上海市高二下学期复数的概念及其运算.docx

1、12.1复数的概念及其运算【学习要点】1. 把形如的数叫做复数，用字母表示，即， 其中叫做复数的实部，记作，叫做复数的虚部，记作，叫 做虚数单位，规定：. 复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母表 示. 复数包括实数和虚数，规定.2. 复数，当时，复数为实数；当时，复数为虚数；当 且时，叫做纯虚数.3. 如果两个复数和相等，则且.4. 共轭复数：实部相等虚部相反的两个复数互为共轭复数，复数的共轭复数用 来表示，若，则.5. 对于复数，我们把叫做复数的模.记，即. 特别地，.6. 复数加减法：设，则.7. 复数乘除法：设，则；8. 复数的乘方：，. 我们规定，特别地，；.9. 复数的开方：它是乘

2、方的逆运算，设，且满足， 即，则称是的一个次方根. 特别地，是的一个立 方根，的立方根是1、.10. 复数的模的运算性质：；11. 共轭复数运算性质：，；【例题讲解与训练】例1.已知复数，.(1) 指出它们哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？(2) 求出上述复数的模及它们的共轭复数.变式训练11.请说出复数的实部和虚部.2.复数 ，0，中为实数的有 ， 为虚数的有 ，为纯虚数有 .3. 已知命题：若，且，则；若，且， 则；与自身共轭的复数一定是实数.其中正确的序号为 .例2.实数取何值时，复数是（1）实数？（2） 虚数？（3）纯虚数？变式训练21. 实数分别取什么值时，复数是(1)实数？(2

3、)虚数？(3) 纯虚数？2. 若复数为纯虚数，试求实数的值.3. 已知,指出不等式成立的条件.例3.计算： （1）= （2）= 变式训练31. 计算：（1）= （2）= 2. 已知命题：若两个虚数、的和是实数，则、是共轭复数；若、 是共轭复数，则-是纯虚数；若复数，则是纯虚数.其中正 确的序号是 .3. 已知两个复数和，它们之和是，它们之差是 ，求、.例4.已知复数、满足，且.求、的值.变式训练41.已知复数，则复数在复平面内所表示的点位于（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C )第三象限 (D)第四象限2.复平面上三点分别对应复数，则由所构成的 三角形是（ ）(A) 直角三角形 (B)

4、等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形3. 设复数满足，求的最大值及此时的复数.例5.已知、是复数，为纯虚数，且，求.变式训练51.复数满足，则= .2.复数在复平面内对应的点位于 ()（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限3. 若将复数表示为()的形式，则的值为()（A） （B） （C） （D）例6.设是虚数，是实数，且.（1） 求的值及的实部的取值范围；（2） 设，求证：为纯虚数；（3） 求的最小值.变式训练61. 若复数同时满足条件：；的实部、虚部都是整数.求.2. 若复数满足，求证：.3. 设，求满足且的复数.例7.（1）= . （2）的平方根是 .变式训

5、练71.= .2.的平方根是 .3.计算：为奇数时，求的值.例8.设是的立方虚根.(1) 求；(2) 求证：；(3) 求证：.宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。变式

6、训练81. 已知是的立方虚根，则= .2. 已知为的一个虚根，则= .3. 已知，则的值为= .例9.（1）复数的模为= .（2）设复数满足，求的最大值和最小值，并求相应的.变式训练91. 复数的模为= .2. 若，是（ ）（A） 纯虚数 （B）实数 （C)虚数 （D）不能确定3.若复数满足，求.例10.设复数满足关系式，其中为不等于的复数.求证：（1）；（2）.变式训练101. （1）已知，求的值； （2）若复数的模均为，求的值.2. 已知为非零复数，且满足，求证：一定为负数.3. 设复数满足.（1）若，求和；（2）若，求证：为常数.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训

7、练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。