1、课时作业(十一)函数与方程一、选择题1(2016天津模拟)二次函数f(x)ax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x32101234y6m4664n6可以判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是()A(3，1)和(2,4)B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2) D(1,3)和(4，)解析：由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y，a0，再根据f(3)f(1)0，f(2)f(4)0，可得f(x)的零点所在的区间是(3，1)和(2,4)，即方程ax2bxc0的两个根所在的区间是(3，1)和(2,4)。答案：A2(2016合肥模拟)函数f(x)log2xx2的零点个数为()A0 B1C3 D
2、2解析：转化为判断ylog2x与yx2两函数图象的交点的个数，作图象如下：图象有两个交点，因此函数零点个数为2个。答案：D3(2016东北三校联考)已知函数f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则()AabcBcbaCcab Dbac解析：在同一平面直角坐标系下分别画出函数y2x，ylog3x，y，yx的图象，如图，观察它们与yx的交点可知abc。答案：A4已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x。则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3C2，1,3 D2，1,3解析：当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)
3、x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x0时，由f(x)是奇函数得f(x)f(x)x23(x)，即f(x)x23x.由f(x)x3得x2(正根舍去)。故选D。答案：D5(2016唐山期末)f(x)2sinxx1的零点个数为()A4 B5C6 D7解析：2sinxx10，2sinxx1。令h(x)2sinx，g(x)x1，f(x)2sinxx1的零点个数转化为求两个函数图象的交点个数h(x)2sinx的周期T2，分别画出两个函数的图象，如图所示，h(1)g(1)，hg，g(4)32，g(2)32，可知两个函数图象的交点一共5个，f(x)2sinxx1的零点个数为5。答案：B6(2016石家庄
4、模拟)设函数f(x)若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)f(x2)f(x3)，则x1x2x3的取值范围是()A. B.C. D.解析：函数f(x)的图象如图，不妨设x1x2x3，则x2，x3关于直线x3对称，故x2x36，且x1满足x10，则x1x2x3的取值范围是6x1x2x306，即x1x2x3。答案：D二、填空题7函数f(x)3x7lnx的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_。解析：求函数f(x)3x7lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln2，由于ln2lne1，所以f(2)0，f(3)2ln3，由于ln31，所以f(3)0，所以函数f(x)的
5、零点位于区间(2,3)内，故n2。答案：28定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_。解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点。根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3。答案：39(2016成都模拟)已知f(x)2|2|x|1|1和g(x)x22|x|m(mR)是定义在R上的两个函数，则下列命题：函数f(x)的图象关于直线x0对称；关于x的方程f
6、(x)k0恰有四个不相等实数根的充要条件是k(0,1)；关于x的方程f(x)g(x)恰有四个不相等实数根的充要条件是m0,1；若x11,1，x21,1，f(x1)g(x2)成立，则m(1，)。其中正确的命题有_(写出所有正确命题的序号)。解析：因为f(x)2|2|x|1|1为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x0对称，故正确；作出f(x)2|2|x|1|1的图象，如图所示，可知，关于x的方程f(x)k0恰有四个不相等实数根的充要条件为k(1,1)，故错误；在同一坐标系中作出f(x)2|2|x|1|1和yx22|x|的图象，由图象可知当m时方程f(x)g(x)恰有四个不相等实数根，故错；由题
7、可知，只需当x1,1时，f(x)ming(x)max即可。易得f(x)min1，g(x)maxm，所以m(1，)，所以正确。答案：三、解答题10已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x。(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围。解析：(1)当x(，0)时，x(0，)，因为yf(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(x)22(x)x22x，所以f(x)(2)当x0，)时，f(x)x22x(x1)21，最小值为1；当x(，0)时，f(x)x22x1(x1)2，最大值为1。所以据此可作出函数yf(x)的图象(如图所示)，根据图象
8、，若方程f(x)a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(1,1)。11已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)。(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围。(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根。解析：(1)解法一g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点。解法二作出g(x)x(x0)的大致图象如图。可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e。(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象。f(x)x22exm1(xe)2m1e2
9、。其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2。故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根。m的取值范围是(e22e1，)。12(2016呼伦贝尔调研)已知f(x)|2x1|ax5(a是常数，aR)。(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)如果函数yf(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围。解析：(1)当a1时，f(x)|2x1|x5由解得x2；由解得x4。所以f(x)0的解集为x|x2或x4。(2)由f(x)0，得|2x1|ax5。作出y|2x1|和yax5的图象，观察可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数yf(x)有两个不同的零点。故a的取值范围是(2,2)。