1、第二章 函数、导数及其应用第三节 函数的奇偶性与周期性基础梳理1函数的奇偶性奇偶性条件图像特点偶函数对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_关于_对称奇函数对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_关于_对称f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)存在一个最小1奇、偶函数的一个必要不
2、充分条件奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2奇偶性的两个等价定义在定义域内恒有若 f(x)f(x)0 或f（x）f（x）1(f(x)0)，则 f(x)为奇函数，若 f(x)f(x)0 或f（x）f（x）1(f(x)0)，则 f(x)为偶函数3奇偶性的六个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)0，xD，其中定义域 D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两
3、个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数(6)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇4函数周期性常用的结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x，(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0)(2)若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0)(3)若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0)5函数对称性问题的结论(1)若函
4、数 yf(xa)是偶函数，即 f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图像关于直线 xa 对称；(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图像关于直线 xa 对称；(3)若函数 yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，则函数 yf(x)关于点(b，0)中心对称四基自测1(基础点：函数奇偶性判断)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1 Byx3Cy1xDyx|x|答案：D2(基础点：奇函数定义)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则 f(1)_答案：1e3(易错点：奇函数)(2018高考全国卷改编)
5、设函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，则 a_答案：14(基础点：奇函数图像对称性)函数 f(x)exexx2的对称中心为_答案：(0，0)考点一 函数奇偶性的判断挖掘 1 判断具体函数的奇偶性/自主练透例 1(1)已知函数 f(x)3x13x，则 f(x)()A是偶函数，且在 R 上是增函数B是奇函数，且在 R 上是增函数C是偶函数，且在 R 上是减函数D是奇函数，且在 R 上是减函数解析 xR，f(x)3x3xf(x)，f(x)为奇函数，又因 y13x 为增函数，y213x为增函数，故 y3x13x为增函数，故选 B.答案 B(2)函数 f(x)lg(x1)lg(x1)的奇偶性是
6、()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数解析 由x10 x10，知 x1，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数答案 C(3)函数 f(x)x21 1x2，则 f(x)为()A奇函数B偶函数C既是奇函数，又是偶函数 D非奇非偶函数解析 由x210，1x20，得 x1，f(x)的定义域为1，1又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，故 f(x)既是奇函数，又是偶函数，故选 C.答案 C破题技法 1.函数 yf(x)具有奇偶性，首先其定义域必须关于原点对称，这样 f(x)与 f(x)才有意义2对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非
7、偶函数，必具其一挖掘 2 判断非具体函数的奇偶性/互动探究例 2(1)已知 yf(x)满足 f(x1)f(x1)2，则以下四个选项一定正确的是()Af(x1)1 是偶函数 Bf(x1)1 是奇函数Cf(x1)1 是偶函数Df(x1)1 是奇函数解析 根据题中条件可知函数 f(x)的图像关于点(1，1)中心对称，故 f(x1)的图像关于点(0，1)中心对称，则 f(x1)1 的图像关于点(0，0)中心对称，所以f(x1)1 是奇函数故选 D.答案 D(2)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(
8、x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析 由题意可知 f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项 A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项 C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项 D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选 C.答案 C破题
9、技法 判定奇偶性的方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证 f(x)f(x)或其等价形式 f(x)f(x)0 是否成立(2)图像法：(3)性质法：利用奇偶性的运算关系考点二 函数的周期性及应用挖掘 利用周期求值/互动探究例(1)(2018高考全国卷)已知(x)是定义域为(，)的奇函数，满足(1x)(1x)若(1)2，则(1)(2)(3)(50)()A50 B0 C2 D50解析(x)是奇函数，(x)(x)，(1x)(x1)由(1x)(1x)，(x1)(x1)，(x2)(x)，(x4)(x2)(x)(x)，函数(x)是周期为 4 的周期
10、函数由(x)为奇函数得(0)0.又(1x)(1x)，(x)的图像关于直线 x1 对称，(2)(0)0，(2)0.又(1)2，(1)2，(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(0)20200，(1)(2)(3)(4)(49)(50)012(49)(50)(1)(2)202.故选 C.答案 C(2)已知函数 yf(x)，满足 yf(x)和 yf(x2)是偶函数，且 f(1)3，设 F(x)f(x)f(x)，则 F(3)()A.3B23C D43解析 yf(x)为偶函数，则 yf(x)为偶函数，关于 x0 对称，yf(x2)为偶函数，关于 x2 对称，T4，F(x)f(x)f(x)2f(x)，F
11、(3)2f(3)而 f(3)f(41)f(1)f(1)3，F(3)23.故选 B.答案 B破题技法 1.若函数的最小正周期为 T，在图像上表现为每隔 T 单位，图像相同，只是位置不同，在函数值上表现为 f(xT)f(x)2求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数 yf(x)，如果能够找到一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么 T 就是函数 yf(x)的周期非零常数 T 容易确定的函数递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如：若 f(xa)f(x)，则 f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以 2a 为 f(x)的一个周
12、期含有 f(xa)与f(x)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若 f(xa)f(xa)，令 xat，则 xta，则f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以 2a 为f(x)的一个周期f(bxa)f(bxc)型关系式考点三 函数性质的综合应用挖掘 1 利用性质求解析式/互动探究例 1(1)(2019高考全国卷)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当x0 时，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1解析 当 x0，当 x0 时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.故选 D.答案 D(2)设 f(x
13、)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x0，1时，f(x)log2(x1)，则函数 f(x)在1，2上的解析式是_解析 令 x1，0，则x0，1，结合题意可得 f(x)f(x)log2(x1)，令 x1，2，则 x21，0，故 f(x)log2(x2)1log2(3x)故函数 f(x)在1，2上的解析式是 f(x)log2(3x)答案 f(x)log2(3x)挖掘 2 求函数值/互动探究例 2(1)对任意的实数 x 都有 f(x2)f(x)2f(1)，若 yf(x1)的图像关于 x1 对称，且 f(0)2，则 f(2 019)f(2 020)()A0 B2C3 D4解析 yf(x1)的
14、图像关于 x1 对称，则函数 yf(x)的图像关于 x0 对称，函数 f(x)是偶函数，对于 f(x2)f(x)2f(1)，令 x1，则 f(12)f(1)2f(1)，则 f(1)f(1)2f(1)0，即 f(1)0，则 f(x2)f(x)2f(1)0，即 f(x2)f(x)，则函数 f(x)的周期是 2，又 f(0)2，则 f(2 019)f(2 020)f(1)f(0)022，故选 B.答案 B(2)已知函数 f(x)x3sin x1(xR)，若 f(a)2，则 f(a)的值为()A3 B0C1 D2解析 设 F(x)f(x)1x3sin x，显然 F(x)为奇函数，又 F(a)f(a)1
15、1，所以 F(a)f(a)11，所以 f(a)0.故选 B.答案 B挖掘 3 求参数/互动探究例 3(1)设函数 f(x)exaex(a 为常数)若 f(x)为奇函数，则 a_解析 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，exaexexaex，(1a)ex(1a)ex0，a1.答案 1(2)(2019高考全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)eax.若 f(ln 2)8，则 a_解析 设 x0，则x0.当 x0 时，f(x)eax，f(x)eax.f(x)是奇函数，f(x)f(x)eax，f(ln 2)ealn 2(eln 2)a2a.又f(ln 2)8，2a8，a3.答案 3(
16、3)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_解析 由题意得 f(x)xln(x ax2)f(x)xln(ax2x)，所以 ax2x1ax2x，解得 a1.答案 1挖掘 4 解不等式、比较大小/互动探究例 4(1)(2017高考全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A2，2 B1，1C0，4 D1，3解析 函数 f(x)在(，)单调递减，且 f(1)1，f(1)f(1)1，由1f(x2)1，得1x21，1x3，故选 D.答案 D(2)已知函数 f(x)|x|(10 x10 x)，不等式 f(12x)f(3)0
17、的解集为()A(，2)B(2，)C(，1)D(1，)解析 f(x)|x|(10 x10 x)f(x)，f(x)为奇函数，当 x0 时，f(x)x(10 x10 x)为增函数，f(x)在 R 上是递增函数，故 f(12x)f(3)0f(12x)f(3)f(3)，所以 12x3，解得 x2，故选 A.答案 A(3)已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析 f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)，f(x8)f(x)，f(x)
18、的周期为 8，f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)f(14)f(1)f(1)，又奇函数 f(x)在区间0，2上是增函数，f(x)在区间2，2上是增函数，f(25)f(80)f(11)，故选 D.答案 D破题技法 1.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反2对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题将例 4(2)的函数变为 f(x)10 x10 x，求不等式 f(12x)f(3)0 的解集解析：f(x)10 x10 x，f(x)为偶函数，当 x(0，)，f(x)为增函数，原不等式 f(12x)f(3)，得|12x|3，得 12x3 或 12x3，x2 或 x1.