1、第三章 三角函数、解三角形第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S()：sin()_(2)S()：sin()_(3)C()：cos()_(4)C()：cos()_(5)T()：tan()_(6)T()：tan()_sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 2倍角公式(1)S2：sin 2_(2)C2：cos 2_(3)T2：tan 2_2sin cos cos2sin22cos2112sin2
2、2tan 1tan21和、差、倍公式的转化2公式的重要变形(1)降幂公式：cos21cos 22，sin21cos 22.(2)升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.(3)公式变形：tan tan tan()(1tan tan)(4)辅助角公式：asin xbcos xa2b2sin(x)其中sin ba2b2，cos aa2b2.四基自测1(基础点：构造和角公式)已知 sin3 1517，2，56，则 sin 的值为()A.817 B.15 3834C.158 334D158 334答案：D2(基础点：逆用公式)化简 cos 15cos 45cos 75sin 45的值为
3、()A.12B 32C12D 32答案：A3(基础点：倍角公式)若 sin 13，则 cos 2_答案：794(基础点：正切倍角公式)若 是第二象限角，且 sin()35，则 tan 2_答案：247考点一 两角和、差及倍角公式的直接应用挖掘 1 给值(角)求值/互动探究例 1(1)(2019高考全国卷)tan 255()A2 3 B2 3C2 3D2 3解析 tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301 331 332 3.故选 D.答案 D(2)(2018高考全国卷)已知 tan54 15，则 tan _解析 法一：t
4、an54tan4tan 11tan 15，解得 tan 32.法二：tan54 tan4tan tan（4）415111532.答案 32(3)已知 sin4 25，则 sin 2_解析 sin 2cos22 2sin24 1225211725.答案 1725(4)已知 f(x)2cos15x6.设，0，2，f553 65，f556 1617，求 cos()的值解析 由已知 f(x)2cos15x6.又因为 f553 65，所以 2cos15553 6 2cos2 65，所以 sin 35.又因为 f556 1617，所以 2cos15556 6 2cos 1617，所以 cos 817.又因
5、为，0，2，所以 cos 45，sin 1517，所以 cos()cos cos sin sin 45 8173515171385.挖掘 2 给值求角/互动探究例 2(1)(2020河南六市联考)已知 cos 17，cos()1314，若 02，则_解析 由 cos 17，02，得 sin 1cos211724 37，又 02，02，sin()1cos2（）1131423 314，由()得 cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12，(0，2)，3.答案 3(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_解析 tan t
6、an()tan（）tan 1tan（）tan 121711217130，(0，)，02.又tan 2 2tan 1tan22131132340，022，tan(2)1，tan 170，2，20，234.答案 34破题技法 1.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等2三角函数求值有三类(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式
7、的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角考点二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用挖掘 1 求值问题/互动探究例 1(1)计算sin 110sin 20cos2155sin2155的值为()A12 B.12C.32D 32解析 原式 sin 70sin 20cos225sin225c
8、os 20sin 20cos 5012sin 40sin 4012.答案 B(2)(2020辽宁省沈阳四校协作体联考)1cos 803sin 80_解析 1cos 803sin 80sin 80 3cos 80sin 80cos 802sin（8060）12sin 1602sin 2012sin 204.答案 4(3)(2020重庆市三诊)3tan 101sin 10_(用数字作答)解析 原式3sin 10cos 10 1sin 10 3sin 10cos 10sin 10cos 102sin（1030）12sin 202sin 2012sin 204.答案 4挖掘 2 化简问题/互动探究例
9、2(1)化简：2cos4x2cos2x122tan（4x）sin2（x4）_解析 原式2cos2x（cos2x1）122tan（4x）cos2（4x）4cos2xsin2x14sin（4x）cos（4x）1sin22x2sin（22x）cos22x2cos 2x12cos 2x.答案 12cos 2x(2)(2020湖南衡阳质检)已知 mtan（）tan（），若 sin 2()3sin 2，则 m()A.12B34C.32D2解析 设 A，B，则 2()AB，2AB，因为 sin 2()3sin 2，所以 sin(AB)3sin(AB)，即 sin AcosBcos Asin B3(sin A
10、cos Bcos Asin B)，即 2cos Asin Bsin Acos B，所以 tan A2tan B，所以 mtan Atan B2，故选 D.答案 D破题技法 1.将 tan()tan tan 1tan tan 整理变形为 tan tan tan()tan tan tan()，即 tan 60tan(2040)得出 tan 20tan 40后代入2(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)和差角公式变形：sin sin cos()cos cos，cos sin sin()sin cos，tan tan tan()(1tan tan)(3)倍角公式变形：降幂
11、公式拓展 1sin sin 2 cos 22，1cos 2cos2 2，1cos 2sin22.提醒：tan tan，tan tan(或 tan tan)，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题挖掘 3 创新归纳/互动探究例 3 已知：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101，tan 5 tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51，tan 20tan 30tan 30tan 40tan 40tan 201 成立由此得到一个由特殊到一般的推广此推广是什么？并证明解析 观察到：10206090，57
12、51090，20304090，猜想此推广为：若 90，且，都不为 k18090(kZ)，则 tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：因为 90，所以 90()，故tan tan 90 ()sin90（）cos90（）cos（）sin（）cos cos sin sin sin cos cos sin 1tan tan tan tan .所以 tan tan tan tan 1tan tan，即 tan tan tan tan tan tan 1.破题技法 归纳与猜想，主要考查逻辑推理的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳与类比，另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎