1、1.2.1 函数的概念教学设计一、教学目标（一） 知识与技能通过丰富的实例，让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的三要素；理解函数概念的本质；理解f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系；会求一些简单函数的定义域。（二）过程与方法在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。（三）情感、态度与价值观 让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。二、教学重点、难点教学重点：函数的概念以及构成函数的
2、三要素；教学难点：函数概念的形成及理解。三、学法与教学方法学法：采用学生动手实践、独立思考、自主探究与合作交流相结合的学习方式。教学方法：有效教学的课堂模式四、教学过程（一）人文导入1673年，德国数学家莱布尼兹首次使用“function”（函数）一词，后又经康托尔在集合论的基础上，揭示了函数的本质，中国清代数学家李善兰1859年在翻译代数学一书时，将function翻译成函数，将函数一词引入中国，他翻译到凡式中含天，为天之函数。（二）温故知新【教师引导】 初中阶段我们都学过哪些函数呢？然后初中时函数的概念是如何定义的？【设计意图】 通过提问，学生复习了初中函数的常见函数和概念，为提问2打下铺
3、垫，为引入本节课题，并为学习高中阶段函数的概念作好准备。【学生活动】 一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数。一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.【课件展示】 y=1是函数吗？y=x与 是相同的函数吗？【学情预设】 学生可能回答的不尽相同。【设计意图】 通过提问，学生发现利用初中的概念很难回答这两个问题，从而理解了从更深的高度学习函数概念的必要，从而引出了本节课题。（三）实例探究1、函数的有关概念【教师引导】 下面我们共同看生活中的三个例子：【课件展示】例1：一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标
4、. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律是h=130t-5t2. 例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数（% ）53.852.950.149.949.948.646.444
5、.541.939.237.9【教师引导】 对于这三个实例，我分别提出一个问题请同学们思考：问1：从炮弹发射到炮弹落地的时间内，集合A中是否存在某一时间t,在B中没有高度h与之相对应？是否有两个或多个高度与之相对应？ 问2：从1979-2001年，集合A中是否存在某一时间t,在B中没有面积S与之相对应？是否有两个或多个面积与之相对应？ 问3：从1991-2001年，集合A中是否存在某一时间t,在B中没有恩格尔系数与之相对应？是否有两个或多个恩格尔系数与之相对应？ 【设计意图】 通过三个问题的提问，着重向学生渗透集合与对应的观点，这样再用集合与对应的观点描述函数是显得不突兀。【教师引导】 通过刚才
6、的三个问题，请同学们总结出这三个实例的各自特点。【小组探究展示】1：炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集，对应关系 。从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。 2：数集，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。 3：数集A=1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001，B=53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9且对于数集A中
7、的每一个时间，按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。【学情预设】 学生能根据问题回答出这三个实例的各自特点，但语言可能不精准，教师应根据学生回答的情况进行补充和修正，渗透集合和对应的观点。（四） 归纳概括【教师引导】以上三个实例中变量的对应关系有什么共同点呢？不同点呢？ 【学生活动】(1)都有两个非空数集A，B；(2)两个数集间都有一种确定的对应关系；(3)对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应. 【教师追问】 对，同学们总结的非常好，然后我们再考虑一下：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？请各小组合作探究。 【小组探究展示】 设A、B是
8、非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数 记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域【教师引导】 函数的概念既已形成，那么它的本质是什么呢？我们先看一个表格，请学号01-05的同学填写上次考试的数学成绩，之后回答下面3个问题：问1： 若学号构成集合A=01,02,03,04,05，成绩构成集合 B=132,135,120,125,122，f:上次考试数学成绩，由A到
9、B能否构成函数？问2： 若将问题1中集合A改为“A=杜杭，王丽，林晨晨，姚壮 ，田汶帅”，其余条件不变，那么由A到B能否构成函数？问3： 若学号04的学生上次考试因病缺考，无成绩，那么学号与成绩能否构成函数？【教师引导】 通过提问，使学生对函数概念中关键词的把握更准确，对函数概念的理解更直观，为下面总结函数概念的本质特征打下基础【教师追问】 通过对以上三个问题的分析和讨论，我们对函数概念的理解更直观，在此基础上，请同学们观察下面两种数集的对应关系，判断它们能否构成函数？【设计意图】 对函数概念的理解由具体到抽象，螺旋上升。【教师点评】 在我们理解了函数是非空数集到非空数集的一对一或多对一的对应
10、关系后，对于函数的概念，我们应该强调以下几点：1、A, B 都是非空数集；2、A中任意，B中唯一；3、函数的定义域为 A；函数的值域 f(x)|xA B； 【教师引导】 对于初中我们所学的一次函数，二次函数，反比例函数它们的定义域值域分别是什么呢？【设计意图】 通过提问，学生既复习了初中所学函数的图像，又进一步加深了对定义域、值域概念的理解。【教师追问】 由以上分析我们知道函数有几大要素？决定函数的主要因素是什么？【学生活动】 函数有三要素：定义域、对应关系和值域，而决定因素是定义域和对应关系。（板书）【教师点评】 回答的非常好！由同学们的回答我们可知：如果两个函数的定义域，对应关系完全一致，
11、则两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.（板书） （五）典例精析【师生互动】 本节的例题和变式训练将采用小组讨论，合作探究的方式，由学生主讲，不足部分可以由其他同学补充，最后教师点评。类型一函数概念的应用1.已知数集A=1,2,3,4,数集B=2,4,6 ,那么f(x)=2x是不是从数集A到数集B的函数?【设计意图】考察在函数的概念中，集合A就是函数的定义域，集合B包含函数的值域这一知识点。2.下列可作为函数y= f (x)的图象的是( )【设计意图】考察对函数概念的理解，紧扣定义，验证对于定义域内的每一个x，是否有唯一的函数值与之相对应。3.判断下列对应能否表示y是x的函数（1） y=|x
12、| （2）|y|=x （3） （4） （5） （6）【设计意图】补充函数相等的条件，定义域和对应关系一致就是相等的函数。4.给出四个命题，正确有( ) 定义域相同，值域相同的两个函数相等。若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素 因f(x)=5(xR),这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立 定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个类型二求函数的定义域1. 求下列函数的定义域：【设计意图】 函数问题首要考虑定义域，这贯穿了整个高中数学，是高考的重点，也是易漏点，本题设计目的让学生对函数的定义域有直观的认识，并能总结都有哪些类型
13、的定义域问题。【教师引导】 对于函数的定义域，我们大家讨论一下我们目前学过的都有哪些类型？【小组探究展示】生2：1、如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；2、如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； 3、如果f(x)是0次方式，那么函数的定义域是底数不为0的实数的集合。生2：我再补充一下：1、如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；2、如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合 【教师点评】 同学生总结的非常好，我们把求函数定义域的类型进行一下归总，有以下几类：1、如果
14、f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；2、如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；3、如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； 4、如果f(x)是0次方式，那么函数的定义域是底数不为0的实数的集合；5、如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；6、如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况类型三判断相等函数1.下列函数中哪个与函数y=x相等？ （2） （3） （4）跟踪练习：下列各组函数是相等函数的是_(只填序号)f(x)x1，g(x)()2；f(x)|x
15、3|， ；f(x)，g(x)x2；，g(x).类型四求函数值已知 求 的值；当a0时，求 f(a),f(a-1) 的值【设计意图】 本题考查求函数值的问题，要特别注意f(a)与f(x)的区别，其中f(x)表示x对应的函数值，不是f乘x；而f(a)是指x=a时的函数值。五、课堂小结知识：1.判断两个变量是否有函数关系； 2.定义域求法3.判断是否为相同函数方法：1、函数问题首先考虑定义域； 2、f(x)含对x的一种操作规定，不是f与x的乘积； 3、f(a)表示当xa时数f(x)的函数值； 4、注意分类讨论思想的应用。六、分层作业必做：教材P28练习1,2 选做：P34A组1 七、教学反思函数是高
16、中数学中一个非常重要的内容之一，贯穿整个高中数学学习。其重要性体现在：1、 函数源于在用。2、 函数是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。3、 函数部分内容蕴涵重要数学方法，分类讨论的思想的思想等。这些思想方法是进一步学习数学和解决数学问题的基础。 然而，函数这部分知识在教学中又是一大难点这主要是因为概念的抽象性，学生理解起来不容易，由于函数这部体现于一个“变”字，接受起来就更难。研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系，要求用变量的眼光，相关问题，所以函数成了高一新生进入高中的一条拦路虎。突破了它后面的学习就容易了。 新课标要求在教学过程注重培养学生探究、发现、创新等方面的能力，学习过程中需要
17、学生的参与，学生是学习的主体和中心。以这样的指导思想，整个教学内容的设置充分考虑了学生的认知特点，问题的设置由温故到知新，由一般到特殊，由易到难，层层深入的引导学生加以探究，使学生在学习活动过程中，体验自主学习的乐趣。成功之处趣味导入，引入生活实例，激发学生学习兴趣；教学过程中，遵循定积分常见几何应用由易到难步步展开，师生合作探究，层层深入，最后的效果水到渠成。整个课堂中，清晰地思路算是一个亮点。不足之处学生语言表述时语言不够流畅、演板活动不够清晰，暴漏了平时学生锻炼不足；在学生演板之后，由于教学时间问题，没能给予充分的点评，也没能更灵活的对课堂发生的情况灵活应变。 教育无止境，而今迈步从头越。希望在以后为人师的路途上，我能更加严于律己，精益求精，成为一名优秀的教师！
