1、2017新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(四)(函数的应用)时间：60 分钟 总分：100 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分.每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知 f(x)(xR)为奇函数，f(2)1，f(x2)f(x)f(2)，则 f(3)等于()A.12B.1 C.32D.2C【解析】f(x)为 R 上的奇函数，f(x)f(x)，令 x1，则 f(1)f(1)f(2)，f(1)f(1)1，f(1)12.令 x1，则 f(3)f(1)f(2)12132，选 C.2.函数 f(x)13x x的零点所在的区间为()A.0，13
2、B.13，12C.12，1 D.(1，2)B【解析】f13 131313120，f12 131212120，f13 f12 0 的与 x 轴有两个变号零点.4.已知函数 f(x)ex，x0，则 ff1e()A.1eB.eC.1e D.eA【解析】本题考查分段函数的函数，指数好当时的运算.x0 时，f(x)ln x，f1e ln 1e1；又 x0 时，f(x)ex，f(1)e11e.5.已知直线 x2 及 x4 与函数 ylog2x 图象的交点分别为 A，B，与函数 ylg x 图象的交点分别为C，D，则直线 AB 与 CD()A.相交，且交点在第象限B.相交，且交点在第象限C.相交，且交点在第
3、象限D.相交，且交点在坐标原点D【解析】A(2，1)，B(4，2)，C(2，lg 2)，D(4，lg 4)，kAB12，kCDlg 22，直线 AB、CD 方程为 x2y0，2xlg 2y0，显然两直线过原点，选 D.6.对于函数 fx 与 gx 和区间 D，如果存在 x0D，使|f(x0)g(x0)|1，则称 x0 是函数 fx 与 gx 在区间 D上的“友好点”.现给出下列四组函数：f(x)x2，g(x)2x2；f(x)x，g(x)x2；f(x)ex，g(x)1x；f(x)ln x，g(x)x.则在区间 0，上存在唯一“友好点”的是()A.B.C.D.D【解析】对于，由|f(x)g(x)|
4、x2(2x2)|(x1)21|1，得 x1，即为唯一的“友好点”；对 于 ，|f(x)g(x)|x (x 2)|x12274 1 无解，故不存在“友好点”；对于，|f(x)g(x)|ex1x，而 ex1x是(0，)上的减函数，且|f(2)g(2)|e212 1，故 f(x)与 g(x)在区间(0，)上有无穷多个“友好点”；对于，|f(x)g(x)|ln xx|，x1 时，|f(1)g(1)|1.令 h(x)ln xx，h(x)1x1，当 0 x0；当 x1 时，h(x)0.h(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，h(x)在 x1 处取最大值，且 h(1)1，从而在(0，)上，h(
5、x)0）3x，（x0），则 ff14 的值是.198.某驾驶员喝了 500 mL 酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间 x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)5x2，0 x1，3513x，x1.酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过 0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过_h后才能开车.(精确到 1 h)4【解析】当 0 x1 时，1255x215，此时不宜开车；由3513x0.02，得 x4.9.已知函数 f(x)exex2，g(x)exex2，(其中 e2.718 28)，有下列命题：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数；对任意 xR
6、，都有 f(2x)f(x)g(x)；f(x)在 R 上单调递增，g(x)在(，0)上单调递减；f(x)无最值，g(x)有最小值；其中正确的命题是.(填上所有正确命题的序号)【解析】f(x)exex2exex2f(x)，g(x)exex2exex2g(x)，又两个函数定义域均为 R，可见命题正确；f(x)g(x)exex2exex2e2xe2x412f(2x)，可见命题是错误的；因为 ex 在 R 上为增函数，ex 在 R 上为减函数，所以 exex 在 R 上为增函数，即 f(x)在 R 上为增函数，无最值，在(，0)上，g（x1）g（x2）x1x2（ex1ex2）（1ex1x2）2（x1x2
7、）0，所以 g(x)为减函数，由于 g(x)为偶函数，所以 g(x)在 x0 处取得最小值为 1，所以是正确的.10.定义：如果函数 yfx 在定义域内给定区间a，b 上存在 x0ax00 时，都有 f(x)0 成立.(1)求 f(0)，f(8)的值；(2)求证：f(x)为 R 上的增函数；(3)求解关于 x 的不等式 f(x3)f(3x5)12.【解析】(1)令 ab0 得 f(0)0，令 ab4，得 f(8)12.(2)设 x10，则 f(x2x1)0；f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)，故 f(x1)0 时，f(x)2ax22x3a 的对称轴为 x 12a.当 12a 1，即0
8、a 12 时，应 使f（1）0，f（1）0，即a5，a1，a 的解集为.当1 12a12时，应使f 12a 0，f（1）0，即 12a3a0，a1，解得 a1，a 的解集为1，).(3)当 a0 时，当 01，即12a0 时，应使f（1）0，f（1）0，即a5，a1，a 的解集为.综上所述，a 的取值范围是，3 721，).13.(18 分)设常数 aR，函数 fx 2xa2xa.(1)当a1时，判断并证明函数fx 在0，的单调性；(2)若函数 yf(x)是奇函数，求实数 a 的值；(3)当 a0 时，若存在区间m，n mx20，则 f x1 f x2 22x1122x2122x22x12x1
9、1 2x21 因为 x1x20，所以 2x112x210，2x22x1，故 fx1 fx2 0，故函数 fx 在0，上单调递减.(2)因为 fx 2xa2xa为奇函数，所以定义域关于原点对称且 fx f(x)恒成立，所以 a1 或 a0，当 a1 时，x0，f(x)2x12x112x12x12x2x1f(x)成立，所以 fx 为奇函数成立，所以 a1.当 a0 时，xR，fx f(x)即2xa2xa2xa2xa，所以(1a2xa2xa2)(1a2xa2xa2)0，所以 a21，得 a1，综上得 a1.(3)因为 fx 2xa2xa1 2a2xa，当 a0 时，函数fx在，log2（a）和log
10、2（a），上单调递减，所以 mnlog2(a)或 log2(a)mn 由题意可得1 2a2ma2n，1 2a2na2m，(*)上述两式相减得 2a2na2a2ma 2a2m2n2ma 2na 2n2m，即2a2ma 2na，故 2a2ma2na，代入(*)式得 a1，此时2m1 2n1 2，且mn0 或 0m0 时，函数 fx 在，上单调递增.由题意可得1 2a2ma2m，1 2a2na2n，所以 m，n 是方程 1 2a2xa2x 的两个不等的实根，即方程2x 2a1 2xa0 有两个不等的实根，令 t2x0，则方程 t2a1 ta0 有两个不相等的正实根，故a1 24a0，（a1）0，a0，解得a32 2或a32 2，a0，即 0a32 2，综上得实数 a 的取值范围是1 0，32 2.
