1、复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 若直线过点 ，则它的点法向式方程为 .2. 若行列式的元素的代数余子式的值为，则实数 3. 在直角坐标平面内的中，、，若，则面积的最大值为 .4. 直线的倾斜角是_.5. 设点位于线性约束条件所表示的区域内（含边界），则目标函数的最大值是 6. 已知点和点的坐标分别为和，若直线与线段相交，则的取值范围是_.7. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为 .8. 已知的顶点，若顶点在抛物线上移动，则的重心的轨迹方程为 . 9. 若实数满足条件，则的最大值
2、是 .10. 已知椭圆的半焦距为，且，若椭圆经过两点，且是圆的一条直径，则直线的方程为 . 11. 设满足，则的取值范围为_.12. 已知在面积为的中, 、分别是三条边、的中点,点在直线上，若，则的取值范围是 .二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “”是“直线和直线垂直”的（ ）.A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若椭圆，的面积记作，则（ ）.A. B. C. D. 15. 已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果的面积为，那么满足要求的直线的条数是（ ）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 416. 已知圆上有三个不同
3、的点，其中，若存在实数满足，则直线与圆的位置关系为（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题14分）为已知实数， 直线的方程为，直线的方程为. （1）讨论直线与的位置关系；（2）当直线与平行时，求这两条平行线的距离的最大值.18.（本题14分）直线经过定点，点在直线上，且.（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求的最小值.19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆
4、形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕所有M这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过，且与直线夹角为的直线被椭圆截得的弦长.20.（本题16分）如图，已知半圆与轴交于两点，与轴交于点.半椭圆的上焦点为，并且是面积为2的等腰直角三角形. 将满足的曲线记为.（1）求实数的值；（2）点在曲线上，且，求； 以下（
5、3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分）（3）直线与曲线交于两点，在曲线上再取两点（分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积.（3）设，是曲线上任意一点，求的最小值.21.（本题18分）如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.（1）求双曲线的方程；（2）当时，求的取值范围；PNMyxO（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围.复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本
6、大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 若直线过点 ，则它的点法向式方程为 . 【答案】 2. 若行列式的元素的代数余子式的值为，则实数 【答案】453. 在直角坐标平面内的中，、，若，则面积的最大值为 . 【答案】4. 直线的倾斜角是_.【答案】5. 设点位于线性约束条件所表示的【公众号魔都Maths】区域内（含边界），则目标函数的最大值是 【答案】6. 已知点和点的坐标分别为和，若直线与线段相交，则的取值范围是_.【答案】 7. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 8. 已知的顶点，若顶点在抛物线上移动，则的重心的轨迹方程为 . 【答案】9
7、. 若实数满足条件，则的最大值【公众号魔都Maths】是 . 【答案】10. 已知椭圆的半焦距为，且，若椭圆经过两点，且是圆的一条直径，则直线的方程为 . 【解析】由点差法，得，而， 所以，所以， 所以直线的方程为，即.11. 设满足，则的取值范围为_.【解析】由可得， 根据对称性，作出此方程图象， 表示点与点连线的斜率， 由图形得取值范围为.12. 已知在面积为的中, 、分别是三条边、的中点,点在直线上，若，则的取值范围是 . 【解析】如图建系，因为面积为2，【公众号魔都Maths】 所以， 设点，由得， 所以，所以， ， 所以的取值范围是.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）1
8、3. “”是“直线和直线垂直”的（ A ）.A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若椭圆，的面积记作，则（ B ）.A. B. C. D. 15. 已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果的面积为，那么满足要求的直线的条数是（ C ）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 416. 已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足，则直线与圆的位置关系为（ A ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 【解析】由题意得，即， 所以圆心到直线的距离，故相切，选A.三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题14分）为已知实数， 直
9、线的方程为，直线的方程为. （1）讨论直线与的位置关系；（2）当直线与平行时，求这两条平行线的距离的最大值.【解析】（1） （2分）（4分）时， （6分），（8分）（2）法一： ，此时恒过点；恒过点，（12分）根据斜边总是大于直角边，所以当与线段垂直时，这两条平行线的距离最大，最大值为3. （14分）法二： ，（10分）所以 （12分）当且仅当时， （14分）18.（本题14分）直线经过定点，点在直线上，且.（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求的最小值.【解析】（1），因为（2分） （6分）（2） ，所以 （9分） （12分） 因为，
10、所以（14分）19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕所有M这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过，且与直线夹角为的直线被椭圆截得的弦长.【解析】（1）如图
11、，以FO所在的直线为x 轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标为椭圆上一点，由图可知（2分）所以P点轨迹以F，O为左右焦点，长轴长的椭圆（4分）因为，所以（6分）所以（7分）（2）如图，不妨令过的直线交椭圆于A，B且倾斜角所以（9分）（11分）所以（14分）20.（本题16分）如图，已知半圆与轴交于两点，与轴交于点.半椭圆的上焦点为，并且是面积为2的等腰直角三角形. 将满足的曲线记为.（1）求实数的值；（2）点在曲线上，且，求； 以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分）（3）直线与曲线交于两点，在曲线上再取两点（分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积.（3）
12、设，是曲线上任意一点，求的最小值.21.（本题18分）如图，已知双曲线的方程为（【解析】（1）由 （2分） 得 （4分）（2）设组成的上半个椭圆为，下半个圆为因为（5分）注意到E为椭圆的下焦点，所以 （7分）所以（9分）所以 （10分）（3）设与MN平行的直线与的切点为，与的切点为则当S，T恰好取，两点时，四边形MSNT面积最大 令 ，得 ，可得 （12分）所以（13分），所以，所以（15分）所以.（16分）（3） （11分） （12分） （13分） （14分）（15分）所以， （16分），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.（1）求双曲线的方程；（2）当时，求的取值范围；PNMyxO（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围.【解析】（1）由题意双曲线渐近线为.根据夹角公式.（2分）又.所以. （4分）（2）设， （6分）所以 （8分） 所以.（10分）（3）根据条件得. （11分）把点的坐标代入双曲线的方程得. 所以 （13分）所以（14分）.（15分）设是双曲线上一点， 所以. （17分）因为在上关于单调递增，所以当时， 所以（18分）
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