1、第一节集合及其运算学习要求:1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的基本关系及集合的基本运算.1.元素与集合(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系:若a属于集合A,记作aA;若b不属于集合A,记作bA.(3)集合的表示方法:列举法、描
2、述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR2.集合间的基本关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AB或BA真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AAB或BA相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素AB且BAA=B注意空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集B(其中B)3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示集合A与B的并集为AB集合A与B的交集为AB若全集为U,则集合A的补集为UA图形表示意义AB=x|xA,或xB
3、AB=x|xA,且xBUA=x|xU,且xA4.集合的运算性质并集的性质:A=A;AA=A;AB=BA;AB=ABA.交集的性质:A=;AA=A;AB=BA;AB=AAB.补集的性质:A(UA)=U;A(UA)=;U(UA)=A.知识拓展与集合相关的结论(1)(AB)A,(AB)B;A=AA;AB=BA;A(AB),B(AB);A=AA;AB=BA.(2)若AB,则AB=A,若AB=A,则AB;若AB,则AB=B,若AB=B,则AB.(3)UU=,U=U,U(UA)=A,A(UA)=U,A(UA)=.(4)U(AB)=(UA)(UB),U(AB)=(UA)(UB).(5)AB=ABA=B.(6
4、)含有n个元素的集合有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集(nN*).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1.()(3)若x2,1=0,1,则x=0,1.()(4)对于任意两个集合A,B,关系(AB)(AB)恒成立.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人A必修第一册P9T1改编)若集合P=xN|x2021,a=22,则()A.aPB.aPC.aPD.aP答案D3.(老教材人A必修1P44A组T5改编)已知集合A=(x,y)|
5、x2+y2=1,B=(x,y)|x,yR,且y=x,则AB中元素的个数为.答案24.(新教材人A必修第一册P14T4改编)设全集U=R,集合A=x|3x7,B=y|2y10,则(UA)B=.答案R5.(2020北京理,1,4分)已知集合A=-1,0,1,2,B=x|0x3,则AB=()A.-1,0,1B.0,1C.-1,1,2D.1,2答案D集合的基本概念1.已知集合A=0,1,2,则集合B=(x,y)|xy,xA,yA中元素的个数是()A.1B.3C.6D.9答案C2.已知集合A=xZ|32-xZ,则集合A中的元素个数为()A.2B.3C.4D.5答案C名师点评解决集合含义问题的关键有三点:
6、一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合中的元素是否满足互异性.集合的基本关系典例1已知集合A=x|y=log2(x2-3x-4),B=x|x2-3mx+2m20),若BA,则实数m的取值范围为()A.(4,+)B.4,+)C.(2,+)D.2,+)答案B变式探究若本例集合B中去掉条件“m0”,则实数m的取值范围是.答案m|m-1或m=0或m4名师点评1.判断集合关系的三种常用方法(1)定义法.(2)集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,然后利用集合
7、元素的特征判断集合的关系.(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.2.已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且经常要对参数进行讨论.注意区间端点的取舍.3.当题目中有条件BA时,不要忽略B=的情况.集合M=x|x=n2+1,nZ,N=y|y=m+12,mZ,则两集合M,N的关系为()A.MN=B.M=NC.MND.NM答案D由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(kZ),则x=k+1(kZ),当n为奇数时,设n=2k+1(kZ),则x=k+1+12(kZ),NM,故选D.集合的基本
8、运算角度1集合的运算典例2(2020课标全国理,1,5分)已知集合U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2,则U(AB)=()A.-2,3B.-2,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,3答案A角度2利用集合的运算求参数典例3已知集合A=x|x2-x0,B=x|a-1xa,若AB=,则实数a的取值范围是()A.a1B.a1C.a0D.a0答案B数学抽象集合中的新定义问题已知集合M=(x,y)|y=f(x),若对于任意实数对(x1,y1)M,都存在(x2,y2)M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:M=(x,y)|y=
9、1x;M=(x,y)|y=log2x;M=(x,y)|y=ex-2;M=(x,y)|y=sinx+1.其中是“垂直对点集”的是()A.B.C.D.答案C记O为坐标原点,A(x1,y1),B(x2,y2),则由x1x2+y1y2=0得OAOB.对于,对任意AM,不存在BM,使得OAOB.对于,当A为点(1,0)时,不存在BM满足题意.对于,对任意AM,过原点O可作直线OBOA,它们都与函数y=ex-2及y=sinx+1的图象相交,即满足题意.故选C.以集合为载体的新定义问题,常见的命题形式有新概念、新性质、新法则等.破解新定义型集合问题的关键在于分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚
10、,并能够应用到具体的解题过程之中;集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素;准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.已知k为合数,且1k1,集合B=x|x2-2B.x|1x2C.x|1x2D.R答案B3.(2019北京朝阳高三期末,1)已知集合A=xN|1x3,B=2,3,4,5,则AB=()A.2,3B.2,3,4,5C.2D.1,2,3,4,5答案D4.(2019课标全国,2,5分)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,则B(UA)=
11、()A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7答案C5.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q=x|xP,且xQ,如果P=x|12x4,Q=y|y=2+sinx,xR,那么P-Q=()A.x|0x1B.x|0x2C.x|1x2D.x|0x1答案D6.(2018北京朝阳一模,1)已知全集为实数集R,集合A=x|x2-3x1,则(RA)B=()A.(-,03,+)B.(0,1C.3,+)D.1,+)答案C7.集合A=x|xa,B=x|x2-5x0,若AB=B,则a的取值范围是()A.a5B.a4C.a5D.a0,则下列结论正确的是()A.MNB.M(RN)C.(RM)ND.(RM)(RN)答案BB组
12、综合提升11.已知集合A=x|y=4-x2,B=x|axa+1,若AB=A,则实数a的取值范围为()A.(-,-32,+)B.-1,2C.-2,1D.2,+)答案C12.S(A)表示集合A中所有元素的和,且A1,2,3,4,5,若S(A)能被3整除,则符合条件的非空集合A的个数是()A.10B.11C.12D.13答案BA1,2,3,4,5,且S(A)能被3整除,按A中元素个数分类如下:1个:3;2个:1,2,1,5,2,4,4,5;3个:1,2,3,1,3,5,2,3,4,3,4,5;4个:1,2,4,5;5个:1,2,3,4,5.共11个,故选B.13.集合M=x|2x2-x-10,U=R
13、,若M(UN)=,则a的取值范围是()A.a1B.a1C.a1D.a1答案B14.(2020课标全国理,2,5分)设集合A=x|x2-40,B=x|2x+a0,且AB=x|-2x1,则a=()A.-4B.-2C.2D.4答案BC组思维拓展15.(2019北京朝阳一模,8)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是()A.5B.6C.7D.8答案B如图,用a+b+d+e表示第一天开车上班的人数,用d+e表示在第一、三天都开车上班的人数,以此类推,求e(即三天都开车上班的职工人数)的最大值.由题意可
14、得a+b+c+d+e+f+g=20,a+c+g+2b+2d+2f+3e=14+10+8=32,所以b+d+f+2e=12.当b=d=f=0时,e取得最大值6,故选B.16.(2019北京东城一模,14)设A,B是R的两个子集,对任意xR,定义:m=0,xA,1,xA,n=0,xB,1,xB.(1)若AB,则对任意xR,m(1-n)=;(2)若对任意xR,m+n=1,则A,B的关系为.答案(1)0(2)A=RB解析(1)AB可分为两种情况:A=B,此时对任意的xR,m=n=0或m=n=1,所以m(1-n)=0.AB,此时分为三种情况:a.xB,m=n=0.b.xBA,m=0,n=1.c.xA,m=1,n=1.经计算,以上三种情况下m(1-n)=0.综上,m(1-n)=0.(2)若对任意xR,m+n=1,则可分为两种情况:m=0,n=1或m=1,n=0.故A、B互为补集,即A=RB.
