k，kZ；又0，点P（，）故选C【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.6.平面上有三点A，B，C，设，若与的长度恰好相等，则有()A. 三点必在同一直线上B. 必为等腰三角形且为顶角C. 必为直角三角形且D. 必为等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根
5、据向量的模相等及向量表示形式，平方后化简即可得，即可判断选项.【详解】，若与的长度恰好相等即所以两边同时平方，展开可得即所以必为直角三角形且故选：C【点睛】本题考查了平面向量模的求法，平面向量数量积的定义，属于基础题.7.执行如图的程序框图，依次输入，则输出的值及其意义分别是（ ）A. ，即个数据的方差为B. ，即个数据的标准差为C. ，即个数据的方差为D. ，即个数据的标准差为【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，输出的是这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可【详解】根据程序框图，输出S是这5个数据的方差，（17+19+20+21+23）20，由方差的公式得（172
6、0）2+（1920）2+（2020）2+（2120）2+（2320）24故选A【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题8.设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面结论中正确的个数是（ ）图象关于点对称；图象关于点对称；在上是增函数；在上是增函数；由可得必是的整数倍.A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据最小正周期及对称轴，可求得函数解析式，由正弦函数的图象与性质即可判断选项.【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以函数图象关于直线对称，则则因为，所以当时得，即，由正弦函数的图像与性质可知
7、，对称中心为，解得当时，所以对称中心为，故正确，错误；由正弦函数的图像与性质可知，当时，函数单增，解得，当时，单调递增区间为因为所以正确，错误；因为最小正周期为，若，可得必是整数倍，所以错误.综上可知，正确的为，故选：C【点睛】本题考查了函数解析式的求法，正弦函数图象与性质的综合应用，属于基础题.9.如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，我们把叫做的正割，记作；把叫做的余割，记作. 则= （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意结合新定义的知识整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合新定义的知识可得：，则.本题选择B选项.点睛：本题主要考查三角函数的定义，三角函数
8、的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知利用诱导公式化简，代入即可求得.详解】 故选：.【点睛】本题考查诱导公式的运用，三角函数求值，难度较易.11.平行四边形中，若点满足，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出平行四边形，在上取点，使得，在上取点，使得，由图中几何关系可得到，即可求出的值，进而可以得到答案【详解】画出平行四边形，在上取点，使得，在上取点，使得，则，故，则.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题
9、12.已知函数，若的零点个数为4个时，实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出函数的大致图象，令，由图可知，当时，无解，当时，有一解，当，或时，有两解，当时，有3解，由题意可得有两不相等的非零实根，设为，则或或,，再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论【详解】解：作出函数的大致图象得，令，由图可知，当时，无解，当时，有一解，当，或时，有两解，当时，有3解，函数有4个零点，有两不相等的非零实根，设为，则或或,，令，当时，由图可知，即，解得；当时，由图可知，即，无解；当，时，由图可知，即，解得，综上：，故选：A【点睛】本题主要考查复合函数的零点问题，二次方程根
10、的分布问题，数形结合思想的应用，属于难题二、填空题13.向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_.【答案】3【解析】【分析】将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.【详解】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：则，故.又两向量的夹角为锐角，故，则该平行四边形的面积为.故答案为：3.【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题.14.函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】解不等式即可得定义域.【详解】解:要使函数有意义,则必有,即.结合正弦曲线或单位
11、圆,如图所示,可知当时,. (1) (2)故函数的定义域为.故答案为: .【点睛】本题考查函数定义域，是基础题.15.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数单调性与对数定义域要求，分类讨论与两种情况，即可求得的取值范围.【详解】函数，所以且，令，则当时，因为函数在内单调递减，而函数在区间上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，在区间上是增函数，由二次函数对称轴及单调性可得.且满足对数函数定义域要求，即，解得，所以由以上可得；当时，因为函数在内单调递增，而函数在区间上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，在区间上是减函数，由
12、二次函数对称轴及单调性可得.且满足对数函数定义域要求，即，解得，所以由以上可得.综上可知，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了复合函数单调性性质应用，对数函数定义域要求，二次函数的对称性及单调性，分类讨论思想的综合应用，属于中档题.16.若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据等式，结合三角函数的值域，可求得.由同角三角函数式化简所求整式，即可由二次函数性质求得值域.【详解】因为则因为所以，解得所以由同角三角函数关系式，并代入化简可得，所以当时，取得最小值为；当时，取得最大值为；综上可知，的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的值域应用，二次型余弦函数的值域求法，同
13、角三角函数关系式的应用，属于基础题.三、解答题17.已知.（1）若，求、及的值；（2）求的值.【答案】(1);(2) .【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系求解出、及的值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简，即可求出.【详解】（1）又因为， (2) 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用,难度较易.18.如图，已知中，为的中点，交于点，设，（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，可得，
14、（2）， ，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.19.半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在中的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】用频率分布直方图中每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；首先可通过分层抽样确定6人中在分数段以及分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均
15、在中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果【详解】由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：；由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有人，则用分层抽样抽取6人中，分数在有1人，用a表示，分数在中的有5人，用、表示，则基本事件有、，共15个，满足条件的基本事件为、，共10个，所以这两名同学分数均在中的概率为【点睛】本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题20.已知函数，将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象.（1）求函数的
16、解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）1，.【解析】【分析】（1）根据函数图像平移伸缩变换，即可求得函数的解析式；（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质，即可求得函数在上的的最大值和最小值.【详解】（1）函数，将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，可得，化简得 （2），可得，.当时，函数有最大值1；当时，函数有最小值【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换及应用，正弦函数图像与性质的应用，属于基础题.21.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1) ;
17、(2) 【解析】【分析】（1）利用函数的图像得，可求出得值，代入点可得函数的解析式；（2）当时，可得得取值范围，将化简列出不等式组可得实数的取值范围.【详解】解：(1)由函数图像可得：,由，可得，所以(),代入点，可得，可得，故；(2) 当时, ,由不等式有解，可得，由，可得，可得，实数的取值范围为：.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.22.已知函数，其中为实数（1）若函数为定义域上的单调函数，求的取值范围（2）若，满足不等式成立的正整数解有且仅有一个，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析当时的单调性，可得的单调性
18、，由二次函数的单调性，可得的范围；（2）分别讨论当，当时，当时，当，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围【详解】（1）由题意，当时，为减函数，当时，若时，也为减函数，且，此时函数为定义域上的减函数，满足条件；若时，上单调递增，则不满足条件综上所述，（2）由函数的解析式，可得，当时，不满足条件；当时，为定义域上的减函数，仅有成立，满足条件；当时，在上，仅有，对于上，的最大值为，不存在满足，满足条件；当时，在上，不存在整数满足，对于上，不存在满足，不满足条件；综上所述，【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题