1、第八节 曲线与方程(含轨迹问题)【教材知识精梳理】1.“曲线的方程”与“方程的曲线”在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是_.(2)以这个方程的解为坐标的点_.那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程 的曲线.这个方程的解 都在曲线上 2.求动点轨迹方程的步骤(1)_建立适当的坐标系.(2)_设轨迹上的任一点P(x,y).(3)_列出动点P所满足的关系式.建系 设点 列式(4)_依关系式的特点,选用距离公式、斜率公 式等将其转化为关于x,y的方程,并化简.(5)_证明所得方
2、程即为符合条件的动点轨迹 方程.代换 证明【教材拓展微思考】1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件吗,为什么?提示:是.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时,有f(x0,y0)=0,所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.2.方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线对吗,为什么?提示:不对.方程变为x(x+y-1)=0,所以x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.3.方程y=与x=y2表示同一曲线对吗,为什么?提
3、示:不对.因为方程y=表示的曲线只是方程x=y2表 示曲线的一部分,故其不正确.xx【教材母题巧变式】1.到点F(0,4)的距离比到直线y=-5的距离小1的动点M的轨迹方程为()A.y=16x2 B.y=-16x2 C.x2=16y D.x2=-16y【解析】选C.由条件知:动点M到F(0,4)的距离与到直线y=-4的距离相等,所以点M的轨迹是以F(0,4)为焦点,直线y=-4为准线的抛物线,其标准方程为x2=16y.2.已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为_.【解析】设A(x,y),则 所以|CD|=3,化简得(x-10)2+y2=3
4、6,由于A,B,C三点构成三角形,所以A不能落在x轴上,即y0.答案:(x-10)2+y2=36(y0)x yD()2 2，22xy(5)243.已知O方程为x2+y2=4,过M(4,0)的直线与O交于A,B两点,则弦AB中点P的轨迹方程为_.【解析】根据垂径定理知:OPPM,所以P点轨迹是以OM 为直径的圆且在O内的部分.以OM为直径的圆的方程 为(x-2)2+y2=4,它与O的交点为(1,).3结合图形可知所求轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0 x1).答案:(x-2)2+y2=4(0 x1)4.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴,y轴交于A,B两点,则AB中点M
5、的轨迹方程为_.【解析】当直线l1的斜率存在时,l2的斜率也存在,设直 线l1的方程是y-1=k(x-1),则直线l2的方程是y-1=-(x-1),所以直线l1与x轴的交点为A ,l2与y轴 的交点为B ,设AB的中点M的坐标为(x,y),则有 两式相加消去k,得x+y=1 ,1k1(10)k，1(0 1)k，11x(1)2k11y(1)2k ，1(x)2即x+y-1=0 ,所以AB中点M的轨迹方程为x+y-1=0 .当l1的斜率不存在时,AB的中点为 ,适合x+y-1=0,综上可知,AB中点的轨迹方程为x+y-1=0.答案:x+y-1=0 1(x)21(x)21 1()2 2，考向一 定义法
6、求点的轨迹 提能互动【典例】(1)(2017抚州模拟)已知ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是()22222222xyxyA.1B.1916169xyxyC.1 x3D.1 x4916169(2)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,则圆心P的轨迹方程为_.世纪金榜导学号99972310【解题指南】(1)根据题设条件,寻找动点C与两定点A,B距离的差满足的等量关系|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分,再求其方程.(2)可依据两圆的位置关系,得出圆心
7、距与两圆半径的和、差的绝对值之间的关系,进而得出轨迹方程.【规范解答】(1)选C.如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=63).22xy916(2)因为圆P与圆M外切且与圆N内切,|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4,由椭圆的定义可知,圆心P的轨迹是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其 方程为 =1(x-2).答案:=1(x-2)322xy4322xy43【易错提醒】(2)题易出现以下两点错误:一是将轨迹方程误认为轨迹,答案错误;二是忽略左顶点取不到.【母题变式】若
8、本例(2)中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”,则圆心P的轨迹方程为_.【解析】因为圆M与圆N相内切,设其切点为A,又因为动圆P与圆M、圆N都外切,所以动圆P的圆心在MN的连线上,且圆P经过点A,因此动点P的轨迹是射线AM的反向延长线(不含切点A),其方程为:y=0(x-2).答案:y=0(x-2)【技法点拨】定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的
9、变量x或y进行限制.【拓展提升高考模拟预测】1.已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()22222222xyxyA.1B.1169916xyxyC.1D.14334【解析】选C.由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知:|PF1|+|PF2|=4,故动点P的轨迹是以定点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,故其方程为 22xy1.432.(2017安康模拟)在ABC中,已知A(-4,0),B(4,0),且sinA-sinB=sinC,则顶点C的轨迹方程是()1222222222xyxyA
10、.1B.1 x2412412xyxyC.1D.1(y1)124124【解析】选B.因为sinA-sinB=sinC,由正弦定理得 a-b=c,即|CB|-|CA|=48=|AB|,由双曲线的定义可知:点C的轨 迹是以A,B为焦点的双曲线的左支(x轴上的点除外),且 a=2,c=4,所以b2=c2-a2=12,所以顶点C的轨迹方程为:=1(x-2).121222xy4123.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是_.【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线 AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|
11、OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨 迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为 =1(y0).答案:=1(y0)22xy4322xy434.(2017承德模拟)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_.世纪金榜导学号99972311【解析】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|
12、MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2|MC1|,故动圆圆心M的轨迹为以定 点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又 c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),则动圆圆心M的轨迹方程 为x2-=1(x-1).答案:x2-=1(x-1)2y82y8【加固训练】设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为()A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆【解析】选A.由题意知动点C满足:到定点(0,3)的距离比到定直线y=0的距离多1,故其到定点(0,3)与到定直线
13、y=-1的距离相等.所以点C的轨迹为抛物线.考向二 相关点(代入)求轨迹方程 提能互动【典例】(1)(2017合肥模拟)P是椭圆 =1上的 任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,则动点Q的轨迹方程是_.2222xyab12PF PF,(2)(2017武威模拟)设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴 上,且 当点P在y轴上运动时,点N的 轨迹方程为_.世纪金榜导学号99972312 MN2MP，PMPF，【解题指南】(1)先设Q点的坐标,再依据已知条件,用点Q的坐标来表示点P,利用点P在椭圆上即可得出轨迹方程.(2)设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),确定x,y之间的关
14、系即可.MN2MP，PMPF，【规范解答】(1)由 又 设Q(x,y),则 =,即P点坐标为 ,12OQ PF PF，12PF PF2PO2OP，11OPOQ(xy)22，xy22(，)xy22(，)又P在椭圆上,则有 答案:22222222xyxy2211.ab4a4b()()，即2222xy14a4b(2)设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),=(x0,-y0),=(1,-y0),所以(x0,-y0)(1,-y0)=0,所以x0+=0.由 得(x-x0,y)=2(-x0,y0),所以 即 PMPF，PMPF20yMN2MP000 xx2xy2y ，00 xx1yy2，所以-x+=
15、0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.答案:y2=4x 2y4【技法点拨】相关点法求轨迹方程的步骤(1)与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动.(2)寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y).(3)将x0,y0代入已知曲线方程.(4)整理关于x,y的关系式得M的轨迹方程.【拓展提升高考模拟预测】1.(2017南昌模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是()A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0【解析】选D.
16、设Q(x,y),则可得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得:2x-y+5=0.2.在平行四边形ABCD中,BAD=60,AD=2AB,若P是平 面ABCD内一点,且满足:=0(x,yR),则 当点P在以A为圆心,为半径的圆上时,实数x,y应 满足的关系式为()世纪金榜导学号99972313 xAByADPA3 BD3A.4x2+y2+2xy=1 B.4x2+y2-2xy=1 C.x2+4y2-2xy=1 D.x2+4y2+2xy=1【解析】选D.如图,以A为原点建立平面直角坐标系,设AD=2,据题意,得AB=1,ABD=90,BD=,所以B,D的坐标分别为(1,0),(1,),所以
17、=(1,0),=(1,),33ABAD3设P(m,n),则由 =0,得 ，所以 依题意,m2+n2=1,所以x2+4y2+2xy=1.xAByADPAAPxAByADmxyn3y，3.(2017宜春模拟)已知A(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,B是圆上的一点,则线段AB的中点P的轨迹方程为_.【解析】设AB的中点P为(x,y),B为(x0,y0).由于P为AB的中点,因此有 0000 x4x,x2x4,2y0y2y.y,2 即又因为点B在圆上,所以x02y02=36,所以(2x-4)2+(2y)2=36.化简得(x-2)2+y2=9.所以线段AB的中点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=9
18、.答案:(x-2)2+y2=9 4.如图,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足APB=90,则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为_.【解析】设AB的中点为R(x1,y1),连接OR,OA,在 RtARO中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-，又|AR|=|PR|=,有 2211(xy)2211x4y2222221111111x4y36(xy).xy4x10 0.即 因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动,设Q(x,y),由R为PQ中点,所以有 11x4yxy.22，代入方程 ，得 整理,得x2+y2=56.即点Q的轨迹方程为
19、x2+y2=56.答案:x2+y2=56 2211xy4x1 1022x4yx4()410 0.222(【加固训练】1.(2017兰州模拟)已知点O(0,0),A(1,2),动点P满足|=2,则点P的轨迹方程是()A.4x2+4y2-4x-8y+1=0 B.4x2+4y2-4x-8y-1=0 C.8x2+8y2+2x+4y-5=0 D.8x2+8y2-2x+4y-5=0 OP AP【解析】选A.设点P的坐标为(x,y),则 =(x,y),=(x-1,y-2),=(2x-1,2y-2).所以(2x-1)2+(2y-2)2=4,整理得4x2+4y2-4x-8y+1=0.OPAPOP AP2.(20
20、17郑州模拟)已知长为1+的线段AB的两个端 点A,B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且 则点P的轨迹C的方程为_.22APPB,2【解析】设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),又 =(x-x0,y),=(-x,y0-y),所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.因为|AB|=1+,即 =(1+)2,2APPB2，APPB22222(1)2222200 xy2所以 化简得 +y2=1.所以点P的轨迹方程为 +y2=1.答案:+y2=1 2222(1)x(12)y(12)2 ，2x22x22x2考向三 直接法求点的轨迹 高频考点微课【考情快递】【考题
21、例析】命题点1:已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)【微思考】由动点满足的关系式求轨迹方程的步骤是什么?【微提示】先设动点的坐标,然后将已知关系坐标化,最后化简并注明范围.【典例】(2017咸阳模拟)动点P与两定点A(a,0),B(-a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点P的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线.世纪金榜导学号99972314【解题指南】可依据连线的斜率乘积为k,直接得出点P的轨迹方程,通过分类讨论得出轨迹曲线.【规范解答】设点P(x,y),则 由题意得 =k,即kx2-y2=ka2.所以点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2(xa).(*)(1)当k=0时,(*)式即y=0,点
22、P的轨迹是直线AB(除去A,B两点).APBPyykk.xaxa，yyxa xa(2)当k0时,(*)式即 =1,若k0,点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A,B两点).若k0,(*)式可化为 =1.2222xyaka2222xyaka当-1k0时,点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A,B两点);当k=-1时,(*)式即x2+y2=a2,点P的轨迹是以原点为圆心,|a|为半径的圆(除去A,B两点);当k0).当动圆在y轴左侧时,其圆心在x轴的负半轴上,其方程为y=0(x0)或y=0(x0且 1时,是 椭圆的轨迹方程;当 0),则点P的轨迹是 _.世纪金榜导学号99972315 9a【解析
23、】因为 当a=3时,a+=6,此时|PF1|+|PF2|=|F1F2|,P点的轨迹为线段F1F2;当a3,a0 时,|PF1|+|PF2|F1F2|.由椭圆定义知P点的轨迹为椭 圆.答案:椭圆或线段 99a2 a6.aa9a【加固训练】1.已知|AB|=2,动点P满足|PA|=2|PB|,求动点P的轨迹方程.【解析】如图所示,以AB的中点O为原点,直线AB为x轴 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设P(x,y),因为|PA|=2|PB|,所以 2222x 1y2x 1y，整理得x2+y2-x+1=0,即 所以动点P的轨迹方程为 10322516(x)y.39 225
24、16(x)y.39 2.(2017沧州模拟)如图所示,A(m,m)和B(n,-n)两点分别在射线OS,OT(点S,T分别在第一、四象 限)上移动,且 O为坐标原点,动点P满足 (1)求mn的值.(2)求动点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?1OA OB2，33OP OA OB.【解析】(1)因为 =(m,m)(n,-n)=-2mn=-,所以mn=.(2)设P(x,y)(x0),由 得(x,y)=(m,m)+(n,-n)=(m+n,m-n).OA OB331214OP OA OB,3333所以 整理得x2-=4mn,又mn=,所以P点的轨迹方程为x2-=1(x0).它表示 以原点为中心,焦点在x轴上,实轴长为2,焦距为4的双 曲线x2-=1的右支.xmny3m3n，2y3142y32y3