1、11分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理1通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理(重点)2正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”(易混点)3能利用两个原理解决一些简单的实际问题(难点)基础初探教材整理1分类加法计数原理阅读教材P2P4图1.11，完成下列问题1完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn
2、种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种()(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种()【解析】(1)在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的(2)在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分
3、类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事(3)由分类加法计数原理，从甲地去乙地共347(种)不同的交通方式(4)根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8614(种)【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2分步乘法计数原理阅读教材P4P6练习上面内容，完成下列问题1完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法判断(正确的
4、打“”，错误的打“”)(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()(3)已知x2,3,7，y3，4,8，则xy可表示不同的值的个数为9个()(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种()【解析】(1)因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同(2)因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成(3)因为x从集合2,3,7中任取一个值共有3个不同的值，y从集
5、合3，4,8中任取一个值共有3个不同的值，故xy可表示339个不同的值(4)因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型分类加法计数原理的应用(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 【导学号：29472000】【精彩点拨】(1)按所选组长来自不同班为分类标准(2)按个位(或十位)取09不同的数字进行分类【自主解答】(1)分四类：从一班中
6、选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法共有不同选法N456722种(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1234567836(个)1应用分类加法计数原理解题时要注
7、意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；不同两类中的两种方法不能相同，即不重复，无遗漏2利用分类加法计数原理解题的一般思路再练一题1某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A1种B2种C3种D4种【解析】分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有213种故选C.【答案】C分步乘法计数原理的应用一种号码锁有4个拨号
8、盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m110；第二步，有10种拨号方式，所以m210；第三步，有10种拨号方式，所以m310；第四步，有10种拨号方式，所以m410.根据分步乘法计数原理，共可以组成N1010101010 000个四位数的号码1应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺
9、一不可2利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果再练一题2张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式
10、由分步乘法计数原理，得236种探究共研型两个计数原理的辨析探究1某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”探究2在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事探究3在探究1中若要配成“一素一
11、汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类加法计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3333315(种)不同的套餐利用分步乘法计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法由分步乘法计数
12、原理，配成“一素一汤”的套餐共有5315(种)不同套餐两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？ 【导学号：29472001】【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成，即解答本题可“先分类
13、，后分步”【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有224种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法根据分类加法计数原理，共有42118种选派方法1能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数2利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步
14、是有先后顺序的；(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉；(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成再练一题3有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有_种不同的取法【解析】分为三类：一类是取白球、黑球，有5630种取法；一类是取白球、红球，有5735种取法；一类是取黑球、红球，有6742种取法所以由分类加法计数原理共有303542107(种)不同的取法【答案】1071现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的
15、配法种数为()A7B12C64D81【解析】先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4312(种)不同配法故选B.【答案】B2从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A1113 B3429C34224 D以上都不对【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法所以，共有3429种不同的走法【答案】B3从2,3,5,7,11中每次选出两个
16、不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是_，其中真分数的个数是_. 【导学号：29472002】【解析】产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5420个分数产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有432110个真分数【答案】20104十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有_条【解析】经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4312条【答案】125现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？【解】(1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有52770种不同的选法(2)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5210种不同的选法第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5735种不同的选法第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2714种不同的选法所以有10351459种不同的选法