1、第三节 等比数列【教材知识精梳理】1.等比数列的有关概念(1)定义:文字语言:从_起,每一项与它的前一项的_都 等于_一个常数.符号语言:_(nN*,q为非零常数).第2项 比 同 n 1naqa(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么_叫做a与b 的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数 列G2=_.G ab 2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=_.(2)前n项和公式:Sn=a1qn-1 _q1_q1.，na1 n1a 1 q1 q1naa q1 q3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:an=amqn-m(m,nN*).(2)对任意的正整数m,n,p,q,若m+
2、n=p+q,则_=_.特别地,若m+n=2p,则_.aman apaq aman=ap2(3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等 比数列,即(S2m-Sm)2=_(mN*,公比q-1).(4)数列an是等比数列,则数列pan(p0,p是常数)也是_数列.Sm(S3m-S2m)等比(5)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个 等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比 为_.qk【教材拓展微思考】1.将一个等比数列的各项取倒数,所得的数列还是一个等比数列吗?若是,这两个等比数列的公比有何关系?提示:仍然是一个等比数列,这两个数列的
3、公比互为倒数.2.任意两个实数都有等比中项吗?提示:不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.3.“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?提示:必要不充分条件.因为b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.【教材母题巧变式】题号1234源自 P23例2 P24例3 P31T3 P27例5(1)1.已知等比数列an中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 公式an=.【解析】设等比数列an的公比为q,则,得q7=128,即q=2,把q=2代入,得a1=,所以 数列an的通项公式为an=a1qn-1=2n-1=32
4、n-3.答案:32n-3 2319101aa q3,aa q384,34342.在数列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN+,则数列an的通项公式an=_.【解析】由an+1=4an-3n+1得an+1-(n+1)=4(an-n),nN+,又a1-1=10,所以an-n0,所以 =4,所以数列an-n是首项为1,公比为4的等比数列,所以an-n=4n-1,所以an=4n-1+n.答案:4n-1+n n 1nan 1an 3.设等比数列an的前n项和为Sn,若 ,则=.63S1S293SS【解析】S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则(S6-S3)2=S3(S9-S6),由 知
5、S6=S3,则 所以S9=S3,所以 答案:63S1S293S3.S4122339311SS(SS)42，34344.设an是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列an的前7项和为 .【解析】设等比数列an的公比为q(q0),由a5=a1q4=16,a1=1,得16=q4,解得q=2,所以S7=127.答案:127 771a(1 q)1(1 2)1 q1 2考向一 等比数列的性质及基本量的计算 夯基练透【技法点拨】解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
6、(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公 比q的分类讨论,当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1 时,an的前n项和Sn=n1a(1 q).1 q【基础保分题组】1.已知数列an满足3an+1+an=0,a2=-,则an的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)4319【解析】选C.由已知得 则数列an是公比为-的等比数列,因为a2=-,所以a1=4,则数列an前10项的和S10=3(1-3-10).n 1na1,a3 134310141()311()3 2.设数列an是等比数列,前n项和为Sn,若S3=3a3
7、,则公比q=.【解析】当q1时,=3a1q2,解得q=1(舍去)或-.当q=1时,S3=a1+a2+a3=3a3也成立.答案:1或-31a 1 q1 q12123.若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2 ,c=5-2 ,则b=.【解析】因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac=(5+2 )(5-2 )=1.又b0,所以b=1.答案:1 6666【拓展提升高考模拟预测】4.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21 B.42 C.63 D.84【解析】选B.设等比数列的公比为q,因为a1=3,a1+a3+a5=21,所以3+3q2+3q4=21
8、.所以1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去).所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=221=42.5.(2017九江模拟)已知实数a,b,c成等比数列,函数y=(x-2)ex的极小值为b,则ac等于_.世纪金榜导学号99972160【解析】因为实数a,b,c成等比数列,所以b2=ac,因为函数y=(x-2)ex,所以y=(x-1)ex,令y0,解得:x1,令y0,解得:x0),因为a2=1,a8=a6+2a4,所以a2q6=a2q4+2a2q2.又an0,所以q4-q2-2=0,解得q2=2(负值舍去),故a6=a2q4=122=4.3.(2017长治模拟)已知等比数列
9、an为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列an的通项公式an=.【解析】设公比为q,由a52=a10得(a1q4)2=a1q9,即a1=q.又由2(an+an+2)=5an+1,得2q2-5q+2=0,解得q=2 ,所以an=a1qn-1=2n.答案:2n 1(q)2舍考向二 等比数列的识别与证明 提能互动【典例】(1)(2014重庆高考)对任意等比数列,下列说法一定正确的是 ()A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列(2)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4
10、an+2(nN*),若bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列.世纪金榜导学号99972161【解题指南】(1)由an是等比数列,寻找各个选项中 三个项的基本关系即可识别.(2)利用等比数列的定义,证明 是一个与n无关的常 数即可.n 1nbb【规范解答】(1)选D.设等比数列的公比为q,则a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,满足(a1q5)2=a1q2a1q8,即a62=a3a9.(2)因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以 因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以数列bn是首项为3,公比
11、为2的等比数列.n 1n 2n 1n 1nn 1n 1nnn 1nn 1nn 1nba2a4a4a2a2a4a2.ba2aa2aa2a【母题变式】1.典例(2)条件不变,求an的通项公式.【解析】由(2)知bn=an+1-2an=32n-1,所以 故 是首项为 ,公差为 的等差数列.所以 所以an=(3n-1)2n-2.n 1nn 1naa3224 ，nna21234nna133n 1n 12244，2.在典例(2)中,若cn=,证明:cn为等比数列.【证明】由母题变式1知,an=(3n-1)2n-2,所以cn=2n-2.所以 =2.又c1=所以数列cn是首项为 ,公比为2的等比数列.na3n
12、 1n 1n 1n 2nc2c21a13 1 12，12【技法点拨】等比数列的判定方法(1)定义法:若 =q(q为非零常数)或 =q(q为非零 常数且n2),则an是等比数列.(2)中项公式法:若数列an中an0且 =anan+2(nN*),则数列an是等比数列.n 1naann 1aa(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均为不为0的常数,nN*),则an是等比数列.(4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列.提醒:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定
13、.(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.【拓展提升高考模拟预测】1.(2017南昌模拟)已知等比数列an满足a1=2,a1+a3+a5=14,则 =()135111aaa131377A.B.C.D.18984【解析】选C.因为a1=2,a1+a3+a5=14,所以q4+q2+1=7,q2=2,所以 4224413511111111 qq17(1).aaaaqq2q82.已知数列a1,是首项为1,公比为2的等比数列,则下列数中是数列an中的项的是()A.16 B.128 C.32 D.64 32n12n 1aaa,aaa，【解析】选D.an=a1 =1212
14、22n-1=21+2+n-1=,当n=4时,a4=26=64.32n12n 1aaaaaa n n 1223.(2017青岛模拟)已知数列an的首项为1,数列bn 为等比数列且bn=,若b10b11=2,则a21=_.世纪金榜导学号99972162 n 1naa【解析】因为b1=a2,b2=,所以a3=b2a2=b1b2,因为b3=,所以a4=b1b2b3,an=b1b2b3bn-1,所以a21=b1b2b3b20=(b10b11)10=210=1024.答案:1024 21aa32aa43aa【加固训练】1.(2017济南模拟)已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=4a52,a2=1,则
15、S4=()1515A.B.30 C.D.1522【解析】选A.因为等比数列an的公比为正数,且a3a9=4,a2=1,所以a62=4a52,即a6=2a5,a1q=1,解得q=2,a1=,则S4=1241(1 2)152.1 222.已知等比数列an各项都为正数,且a6为1+与7-的等差中项,则log2a3+log2a4+log2a5+log2a6+log2a7+log2a8+log2a9=()A.27 B.21 C.14 D.以上都不对 22【解析】选C.由题意得a6=4,log2a3+log2a4+log2a5+log2a6+log2a7+log2a8+log2a9=log2(a3a4a5
16、a6a7a8a9)=log2(a6)7=log247=14.12722 3.(2017汉中模拟)一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天它 飞出去找回3个伙伴;第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回 了3个伙伴,如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所 有的蜜蜂归巢后,蜂巢中一共有_只蜜蜂.【解析】由题意可知,蜜蜂个数成等比数列,其首项为 a1=4,公比q=4,其第六项为a6=a1q5=445=46=4096.答案:4096 考向三 等比数列前n项和及性质的应用 高频考点微课【考情快递】命题点命题视角1.等比数列的前n项和在具体情境中得出等比数列的首项和公比,求数列的前n项和,或利用数列的前n项和求其他量2.等比数
17、列的性质综合应用主要考查等比数列的基本性质【考题例析】命题点1:等比数列的前n项和【微思考】等比数列的前n项和公式中含有哪些基本量?能解决哪些问题?【微提示】等比数列的前n项和公式包含的基本量有Sn,n,a1,q,an,可以知三求二.【典例】(2017唐山模拟)在各项均为正数的等比数列an中,已知a2a4=16,a6=32,记bn=an+an+1,则数列bn的前5项和S5为_.【解题指南】首先求出数列an的通项公式,然后得出数列bn的通项公式,求S5.【规范解答】设数列an的公比为q,由a32=a2a4=16 得,a3=4,即a1q2=4,又a6=a1q5=32,解得a1=1,q=2,所以 a
18、n=a1qn-1=2n-1,bn=an+an+1=2n-1+2n=32n-1,所以数列bn 是首项为3,公比为2的等比数列,所以S5=93.答案:93 53(1 2)1 2命题点2:等比数列的性质综合应用【微思考】等比数列中,若q-1且m不是偶数,则Sm,S2m,S3m,之间有什么关系?【微提示】Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,构成等比数列.【典例】(2017大同模拟)设等比数列an中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于 世纪金榜导学号99972163()115755A.B.C.D.8888【解题指南】利用S3,S6-S3,S9-S6构成等比数列求解.【规范解答
19、】选A.因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=.所以a7+a8+a9=.1818【一题多解】选A.S3=解得q3=1(不合题意,舍去)或q3=-.则a7+a8+a9=q3(S6-S3)=.36116a 1 qa 1 q,S1 q1 q6633S1 q7.S1 q81818【技法点拨】1.等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类:通项公式的变形;等比中项的变形;前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.与等比数列前n项和Sn
20、相关的结论(1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列an中,公比为q.若共有2n项,则S偶S奇=q;若共有2n+1项,则S奇-S偶=(q1且q-1).(2)分段求和:Sn+m=Sn+qnSmqn=(q为公比).12n 1aaq1 qn mnmSSS 提醒:在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.【拓展提升高考模拟预测】1.已知数列an为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为 ()A.10 B.20 C.100 D.200【解析】选C.a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=a4
21、+2a4a6+a62=(a4+a6)2=102=100.2.(2017伊春模拟)已知Sn是等比数列an的前n项和,若存在mN*,满足 则数列an的公 比为 世纪金榜导学号99972164()A.-2 B.2 C.-3 D.3 2m2mmmSa5m 19Sam 1，【解析】选B.设公比为q,若q=1,则 =2,与题中条件 矛盾,故q1.因为 =qm+1=9,所以qm=8.所以 所以m=3,所以q3=8,所以q=2.2mmSS2m12mmm1a 1 qS1 qSa 1 q1 q2m 1m2m1m 1m1aa q5m 1q8aa qm 1，3.(2017沈阳模拟)在等比数列an中,公比q=2,前99
22、项的和S99=30,则a3+a6+a9+a99=.世纪金榜导学号99972165【解析】因为S99=30,即a1(299-1)=30.又因为数列a3,a6,a9,a99也成等比数列且公比为8,所以a3+a6+a9+a99=答案:3399114a 1 84a 21412030.1 87771207【加固训练】1.已知等比数列an中,a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为()A.4 B.6 C.8 D.-9【解析】选A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a62+a6a10=a42+2a4a8+a82=(a4+a8)2,因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.2.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列an是一个“2016积数列”,且a11,则当其前n项的乘积取最大值时n的值为 .【解析】由题可知a1a2a3a2016=a2016,故a1a2a3a2015=1,由于an是各项均为正数的等比数列且a11,所以a1008=1,公比0q1且0a10091,故当数列an的前n项的乘积取最大值时n的值为1007或1008.答案:1007或1008