1、高考资源网（） 您身边的高考专家广东省茂名市高州中学2015-2016学年高二（下）期末数学试卷 （文科）(解析版)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合A=x|2x1，B=x|0x2，则集合AB=（）Ax|1x1Bx|2x1Cx|2x2Dx|0x12设复数z满足（1i）z=2i，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i3已知命题p：xR，x2+2x+3=0，则p是（）AxR，x2+2x+30BxR，x2+2x+3=0CxR，x2+2x+30DxR，x2+2x+3=04设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内
2、，且bm，则“”是“ab”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知，且，则=（）AB7CD76若双曲线=1（a0）的离心率为2，则a等于（）A2BCD17已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2bc，bc=4，则ABC的面积为（）AB1CD28如图所示框图表示的程序所输出的结果是（）A1320B132C11880D1219图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A20+3B24+3C20+4D24+410已知平面向量，满足=（1，），|=3，（2），则|=（）A2B3C4D611若圆C：x2+
3、y2+2x4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A2B3C4D612公差不为零的等差数列an中，2a3a72+2a11=0，数列bn是等比数列，且b7=a7，则b6b8=（）A2B4C8D16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13曲线y=x3x+3在点（1，3）处的切线方程为14已知an为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1=15已知定义在R上的偶函数f（x）在0，+）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x2）0的解集是16如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为三、
4、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，b=2，ABC的面积为（）求a的值；（）求sin2A值18（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄5，15）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）频数510151055支持“生育二胎”4512821（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在5，15）的被调查人中各随机选取两人
5、进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a=c=不支持b=d=合计参考数据：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=19（12分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，BCD=120，四边形BFED为矩形，平面BFED平面ABCD，BF=1（）求证：AD平面BFED；（）点P是线段EF上运动，且=2，求三棱锥EAPD的体积20（12分）已知曲线C的方程是mx2+ny2=1（m0，n0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（）求曲线C的方程；（）设M（x1，y1
6、），N（x2，y2），向量（x1， y1），=（x2， y2），且=0，若直线MN过点（0，），求直线MN的斜率21（12分）已知函数f（x）=（）讨论函数y=f（x）在x（m，+）上的单调性；（）若m（0，），则当xm，m+1时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方？请写出判断过程选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E（1）求证：E是CD的中点；（2）求EFFB的值选修4-4：坐标系与参数方程23平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x1）2+y2=1直线
7、l经过点P（m，0），且倾斜角为以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系（）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|PB|=1，求实数m的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+6|mx|（mR）（）当m=3时，求不等式f（x）5的解集；（）若不等式f（x）7对任意实数x恒成立，求m的取值范围2015-2016学年广东省茂名市高州中学高二（下）期末数学试卷 （文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合A=x|2x1，B=x|0x2，则集合A
8、B=（）Ax|1x1Bx|2x1Cx|2x2Dx|0x1【考点】并集及其运算【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可【解答】解：AB=x|2x1x|0x2=x|0x1故选D【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算2设复数z满足（1i）z=2i，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据所给的等式两边同时除以1i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果【解答】解：复数z满足z（1i）=2i，z=1+i故选A【点评】本题考查代数形式的除法运算，是
9、一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算3已知命题p：xR，x2+2x+3=0，则p是（）AxR，x2+2x+30BxR，x2+2x+3=0CxR，x2+2x+30DxR，x2+2x+3=0【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：xR，x2+2x+3=0，则p是：xR，x2+2x+30故选：A【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题4设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件
10、D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论【解答】解：bm，当，则由面面垂直的性质可得ab成立，若ab，则不一定成立，故“”是“ab”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键5已知，且，则=（）AB7CD7【考点】两角和与差的正切函数【分析】所求式子利用诱导公式化简，将sin算出并求出tan带入可求出值【解答】cos，且sin=即tantan（）=7故答案选：D【点评】考查了两角和公式的应用，属于基础题6若双曲线=1（a0）的离心率为2，则a
11、等于（）A2BCD1【考点】双曲线的简单性质【分析】直接利用双曲线方程通过离心率，列出方程求解即可【解答】解：双曲线=1（a0）的离心率为2，解得a=1故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，基本知识的考查7已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2bc，bc=4，则ABC的面积为（）AB1CD2【考点】余弦定理【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解【解答】解：a2=b2+c2bc，由余弦定理可得：cosA=，又0A，可得A=60，sinA=，bc=4，SABC=bcsinA=故选：C【点评】本题主要考查了
12、余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查8如图所示框图表示的程序所输出的结果是（）A1320B132C11880D121【考点】程序框图【分析】逐次按照程序进行计算前几次循环的结果，算出每一个结果判断是否满足判断框的条件只到满足条件结束循环【解答】解：经第一次结果是s=112，i=11，经第二次循环结果是s=1211，i=10，再进行第三次循环，结果是s=121110=1320，i=9，满足判断框的条件，结束循环，输出1320故选A【点评】这类计算输出结果的试题，只要按照程序进行计算即可，但要注意输入的初始值和循环结论的判断条件9图是一个几何体的三视图（侧视
13、图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A20+3B24+3C20+4D24+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，该几何体的表面积S=522+12+=20+3故选A【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答10已知平面向量，满足=（1，），|=3，（2），则|=（）A2B3C4D6【考点】数量积判断两个平面向量
14、的垂直关系；向量的模【分析】由题意易得|=2，|22=0，代入可得|2=|22+|2=9，开平方可得【解答】解： =（1，），|=2，又|=3，（2），（2）=|22=0，|2=|22+|2=0+9=9，|=3故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积和垂直关系，涉及向量的模长公式，属基础题11若圆C：x2+y2+2x4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A2B3C4D6【考点】圆的切线方程；关于点、直线对称的圆的方程【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值【解
15、答】解：圆C：x2+y2+2x4y+3=0化为（x+1）2+（y2）2=2，圆的圆心坐标为（1，2）半径为圆C：x2+y2+2x4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（1，2）在直线上，可得2a+2b+6=0，即a=b+3点（a，b）与圆心的距离，所以点（a，b）向圆C所作切线长：=4，当且仅当b=1时弦长最小，为4故选C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力12公差不为零的等差数列an中，2a3a72+2a11=0，数列bn是等比数列，且b7=a7，则b6b8=（）A2B4C8D16【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】由2a3a72+2
16、a11=0结合性质求得a7，再求得b7，由等比数列的性质求得b6b8【解答】解：由等差数列的性质：2a3a72+2a11=0得：a72=2（a3+a11）=4a7，a7=4或a7=0，b7=4，b6b8=b72=16，故选：D【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，是一道基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13曲线y=x3x+3在点（1，3）处的切线方程为2xy+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可【解答】解：y=3x21，令x=1，得切线斜
17、率2，所以切线方程为y3=2（x1），即2xy+1=0故答案为：2xy+1=0【点评】本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题14已知an为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1=1【考点】等比数列的通项公式【分析】由a5是a3与a11的等比中项，可得=a3a11， =（a1+2）（a1+10），解出即可得出【解答】解：a5是a3与a11的等比中项，=a3a11，=（a1+2）（a1+10），解得a1=1故答案为：1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的相同公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15已知定义在R上的偶函数f（
18、x）在0，+）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x2）0的解集是x|x3或x1【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集【解答】解：偶函数f（x）在0，+）上为增函数，f（1）=0，不等式f（x2）0等价为f（|x2|）f（1），即|x2|1，即x21或x21，即x3或x1，故不等式的解集为x|x3或x1，故答案为：x|x3或x1【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用16如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为【考点】球
19、的体积和表面积【分析】利用半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，求出球的半径，利用体积公式，求出半球的体积【解答】解：设球的半径为R，则底面ABCD的面积为2R2，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，=，R3=2，该半球的体积为V=故答案为：【点评】本题考查半球的体积，考查四棱锥的体积，求出球的半径是关键三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2016威海一模）在ABC中，b=2，ABC的面积为（）求a的值；（）求sin2A值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由条件求得sinC的值，利用ABC的面积为求得a的
20、值（）由余弦定理求得c的值，利用正弦定理求得sinA的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2A值【解答】解：（）ABC中，b=2，sinC=，ABC的面积为=absinC=2a=1（）由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=1+43=2，c=再由正弦定理可得=，即=，sinA=由于a不是最大边，故A为锐角，故cosA=，sin2A=2sinAcosA=2=【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，大边对大角，二倍角公式的应用，属于中档题18（12分）（2016郑州二模）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“
21、生育二胎”人数如表：年龄5，15）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）频数510151055支持“生育二胎”4512821（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a=c=不支持b=d=合计参考数据：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概
22、率【分析】（1）根据统计数据，可得22列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（2）利用列举法确定基本事件的个数，即可得出恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率【解答】解：（1）22列联表年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数 合计支持a=3c=29 32不支持b=7d=11 18合 计1040 50（2分）6.635（4分）所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异（2）设年龄在5，15）中支持“生育二胎”的4人分别为a，b，c，d，不支持“生育二胎”的人记为M，（6分）则从年龄在5，15）的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a，b
23、），（a，c），（a，d），（a，M），（b，c），（b，d），（b，M），（c，d），（c，M），（d，M）（8分）设“恰好这两人都支持“生育二胎”为事件A，（9分）则事件A所有可能的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），（11分）所以对年龄在5，15）的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为（12分）【点评】本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题19（12分）（2016郑州二模）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，BCD=120，四边形BFED为矩形，平面BFED
24、平面ABCD，BF=1（）求证：AD平面BFED；（）点P是线段EF上运动，且=2，求三棱锥EAPD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）根据平面几何知识计算AB，BD，根据勾股定理的逆定理得出ADBD，由平面BFED平面ABCD得出AD平面BFED；（2）以PDE为棱锥的底面，则AD为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，BCD=120，AB=2BD2=BC2+CD22BCCDcos120=3AB2=AD2+BD2，ADBD平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCD=BD，AD平面ABC
25、D，DEDB，AD平面BFED（2）四边形BFED为矩形，EF=BD=，DE=BF=1，=2，SPDE=，VEAPD=VAPDE=【点评】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，选择恰当的底面和高是计算体积的关键20（12分）（2016郑州二模）已知曲线C的方程是mx2+ny2=1（m0，n0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（）求曲线C的方程；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），向量（x1， y1），=（x2， y2），且=0，若直线MN过点（0，），求直线MN的斜率【考点】椭圆的简单性质【分析】（）将A，B代入曲线C的方程，解方程组，可得m=4，n=
26、1，即可得到所求曲线的方程；（）设直线MN的方程为，代入椭圆方程为y2+4x2=1，运用韦达定理，由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得所求直线的斜率【解答】解：（）将A，B代入曲线C的方程，可得：，解得m=4，n=1所以曲线C方程为y2+4x2=1；（）设直线MN的方程为，代入椭圆方程为y2+4x2=1得，=（2x1，y1）（2x2，y2）=4x1x2+y1y2=0，由y1y2=（kx1+）（kx2+）=k2x1x2+k（x1+x2），即【点评】本题考查曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，
27、属于中档题21（12分）（2016郑州二模）已知函数f（x）=（）讨论函数y=f（x）在x（m，+）上的单调性；（）若m（0，），则当xm，m+1时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方？请写出判断过程【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出f（x）在m，m+1的最小值，问题转化为判断ex与（1+x）x的大小，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（），当x（m，m+1）时，f（x）0，当x（m+1，+）时，f（x）0，所以f（x）在（m，m+1）递减，在（m+1，+
28、）递增；（）由（）知f（x）在（m，m+1）递减，所以其最小值为f（m+1）=em+1，因为，g（x）在xm，m+1单调递增，最大值为g（m+1）=（m+1）2+m+1，要判断函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方，只需验证f（m+1）g（m+1）是否成立，所以下面判断f（m+1）与g（m+1）的大小，f（m+1）g（m+1）=em+1（m+1）（m+2），m（0，），令h（m）=em+1（m+1）（m+2），m（0，），h（m）=em+12m3，m（0，），h（m）=em+12，m（0，），h（m）0，h（m）在m（0，）单调递增，存在t（0，），使得h（t）=0，即
29、et+12t3=0，则t=，则h（m）的最小值为h（t）=et+1（t+1）（t+2）=et+1（）（）=et+1=，满足t（0，）时h（t）0，所以h（m）0在m（0，）时恒成立，所以函数y=f（x）的图象总在函数g（x）=x2+x图象上方【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的大小比较，是一道中档题选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2016郑州二模）如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E（1）求证：E是CD的中点；（2）求EFFB的值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由题意
30、得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA2=EFEC，EB2=EFEC，由此能证明AE=EB（2）连结BF，得BFEC，在RTEBC中，由射影定理得EFFC=BF2，由此能求出结果【解答】解：（1）由题可知是以为A圆心，DA为半径作圆，而ABCD为正方形，ED为圆A的切线依据切割线定理得ED2=EFEB （2分）圆O以BC 为直径，EC是圆O的切线，同样依据切割线定理得EC2=EFEB（4分）故EC=EDE为CD的中点（2）连结CF，BC为圆O的直径，CFBF （6分）由得（8分）又在RtBCE中，由射影定理得（10分）【点评】本题考查与圆有关的线段相等的证明，考查两线段乘积的求法，解题时要注
31、意射影定理和切割线定理的合理运用选修4-4：坐标系与参数方程23（2016郑州二模）平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x1）2+y2=1直线l经过点P（m，0），且倾斜角为以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系（）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|PB|=1，求实数m的值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线C：（x1）2+y2=1展开为：x2+y2=2x，把代入可得曲线C的极坐标方程直线l的参数方程为：，（t为参数）（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2把直线l的参数方程圆的方程可得：t2+（）t+m22m=0，利用|
32、PA|PB|=1，可得|m22m|=1，解得m即可得出【解答】解：（1）曲线C：（x1）2+y2=1展开为：x2+y2=2x，可得2=2cos，即曲线C的极坐标方程为=2cos直线l的参数方程为：，（t为参数）（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2把直线l的参数方程代入x2+y2=2x，可得：t2+（）t+m22m=0，t1t2=m22m|PA|PB|=1，|m22m|=1，解得m=1或1【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与圆的相交弦长问题、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲24（2016郑州二模）已知函数f（x）=|x+6|
33、mx|（mR）（）当m=3时，求不等式f（x）5的解集；（）若不等式f（x）7对任意实数x恒成立，求m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）通过讨论x的范围，得到各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）根据绝对值的几何意义求出m的范围即可【解答】解：（1）当m=3时，f（x）5即|x+6|x3|5，当x6时，得95，所以x；当6x3时，得x+6+x35，即x1，所以1x3；当x3时，得95，成立，所以x3；故不等式f（x）5的解集为x|x1（）因为|x+6|mx|x+6+mx|=|m+6|，由题意得|m+6|7，则7m+67，解得13m1【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的几何意义，分类讨论思想，是一道中档题高考资源网版权所有，侵权必究！
