1、第五节 数列的综合应用 考向一 等差数列与等比数列的综合问题 夯基练透【技法点拨】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【基础保分题组】1.已知数列an是等差数列,
2、若a2+2,a4+4,a6+6构成等比数列,则数列an的公差d等于()A.1 B.-1 C.2 D.-2【解析】选B.因为a2+2,a4+4,a6+6构成等比数列,所以(a4+4)2=(a2+2)(a6+6),化简得d2+2d+1=0,所以d=-1.2.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于_.【解析】每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等 比数列,其前n项和Sn=2n+1-2.由2n+1-2100,得2n+1102,由于26=64,27=128,则n+17,即 n6.答案:6 nn1a 1 q2 1 21 q1
3、 23.已知数列an的首项a1=,an+1=,nN*.世纪金榜导学号99972172(1)求证:数列 为等比数列.(2)记Sn=,若Sn100,求最大正整数n.35nn3a2a1n11a12n111aaa【解析】(1)由an+1=可得 所以 又因为 -1=0,所以 -10(nN*).所以数列 为首项为 ,公比为 的等比数列.nn3a2a1n 1n121a33a，n 1nn1111 11(1).a3a33 a 11a23n1an11a2313(2)由(1)可得 若Sn100,则n+1-0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值
4、等于 世纪金榜导学号99972173()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选D.由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,所以a+b=p0,ab=q0,故a,b均为正数.因为a,b,-2适当排序后成等比数列,所以-2是a,b的等比中项,所以ab=4,所以q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a0,所以a=1,此时b=4,2ab2,ab4,所以p=a+b=5,所以p+q=9.当b0.当n1时,=2d.所以数列bn是首项为 ,公比为2d的等比数列.na2n1naan 1nb2b 1a2(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln2)(
5、x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anbn2=n4n.2a22a21ln 21ln 21ln 2于是Sn=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n,4Sn=142+243+(n-1)4n+n4n+1.因此Sn-4Sn=4+42+4n-n4n+1=-n4n+1=所以Sn=n 1443 n 11 3n 44.3n 141 3n 4.9命题点2:数列与不等式的交汇【微思考】不等式的证明问题常用哪些方法?【微提示】常使用比较法、综合法、分析法、放缩法等.【典例】(2016天津高考)已知an是各项均为正数 的等
6、差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等 比中项.世纪金榜导学号99972177(1)设cn=,nN*,求证:数列cn是等差数列.(2)设a1=d,Tn=(-1)k ,nN*,求证:22n 1nbb 2nk 1n2k 1k11.T2d2kb【解题指南】(1)利用等差数列的定义求证.(2)利用bn是an和an+1的等比中项化简并得出Tn的通项公式,然后利用裂项法求证结论.【规范解答】(1)cn=an+1an+2-anan+1=2dan+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2为定值.所以数列cn是等差数列.22n 1nbb(2)Tn=(-1)k =c1+c3+c2n-1=n
7、c1+4d2=nc1+2d2n(n-1)(*).由已知c1=a2a3-a1a2=2da2=2d(a1+d)=4d2,将c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1),2nk 12kbn n 122221bb所以 nn22k 1k 1k111111111(1)T2dk k 12d223nn 122111(1).2dn 12d，得证【技法点拨】1.数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.(3)注意数列与函数的内在联系,灵活运用
8、函数的思想方法求解.(4)遇到递推数列,利用递推数列的常见解法解决该类问题.2.数列中不等式的证明问题 数列型不等式的证明常用到“放缩法”,一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”,如等比数列,可裂项相消求和的数列等;二是求和后比较中的“放缩”.放缩法,常见的放缩技巧有:222111111().kk12 k 1k 1111112.kk 1kk 1k13 2(n 1n)2nn 1.n【拓展提升高考模拟预测】1.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24 B.32 C.48 D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2
9、n,所以an+1an+2=2n+1,两式相除,得 =2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.n 2naa2.(2017南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)=ax(0a1),且f(1)+f(-1)=,若数列f(n)(nN*)的前n项和等于 则n等于()A.4 B.5 C.6 D.7 523132，【解析】选B.由f(1)+f(-1)=,得a+a-1=,即a+=.解得a=2(舍去)或a=,则数列f(n)是首项为 f(1)=,公比q=的等比
10、数列,其前n项和为Sn,所以 由 得 解得n=5.52521a52121212nnnn11()f 1 1 q112S1()11 q2212（），n1311()232，n11()232，3.(2017上饶模拟)已知数列an的通项公式为an=25-n,数列bn的通项公式为bn=n+k,设cn=若在数列cn中,c5cn对任意nN*恒成立,则实数k的 取值范围是_.nnnnnnb,ab,a,ab,【解析】cn是取an和bn中的最大值,据题意c5是数列cn的最小项,由于函数y=25-n是减函数,函数y=n+k是增函数,所以b5a5b6或a5b5a4,即5+k25-56+k或25-55+k25-4,解得-
11、5k-4或-4k-3,所以-5k-3.答案:-5,-3 4.已知等差数列an的公差d0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.世纪金榜导学号99972178(1)求数列an的通项公式.(2)若数列 的前n项和为Tn,求证:n1Sn13T.68【解析】(1)由已知及等差数列的性质得S5=5a3,所以 a3=14,又因为a2,a7,a22成等比数列,所以a72=a2a22.即(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)且d0,解得a1=d,所以a1=6,d=4.故数列an的通项公式为an=4n+2,nN*.32(2)由(1)得Sn=2n2+4n,所以Tn=又因为TnT
12、1=所以 1nn aa22n111 11()S2n4n4 nn2，1111113111(1)().4324nn284 n 1n231 111()84 236，n13T.68【加固训练】1.(2017黄冈模拟)已知等比数列an的首项a1=2014,公比为q=,记bn=a1a2a3an,则bn达到最大值时,n的值 为()A.10 B.11 C.12 D.不存在 12【解析】选B.由题意,因为an=2014 是一个单调 递减的正项数列,所以bn达到最大值时an1且n取得最 大值,即2014 1,解得n11,所以bn达到最大 值时,n的值为11.n 11()2n 11()22.(2017吉林模拟)已知
13、函数f(x)=若数列an满足an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是_.x 63 a x3(x7)a(x7),，【解析】根据题意,an=f(n)=要使an是递增数列,必有 所以2a0,其前n项和为Sn,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成 等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足an+1=,Tn为数列bn的前n项 和,若Tnm恒成立,求m的最大值.n na b1()2【解析】(1)由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),即2(a1+a2+2a3)=(a1+a1)+(a1+2a2),即4a3=a1,所以q2=,因为q0,所以q=,因为a1=1,所以an=,nN*.n 11()21214(2)因为an+1=,所以 所以bn=n2n-1,所以Tn=11+22+322+n2n-1,所以2Tn=12+222+323+n2n,所以-得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=-n2n=(1-n)2n-1,n na b1()2n na bn11()()22，n1 21 2所以Tn=1+(n-1)2n.因为Tnm恒成立,只需(Tn)minm.因为Tn+1-Tn=n2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n0,所以数列Tn为递增数列,故当n=1时,(Tn)min=1,所以m1,所以m的最大值为1.