1、计时双基练十三变化率与导数、导数的计算A组基础必做1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)。答案C2如图，函数yf(x)的图像在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()A2 B6C2 D4解析由图可知，f(5)3，f(5)1，因此f(5)f(5)2。答案A3设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B.C2 D2解析y，y|x1，由条件知1，a1，故选A。答案A4下面四个图像中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的导函
2、数yf(x)的图像，则f(1)()A. BC. D或解析f(x)x22axa21，f(x)的图像开口向上，则排除。若f(x)的图像为，此时a0，f(1)；若f(x)的图像为，此时a210，又对称轴xa0，a1，f(1)。答案D5(2015保定调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()Ae BeC. D解析yln x的定义域为(0，)。设切点为(x0，y0)，则kf(x0)，切线方程为yy0(xx0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y01，则x0e，kf(x0)。答案C6已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)
3、f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 016(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4为周期的函数，f2 016(x)f4(x)sin xcos x，故选B。答案B7已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_。解析f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)
4、(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1。答案18在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_。解析yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为。由题意得解得则ab3。答案39(2015开封调研)若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_。解析f(x)x2axln x，f(x)xa。f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xa0有解，ax2(x0)。答案2，)10求下列函数的导数。(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)。解(1
5、)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x。(2)y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11。11已知函数f(x)x3x16。(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程。解(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上。f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13。切线的方程为y13(x2)(6)，即
6、y13x32。(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02。y0(2)3(2)1626，k3(2)2113。直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)。(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4。设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，解得x01。或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18。即y4x18或y4x14。B组培优演练1已知f(x)x2sin，则f(x)的图像是()解析解法一：f(x)x2sinx2cos x，故f(x)xs
7、in x，记g(x)f(x)，其定义域为R，且g(x)(x)sin(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，所以排除B、D两个选项。又当x时，gsin 10，故排除C，选A。解法二：同解法一排除B，D两个选项。g(x)cos x，显然当x时，g(x)0，g(x)在上单调递减，故排除C，选A。答案A2给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数。记f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(
8、x)xex解析由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f(x)的正负。对于A，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x，在x上，恒有f(x)0；对于B，f(x)2，f(x)，在x上，恒有f(x)0；对于C，f(x)3x22，f(x)6x，在x上，恒有f(x)0。答案D3若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与y
9、ax2x9相切可得a1，所以选A。答案A4设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120。(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解(1)方程7x4y120可化为yx3。当x2时，y。又f(x)a，于是解得故f(x)x。(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)。令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为。令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)。所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6。故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6。