1、选修45不等式选讲1(2013江苏卷)已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.2(2013福建卷)设不等式|x2|0)(1)当a4时，已知f(x)7，求x的取值范围；(2)若f(x)6的解集为x|x4或x2，求a的值5已知a，b为正实数(1)求证：ab；(2)利用(1)的结论求函数y(0x1)的最小值6已知函数f(x)2.(1)求证：f(x)5，并说明等号成立的条件；(2)若关于x的不等式f(x)|m2|恒成立，求实数m的取值范围7(2013全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1时，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围8已知函数f
2、(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x.(1)解关于x的不等式g(x)f(x)|x1|；(2)如果对xR，不等式g(x)cf(x)|x1|恒成立，求实数c的取值范围9(1)设x1，y1，证明xyxy；(2)1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.详解答案：1证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab) (2ab)0，即2a3b32ab2a2b.2解析：(1)因为A，且A，所以a，且a，解得a.又因为aN*，所以a1
3、.(2)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.3.解析：(1)f(x)图象如图(2)由|ab|ab|a|f(x)得f(x)又因为2.则有2f(x)解不等式2|x1|x2|得x.即x的取值范围为 .4解析：(1)因为|x3|x4|x3x4|7，当且仅当(x3)(x4)0时等号成立所以f(x)7时，3x4，故x3,4(2)由题知f(x)，当a36时，不等式f(x)6的解集为R，不合题意；当a30，b0，(ab)a2b2a2b22ab(ab)2.ab，当且仅当ab时等号成立方法二：(ab)，又a0，b0，0，当且仅当ab时等
4、号成立ab.方法三：a0，b0，a2b22ab.a2b，b2a，(ab)2a2b.ab.(当且仅当ab时取等号)(2)0x0，由(1)的结论，函数y(1x)x1.当且仅当1xx，即x时等号成立函数y(0x1)的最小值为1.6解析：(1)证明：由柯西不等式得(2)2(2212)()2()225.所以f(x)25.当且仅当，即x4时，等号成立(2)由(1)知f(x)5，又不等式f(x)|m2|恒成立，所以|m2|5，解得m7或m3.故m的取值范围为(，37，)7解析：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，
5、当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a，不等式f(x)g(x)化为1ax3，所以xa2对x都成立，故a2，即a.从而a的取值范围是.8解析：(1)函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，g(x)f(x)(x22x)，g(x)x22x，xR.原不等式可化为2x2|x1|0.上面的不等式等价于或由得1x，而无解原不等式的解集为.(2)不等式g(x)cf(x)|x1|可化为c2x2|x1|.令函数F(x)当x1时，F(x)min2；当x1时，F(x)minF.综上，可得函数F(x)的最小值为，所以实数c的取值范围是.9证明：(1)由于x1，y1，要证xyxy，只需证xy(xy)1yx(xy)2.因为yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)由条件x1，y1，得(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立(2)设logabx，logbcy，由对数的换底公式得logca，logba，logcb，logacxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy.其中xlogab1，ylogbc1.故由(1)可知所要证明的不等式成立