1、2017新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十五)(空间图形的有关计算)时间：60 分钟 总分：100 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分.每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若直线 l 的方向向量为 a(1，1，2)，平面 的法向量为 u(2，2，4)，则()A.l B.l C.l D.l 与 斜交B【解析】因为直线 l 的方向向量为 a(1，1，2)，平面 的法向量为 u(2，2，4)，a 与 b 共线，则说明了直线与平面垂直，选择 B.2.有 4 个命题：若 pxayb，则 p 与 a、b 共面；若 p 与 a、b 共面，则 p
2、xayb；若MP xMA yMB，则 P、M、A、B 共面；若 P、M、A、B 共面，则MP xMA yMB.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4B【解析】正确，中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立，正确，中若 M、A、B 共线，点 P 不在此直线上，则MP xMA yMB 不正确.3.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB2，E 为 PB的中点，cos DP，AE 33，若以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则点 E的坐标为()A.(1，0，1)B.(1，1，1)C.(2，1，1)D.(2，0，1
3、)B【解析】设 PDa，则 A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E1，1，a2，DP(0，0，a)，AE 1，1，a2，由 cosDP，AE 33，a22 a2a24 33，a2.E 的坐标为(1，1，1).4.在空间四边形 ABCD 中，AB CD AC DB AD BC()A.1B.0C.1 D.不确定B【解析】解法一：如图，在空间四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，BD，得三棱锥 ABCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，正四面体的对棱互相垂直，AB CD 0，AC DB 0，AD BC 0.AB CD AC DB AD BC 0.解法二：在解法一的图中，选取不
4、共面的向量AB，AC，AD 为基底，则 原 式 AB(AD AC)AC(AB AD)AD(AC AB)AB AD AB AC AC AB AC AD AD AC AD AB 0.5.如图，将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个120的二面角，点 C 到达点 C1，这时异面直线 AD与 BC1 所成角的余弦值是()A.34B.34C.34D.34A【解析】设正方形的边长为 1，AC 与 BD 交于点 O，当折成 120的二面角时，AC212222222 22 22 cos 12032.又AC1 AD DB BC1，|AC1|2|AD|2|DB|2|BC1|2 2 AD DB 2AD BC1
5、 2DB BC1 12121 2cos 1352 21cos 1352AD BC1 2AD BC1 2|AD|BC1|cos 2cos cos 34，选 A.6.如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，SD平面 ABCD，SD2，AD 2，则二面角 CASD 的余弦值为()A.15B.25C.65D.105D【解析】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz.则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，得SA(2，0，2)，SC(0，2，2).设平面 ACS 的一个法向量为 n(x，y，z)，则nSA0，nSC0，即 2x2z0，2y2
6、z0.取 z 2，得 n(2，2，2).易知平面 ASD 的一个法向量为DC(0，2，0).设二面角 CASD 的大小为，则 cos nDC|n|DC|105.即二面角 CASD 的余弦值为 105.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分，将各小题的结果填在题中横线上.)7.已知正方体 ABCDA1B1C1D1，P，M 为空间任意两点，如果有PM PB1 6AA1 7BA 4A1D1，那么 M 点一定在平面内.A1BCD1【解析】因为PM PB1 BA 6BA 6AA1 4A1D1，所以B1M BA 6BA1 4A1D1 B1A1 2BA14BD1，所以B1M B1A1 2
7、BA1 4BD1，所以A1M 2BA1 4BD1，故A1M，BA1，BD1 共面于平面 A1BCD1，即 M 点一定在平面 A1BCD1 内.8.在空间直角坐标系中，已知 A(2，2，0)，B(2，0，2)，C(1，1，2)，则坐标原点 O 到平面 ABC 的距离是_.29.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 P在线段 BD1 上.当APC 最大时，三棱锥 PABC 的体积为_.118【解析】以 B 为坐标原点，BA为 x 轴，BC 为 y 轴，BB1 为 z 轴建立空 间 直 角 坐 标 系(如 图)，设 BP BD1，可得 P(，)，再由cosAPC AP CP|AP|
8、CP|可求得当 13时，APC 最大，故 VPABC13121113 118.10.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角 B1DCC1 的大小为 60，则 AD 的长为_.2【解析】如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)设 ADa，则 D 点坐标为(1，0，a)，CD(1，0，a)，CB1(0，2，2)，设平面 B1CD 的一个法向量为m(x，y，z).则mCB1 0mCD 02y2z0 xaz0，令 z
9、1，得 m(a，1，1)，又平面 C1DC 的一个法向量为n(0，1，0)，则由 cos 60 mn|m|n|，得1a2212，即 a 2，故 AD 2.三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)11.(16 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.(1)证明：PB平面 AEC；(2)设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD3，求三棱锥 EACD 的体积.【解析】连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点，所以
10、 EOPB.因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.(2)因为 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直.如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP|为单位长，建立空间直角坐标系 Axyz，则 D0，3，0，E0，32，12，AE 0，32，12.设 B(m，0，0)(m0)，则 C(m，3，0)，AC(m，3，0).设 n1(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则n1AC 0，n1AE 0，即mx 3y0，32 y12z0，可取 n13m，1，3.又 n2(1，0，0)为平面 DAE 的
11、法向量，由题设易知|cosn1，n2|12，即334m212，解得 m32.因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 EACD 的高为12.三棱锥 EACD 的体积 V1312 3321238.12.(16分)在 三 棱 柱ABCA1B1C1 中，已知 ABACAA1 5，BC4，A1 在底面ABC 的射影是线段 BC 的中点O.(1)证明：在侧棱 AA1 上存在一点 E，使得 OE平面 BB1C1C，并求出 AE 的长；(2)求二面角 A1B1CC1 的余弦值.【解析】(1)连接 AO，在AOA1 中，作 OEAA1 于点 E，因为 AA1BB1，所以 OEBB1，因为 A1O平面 ABC，所
12、以 BC平面 AA1O，所以BCOE，所以 OE平面BB1C1C，又 AO AB2BO21，AA1 5，得 AEAO2AA1 55.(2)如图，分别以 OA，OB，OA1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2).由AE 15AA1，得点 E 的坐标是45，0，25，由(1)知 平 面 B1CC1 的 一 个 法 向 量 为 OE 45，0，25，设平面 A1B1C 的法向量是 n(x，y，z)，由nAB 0，nA1C 0得x2y0，yz0，可取 n(2，1，1)，所以 cosOE，n OE nOE n 301
13、0.13.(18 分)等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D、E分别是边 AB、AC 上的点，且满足ADDBCEEA12(如图1).将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使二面角A1DEB 为直二面角，连结 A1B、A1C(如图 2).(1)求证：A1D平面 BCED；(2)在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60？若存在，求出 PB 的长，若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为等边ABC 的边长为 3，且ADDBCEEA12，所以 AD1，AE2.在ADE 中，DAE60，由余弦定理得 DE 1222212cos 60 3.因为 AD2DE
14、2AE2,所以 ADDE.折叠后有 A1DDE，因为二面角 A1DEB 是直二面角，所以平面 A1DE平面 BCED，又平面 A1DE平面 BCEDDE，A1D平面 A1DE，A1DDE,所以 A1D平面 BCED.(2)解法 1：假设在线段 BC上存在点 P，使直线 PA1 与平面A1BD 所成的角为 60.如图，作 PHBD 于点 H，连结 A1H、A1P，由(1)有 A1D平面 BCED，而 PH平面 BCED,所以 A1DPH，又 A1DBDD,所以 PH平面 A1BD，所以PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角，设 PBx(0 x3)，则 BHx2，PH 32 x，在
15、RtPA1H 中，PA1H60，所以 A1H12x，在 RtA1DH 中，A1D1，DH212x，由 A1D2DH2A1H2,得 12212x 212x 2，解得 x52，满足 0 x3，符合题意.所以在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1 与平面A1BD 所成的角为 60，此时 PB52.解法 2：由(1)的证明，可知EDDB，A1D平面 BCED.以D 为坐标原点，以射线 DB、DE、DA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Dxyz.如图，设 PB2a(02a3),则 BHa，PH 3a，DH2a，所以 A1(0，0，1)，P(2a，3a，0)，E(0，3，0)，所以PA1(a2，3a，1)，因为 ED平面 A1BD,所以平面 A1BD 的一个法向量为DE(0，3，0)，因为直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60，所以 sin 60|PA1 DE|PA1|DE|，即3a4a24a5 3 32，解得 a54，即 PB2a52，满足 02a3，符合题意，所以在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60，此时PB52.