1、3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义1熟练掌握复数的代数形式的加减运算法则(重点)2理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题(难点、易混点)教材整理1复数代数形式的加法运算及几何意义阅读教材P56P57“思考”以上内容，完成下列问题1运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i.2加法运算律交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)3.复数加法的几何意义如图321，设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是.图321在复平面内，向量对应的复数
2、为1i，向量对应的复数为1i，则对应的复数为_【解析】由复数加法运算的几何意义知，对应的复数即为(1i)(1i)2i.【答案】2i教材整理2复数代数形式的减法运算及几何意义阅读教材P57“思考”以下至“例1”以上内容，完成下列问题1运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i.2复数减法的几何意义如图322所示，设，分别与复数z1abi，z2cdi对应，且，不共线，则这两个复数的差z1z2与向量(即)对应，这就是复数减法的几何意义图322这表明两个复数的差z1z2(即)与连接两个终点Z1，Z2且指向被减数的向量对应已知z12i，z212i，则复数zz1z2
3、对应的点位于第_象限【解析】zz1z2(2i)(12i)(21)(12)i1i，对应的点为(1，1)位于第四象限【答案】四复数的加减运算计算：(1)(13i)(2i)(23i)；(2)(2i)(15i)(34i)；(3)5i；(4)(abi)(3a4bi)5i(a，bR)【精彩点拨】解答本题可根据复数加减运算的法则进行【自主解答】(1)原式(14i)(23i)1i.(2)原式(36i)(34i)62i.(3)原式5i(4i)44i.(4)原式(2a5bi)5i2a(5b5)i.1复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行2算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提
4、取各复数的实部与虚部，将它们分别相加3准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率1计算：(1)(23i)(5i)；(2)(1i)(1i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR)【解】(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i.(2)(1i)(1i)(11)()i2i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.复数加减运算的几何意义在复平面内，A、B、C分别对应复数z11i，z25i，z333i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长【精彩点拨】【自主解答】如图所示：对应复数z3z1，对应复数z2z1
5、，对应复数z4z1，由复数加减运算的几何意义得，z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i，AD的长为|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.1根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算2利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则3复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能2复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求点C对应的复数【解】对应的复数为12i，对应的复数为3i，对应的复数为(3i)(12i)23i.又，C点对应的复数为(2
6、i)(23i)42i.复数加减法几何意义的综合应用探究1|z1z2|的几何意义是什么？【提示】|z1z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离探究2满足条件|z22i|1的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么？【提示】法一(代数法)设zxyi(x，yR)，则|(xyi)22i|1，即|(x2)(y2)i|1，1.(x2)2(y2)21，即复数z对应复平面上的点Z的轨迹为以(2,2)为圆心，1为半径的圆法二(几何法)|z22i|z(22i)|1，复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(2,2)为圆心，1为半径的圆已知|z1i|1，求|z34i|的最大值和最小值【精彩点拨】利用复数加减法的几何
7、意义，以及数形结合的思想解题【自主解答】法一：设wz34i，zw34i，z1iw45i.又|z1i|1，|w45i|1.可知w对应的点的轨迹是以(4,5)为圆心，1为半径的圆如图(1)所示，|w|max1，|w|min1.图(1)图(2)法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点到点(3，4)的距离，在圆上与(3，4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z34i|max1，|z34i|min1.复数模的最值问题解法(1)|zz0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数
8、差的形式(2)|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆(3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解3已知复数z满足|z22i|1，求|z32i|的最大值与最小值【解】由复数及其模的几何意义知：满足|z22i|1，即|z(22i)|1.复数z所对应的点是以C(2,2)为圆心，r1为半径的圆而|z32i|z(32i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离由圆的知识可知|z32i|的最小值为|AC|r，最大值为|AC|r.|z32i|min14.|z32i|max16.1复数(1i)(2i)3i等于()A1iB1iCiD
9、i【解析】(1i)(2i)3i(12)(113)i1i.【答案】A2已知z13i，z215i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】zz2z1(15i)(3i)(13)(51)i24i.【答案】B3若|z1|z1|，则复数z对应的点Z()A在实轴上B在虚轴上C在第一象限D在第二象限【解析】设zxyi(x，yR)，由|z1|z1|，得(x1)2y2(x1)2y2，化简得x0.【答案】B4在复平面内，O是原点，对应的复数分别为2i,32i,15i，那么对应的复数为_. 【导学号：81092045】【解析】()，对应的复数为(44i)44i.【答案】44i5
10、如图323所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,32i，24i.图323求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)表示的复数【解】(1)因为，所以表示的复数为32i.(2)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1(63i)(3i1)(22i)的结果为()A53iB35iC78iD72i【解析】(63i)(3i1)(22i)(612)(332)i78i.【答案】C2在复平面内，复数1i和13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|()A.B2C.D4【解析】由复数减
11、法运算的几何意义知，对应的复数为(13i)(1i)2i，|2.【答案】B3复数z1a4i，z23bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()Aa3，b4Ba3，b4Ca3，b4Da3，b4【解析】由题意可知z1z2(a3)(b4)i是实数，z1z2(a3)(4b)i是纯虚数，故解得a3，b4.【答案】A4A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1z2|z1z2|，则AOB一定是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【解析】根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故AOB为直角三角形【答案
12、】B5设z34i，则复数z|z|(1i)在复平面内的对应点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】z34i，z|z|(1i)34i1i(351)(41)i15i.【答案】C二、填空题6计算：(27i)|34i|512i|i34i_. 【导学号：81092046】【解析】原式27i513i34i(253)(7134)i16i.【答案】16i7z为纯虚数且|z1i|1，则z_.【解析】设zbi(bR且b0)，|z1i|1(b1)i|1，解得b1，zi.【答案】i8已知z12(1i)，且|z|1，则|zz1|的最大值为_【解析】|z|1，即|OZ|1，满足|z|1的点Z的集合是以(0,
13、0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z12(1i)在坐标系内对应的点为(2，2)故|zz1|的最大值为点Z1(2，2)到圆上的点的最大距离，即|zz1|的最大值为21.【答案】21三、解答题9已知z1a(a1)i，z23b(b2)i(a，bR)，且z1z24，求复数zabi.【解】z1z2(ab1)i，解得z2i.10如图324，已知复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数图324【解】法一：设正方形的第四个点D对应的复数为 xyi(x，yR)，对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，对应
14、的复数为(12i)(2i)13i.，(x1)(y2)i13i，即解得故点D对应的复数为2i.法二：点A与点C关于原点对称，原点O为正方形的中心，于是(2i)(xyi)0，x2，y1，故点D对应的复数为2i.1实数x，y满足z1yxi，z2yix，且z1z22，则xy的值是()A1B2C2D1【解析】z1z2(yxi)(xyi)(yx)(xy)i2，xy1，xy1.【答案】A2ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的() 【导学号：81092047】A内心B垂心C重心D外心【解析】由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等所以z对应的点为ABC的外心【答案】D3已知复数zxyi(x，yR)，且|z2|，则的最大值为_【解析】|z2|，(x2)2y23.由图可知max.【答案】4在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2i，12i.(1)求，对应的复数；(2)判断ABC的形状【解】(1)A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.，对应的复数分别为1,2i，12i(O为坐标原点)，(1,0)，(2,1)，(1,2)(1,1)，(2,2)，(3,1)即对应的复数为1i，对应的复数为22i，对应的复数为3i.(2)|，|，|，|2|210|2.又|，ABC是以角A为直角的直角三角形.