1、开 始 i=1,S=0 S=S+i1 输出 S 结 束 否 是 第 8 题图 i 2022 QPOBA第 13 题图 2022 学年第二学期徐汇、松江、金山区高三年级数学学科 学习能力诊断卷（文科试卷）（考试时间：120 分钟，满分 150 分）一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1若函数()(0,1)xf xa aa的反函数图像过点(2,1)，则a=.2若直线 1:210lxmy 与直线 2:31lyx 平行，则m=.3若正整数 n使得行列式1623nnn，则7nP .4已知函数13(),(1
2、,27)f xxx的值域为 A，集合220,BxxxxR，则BA .5已知(,0)2 ，且4cos5，则sin 2=_.6已知圆锥的母线长为5，侧面积为15，则此圆锥的体积为_（结果保留）.7已知32ix （i 为虚数单位）是一元二次方程20 xaxb (,a b 均为实数)的一个根，则ab=_.8如图给出的是计算1111352013的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i .9某国际体操比赛，我国将派 5 名正式运动员和 3 名替补运动员 参加,最终将有 3 人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均 不上场比赛的概率是 （结果用最简分数表示）.10满足条件00212yxyxyx的目标函数2
3、2yxP的最大值是 .11.在 二 项 式63()()axaRx的 展 开 式 中，常 数 项 的 值 是20，则23lim()nnaaaa=.12已知椭圆2212516xy内有两点 1,3,3,0,ABP 为椭圆上一点，则 PAPB的最大值为 .13如图，有以下命题成立：设点,P Q 是线段 AB 的三等分点，则有 12第三步第二步第一步E3DCBAE2E2ABCDE1E1DCBA13第14题图OPOQOA OB.将此命题推广，设点12345,A A A A A 是线段 AB 的六等分点，则12345OAOAOAOAOAOAOB.14.如图，对正方形纸片 ABCD 进行如下操作：第一步，过点
4、 D 任作一条直线与 BC 边相交于点1E,记11CDE；第二步，作1ADE的平分线交 AB 边于点2E,记22ADE；第三步，作2CDE 的平分线交 BC 边于点3E,记33CDE；按此作法从第二步起重复以上步骤，得到 12,n，则用n 和1n 表示的递推关系式是1n .二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.15已知,a b 为实数，命题甲：2abb，命题乙：110ba，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16已
5、知函数 1,00,01,0 xf xxx，设2()()F xxf x，则()F x 是 （）A.奇函数，在(,)上单调递减 B.奇函数，在(,)上单调递增 C.偶函数，在,0上递减，在0,上递增 D.偶函数，在,0上递增，在0,上递减 4 5 17如图,已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 ()A B C D 18气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于 22(0C)”.现有甲、乙、丙 三地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：甲地：5 个数据的中位数为24，众数为2
6、2；乙地：5 个数据的中位数为27，总体均值为24；丙地：5 个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有 ()A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分 12 分)在 ABC中，,a b c 分别是角,A B C 的对边，且3sincoscossin2ACAC,若7,b ABC的面积334ABCS，求ac的值.20(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.某轮船公司的一
7、艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k.轮船的 最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96 元，其余航行运作费用（不论 4 3 4 4 3 4 x y z O 4 3 4 A1C1B1ACB第 21 题图速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值.21(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.如图，已知111ABCA B C是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2 （1）求异
8、面直线1AC 与11B C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求三棱锥1CABC的体积1C ABCV.22(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分.已知双曲线C 的中心在原点，1,0D是它的一个顶点，d (1,2)是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点(,A B 都不同于点 D)，求 DA DB的值；(3)对于双曲线:22221(0,0,)xyababab，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线上的两点(,M N 都不同于
9、点 E)，且 EMEN，求证：直线 MN 与 x 轴的交点是一个定点.23(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.已知数列*()nanN的前n 项和为nS,数列nSn是首项为0，公差为 12的等差数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设*42()15nanbnN，对任意的正整数 k，将集合21221,kkkbbb中的三个元素排成 一个递增的等差数列，其公差为kd，求kd；（3）对（2）题中的kd，设1(1,5)Ad，2(2,5)Bd，动点,M N 满足MNAB，点 N 的轨迹是函数()yg x的图像,其中()g
10、 x 是以3 为周期的周期函数,且当0,3x时,()lgg xx,动点 M 的轨迹是函数()f x 的图像，求()f x.A1C1B1ACB数学（文）参考答案 一填空题:(本题共有 14 题，每小题 4 分)1 12 2.23 3.42 4.(1,2)5.2425 6.12 7.19 8.2i 9.514 10.4 11.14 12.15 ；13.52；14.24n 二选择题：（本题共有 4 小题，每小题 5 分）15B 16.B 17.B 18.C 三解答题 19（本题 12 分）解：由条件可知3sin()2AC，2 分 即3sin2B，4 分 13sin3.24ABCSacB3.ac8 分
11、 由余弦定理Baccabcos2222,得22()22cos,bacacacB10 分 于是，217()2 3(1).2ac 4ac.12分 20.（本题 14 分）本题共有 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.解：（1）由题意得燃料费21Wkv，2 分 把v=10，196W 代入得k=0.96.6 分（2）2 100100 1500.96Wvvv，9 分=15000962 14400002400vv，11 分 其中等号当且仅当1500096vv时成立，解得1500012.51596v，13分 所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为 2400（元）.14分 21（本
12、题 12 分）本题共有 2 题，第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分.（1）11/C BCB，1 分 连接1A B，则1ACB为异面直线111ACBC与所成角.3 分 由题意得112 2,ACAB4 分 5 分 所 以，异 面 直 线1AC 与11B C 所 成 角 的 大 小为6 分 （2）由题意得,11C ABCCABCVV9 分 ABC的面积213 23,24ABCShCC，12 分 1123 2333CABCV，三棱锥1CABC的体积为 233.14 分 22(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分,第（3）小题满分 6 分.
13、解：(1)设双曲线 C 的方程为22221(0,0)xyabab，则1a，.2 分 又2ba ，得2b，所以，双曲线 C 的方程为2212yx .4 分(2)当直线 AB 垂直于 x 轴时，其方程为3x ，,A B 的坐标为(3,4)、(3,4)，(4,4),(4,4)DADB ，所以 DA DB=0.6 分 当直线 AB 不与 x 轴垂直时，设此直线方程为(3)yk x，由22(3)22yk xxy得2222(2)6920kxk xk.设1122(,),(,)A x yB xy，则212262kxxk,2122922kx xk，.8 分 故212121212(1)(1)(1)(1)(3)(3
14、)DA DBxxy yxxkxx 2221 212(1)(31)()91kx xkxxk.9 分 22222211112 222 22cos,242 2 2 2ACBCA BACBACBC2arccos.422292(1)2kkk2226(31)2kkk291k =0.综上，DA DB=0.10分(3)设直线 MN 的方程为：xmyt，由222222xmytb xa ya b，得22222222()2()0b mayb mtyb ta,设1122(,),(,)M x yN xy，则2122222b mtyyb ma,22212222()b tay yb ma，12分 由 EMEN，得1212(
15、)()0 xa xay y，1212()()0myta mytay y 即221212(1)()()()0my ym ta yyta,14 分 222222222222()2(1)()()0b tab mtmm tatab mab ma，化简得，2222()a abtab或ta(舍),.15分 所以，直线 MN 过定点(2222()a abab,0).16 分 23(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分,第（3）小题满分 8 分.解：(1)由条件得10(1)2nSnn，即(1)2nnSn.2 分 所以*1()nannN.4分 (2)由（1
16、）可知1*4(2)()15nnbnN,所以22222144(2)21515kkkb，2121244(2)21515kkkb 222144(2)21515kkkb.7分 由212212kkkbbb及22121kkkbbb得 22121,kkkbbb 依次成递增的等差数列,.9 分 所以22221214442215155kkkkkkdbb.10分(3)由（2）得(1,4),(2,16)AB,即(1,12)MNAB.12 分 当33(1)()mxmmZ时，033xm,由()g x 是以3为周期的周期函数得，()(3)lg(3)g xg xmxm,即()lg(3)g xxm(333()mxmmZ.14分 设(,)M x y 是函数()yf x图象上的任意点，并设点 N 的坐标为(,)NNxy,则112NNxxyy.16 分 而lg(3)NNyxm(333()NmxmmZ,于是，12lg(1 3)yxm(3133()mxmmZ,所以，()lg(13)12fxxm(3132()mxmmZ.18 分
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