1、2021-2022学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高二（上）期中数学试卷1. 直线l的方程是，则直线l的倾斜角为A. 1B. C. D. 2. 容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前6组频率之和为，则剩下4组的频率之和为A. B. C. 30D. 无法确定3. 已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则平面与平面的夹角为A. 或B. 或C. D. 4. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有A. 2个小球不全为红色B. 2个小球恰有一个红色C. 2个小球至少有一个红色D. 2个小球不全为绿色5
2、. 过椭圆左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是A. B. C. D. 6. 已知直线过点，则A. B. C. D. 7. 正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为，AD，的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为A. B. 2C. D. 48. 点是直线上任意一点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点A. 和B. 和C. 和D. 和9. 某学校为了调查学生在放学后体育运动的情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中运动时间在分钟内的有72人，则下列说法正确的是A. 样本中放学后体育运动时间在分钟的频
3、率为B. 样本中放学后体育运动时间不少于40分钟的人数有132C. n的值为200D. 若该校有1000名学生，则必定有300人放学后体育运动时间在分钟10. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是A. l的倾斜角等于B. l在x轴上的截距等于C. l与直线平行D. l上存在与原点距离等于2的点11. 椭圆C的方程为，焦点为，则下列说法正确的是A. 椭圆C的焦距为3B. 椭圆C的长轴长为10C. 椭圆C的离心率为D. 椭圆C上存在点P，使得为直角12. 如图，已知正方体的棱长为2，点E，F在平面内，若，则下述结论正确的是A. 点E的轨迹是一个圆B. 点F的轨迹是一个圆C.
4、 的最小值为D. 直线DF与平面所成角的正弦值的最大值为13. 已知向量，则_.14. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_.15. 如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_.16. 如图，光线从出发，经过直线l：反射到，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且，则实数a的最小值是_.17. 已知直线l经过点若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程18. 已知两个定点，如果动点P满足求点P的轨迹方程；若直线l：在点P的轨迹与圆之
5、间通过，求实数b的取值范围19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作斜率不为零的直线交椭圆C于M，N两点求的周长；若，求弦长20. 在正四棱锥中，侧棱长为4，底面边长为，M，N，E分别为PA，BC，PB的中点证明：平面BDM；求点N到直线PD的距离21. 已知直三棱柱中，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，证明：；若D为中点，求平面与平面DFE的夹角的余弦值22. 已知椭圆的焦距为2，O为坐标原点，F为右焦点，点在椭圆上求椭圆的标准方程；若直线l的方程为，AB是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M为弦的中点，直线MO交l于点P，过点O与AB平行的直线交l于点Q，直线PF交直线OQ于点R，直线Q
6、F交直线MO于点证明：O，S，F，R四点共圆；记的面积为，的面积为，求的取值范围答案和解析1.【答案】D【解析】解：由直线方程，得其斜率，设其倾斜角为，则，故选：由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题2.【答案】B【解析】解：容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前6组频率之和为，则剩下4组的频率之和为故选：利用频率分布表的性质直接求解本题考查频率的运算，考查频率分布表的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.【答案】A【解析】解：设平面与平面的夹角为，因为向量分别是平面和平面的
7、法向量，所以，或，因为，所以，所以或故选：用法向量成角与二面角的关系判断本题考查了用法向量成角求二面角问题，属于基础题4.【答案】B【解析】解：不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，对于A，2个小球不全为红色与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故A错误；对于B，2个小球恰有一个红色与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立事件，故B正确；对于C，2个小不球至少有一个红色与事件“2个小球都为红色”有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，2个小球不全为绿色与事件“2个小球都为红色”有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误故选：利用互斥事件、对立事件的定义直接判断本
8、题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.【答案】A【解析】解：由题意得：，因为，所以，即，即，即，解得，故选：根据椭圆的几何特征得到，再由求解本题主要考查椭圆离心率的求解，属于基础题6.【答案】D【解析】解：点M是单位圆的点，直线和圆有公共点则，即故选：由题意可得，直线和圆有公共点，再由圆心到直线的距离小于等于半径求解本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，是基础题7.【答案】C【解析】解：取AB中点P，BC中点M，CD中点N，连结FP、EP、MN、MG、NH，由正方体的结构特征可得，则四边形MGHN为平面图形，又，平面MGHN，
9、平面MGHN，平面MGHN，平面MGHN，平面MGHN，平面MGHN，平面平面MGHN，过GH且与EF平行的平面截正方体所得截面为矩形MGHN，所求截面的面积为：故选：由已知画出图形，由正方体的结构特征及面面平行的性质找出截面，再由矩形面积公式求解本题考查正方体的结构特征吧，考查平面与平面平行的判定与性质，考查运算求解能力，是基础题8.【答案】D【解析】解：如图，过O作OM垂直直线于点M，则以OP为直径的圆经过定点O和M，OM的方程为，联立可得，即，故选：过O作OM垂直直线于点M，则以OP为直径的圆经过定点O和M，求得O，M的坐标即可本题考查了直线与圆的性质，考查了转化思想、运算能力，属于中档
10、题9.【答案】ABC【解析】解：对于选项A，样本中放学后体育运动时间在分钟的频率为，故正确；对于选项B，样本中放学后体育运动时间不少于40分钟的人数有，故正确；对于选项C，n的值为，故正确；对于选项D，若该校有1000名学生，则可预估有300人放学后体育运动时间在分钟，不是一定，故不正确；故选：由频率分布直方图的性质依次对4个选项检验即可本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题10.【答案】ACD【解析】解：直线l的一个方向向量为，直线l的斜率，故直线的倾斜角是，故A正确；又l经过点，则直线方程为：，即，故l和直线平行，故C正确；整理得：；令，解得：，l在x轴上的截距等于4，故B错误；原点到
11、l的距离，故l上存在与原点距离等于2的点，故D正确；故选：根据直线的方向向量求出直线的斜率，求出直线的倾斜角即可，根据点斜式方程求出l的方程，令，求出x的值，判断B，根据直线的平行关系判断C，根据点到直线的距离判断本题考查了直线的方向向量，考查直线方程以及直线的平行关系，截距的定义，点到直线的距离，是基础题11.【答案】BC【解析】解：由题意，椭圆的焦距为，A错误；椭圆的长轴长为，B正确；椭圆的离心率，C正确；当点P为上顶点或者下顶点时，最大，此时，又为锐角，可得，故，因此椭圆C上不存在点P，使得为直角，D错误故选：由椭圆方程，计算a，b，c，由焦距、长轴、离心率的定义可判断ABC，当点P为上
12、顶点或者下顶点时，最大，分析可判断本题主要考查椭圆的焦距，椭圆的离心率的求解，椭圆中的存在性问题等知识，属于中等题12.【答案】AC【解析】解：对于选项A：在正方体中，平面，平面，所以，故，则有，所以点E的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，故选项A正确；对于选项B：在正方体中，平面，因为，则平面，故F在上，所以F的轨迹是线段，故选项B错误；对于选项C：的最小值即为求线段上的点到以为圆心，1为半径的圆的最小距离，又圆心到线段的距离为，所以的最小值为，故选项C正确；对于选项D：建立如图所示的空间直角坐标系，因为点F的轨迹是线段，设，则，则，所以，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，故平面的一个法向
13、量为，设DF与平面所成的角为，则，当时，有最大值，故AE与平面所成角的正弦值的最大值为，故选项D错误故选：利用线面垂直的性质定理得到，利用勾股定理得到，由圆的定义即可判断选项A；利用线面垂直的性质定理即可判断选项B，转化成线段上的点到圆上点距离的最值进行分析求解，即可判断选项C，建立合适的空间直角坐标系，利用圆的参数方程设出点E的坐标，然后求出直线的方向向量和平面的法向量，然后利用线面角的求解公式求出线面角的正弦值的表达式，再利用三角函数求最值求解，即可判断选项本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面关系的判断和应用、动点轨迹的求解、线面角的求解、三角函数求最值问题，在求解空间角时，经常会选用
14、空间向量法进行研究，属于中档题13.【答案】2【解析】解：因为向量，所以，解得，所以向量，又，所以故答案为：由模的坐标运算可求出x的值，从而可得向量的坐标，再利用空间向量数量积的坐标运算即可求得结论本题主要考查空间向量数量的坐标运算，模的运算，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题14.【答案】【解析】【分析】本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题利用用分步计数原理可得全部情况个数16种；再根据古典概型可计算【解答】解：抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数考虑第一次抽到的数为4，则有3种情况满足题意；第一次抽到的数为3，则有2种情况满足题意；第一次抽到的数为2，则有1种情况满足题意；
15、满足题意的情况个数为：；全部情况个数：种；所以：；故答案为；15.【答案】【解析】解：已知方程可化为，它表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得故答案为：将方程化为椭圆椭圆的标准方程然后判断求解即可本题主要考查椭圆的标准方程及其应用，属于基础题16.【答案】10【解析】解：设P关于直线l的对称点，则可得直线l为线段的中垂线，则，解得：，即，可得，所以直线倍x轴反射的直线的斜率为，由题意可得，解得，因为，所以可得，即a的最小值为10，故答案为：设P关于直线l的对称点的坐标，由的中垂线为l，可得的横纵坐标与P的坐标的关系，求出直线的斜率，再由题意可得直线关于直线x轴对称的直线的斜率，由题意可得a，b的关系
16、，再由b的范围求出a的范围，进而求出a的最小值本题考查点关于线的对称点的坐标的求法及直线关于直线对称的直线的斜率的求法，属于基础题17.【答案】解：直线l经过点当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，原点到直线l的距离为2，符合条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则，解得，直线l的方程为，即综上，直线l的方程为或直线l在两坐标轴上的截距相等，当直线l在x轴上的截距时，直线l在x轴上的截距，此时直线l过点，直线方程为，即，当直线l在x轴上的截距时，直线l在x轴上的截距，设直线方程为，把代入得，解得，直线方程为，即综上，直线l的方程为或【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为；
17、当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由点到直线距离公式列方程求出k，由此能求出直线l的方程当直线l在x轴上的截距时，直线l在x轴上的截距，此时直线l过点，求出直线方程；当直线l在x轴上的截距时，直线l在x轴上的截距，设直线方程为，把代入求出直线方程，由此能求出直线l的方程本题考查直线方程的求法，考查点到直线距离公式、两点式方程、点斜式方程、截距式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18.【答案】解：设P的坐标，因为，动点P满足所以，整理可得：，即；由可得如图所示：点到直线的的距离，当直线l与圆相切时，解得，点到直线的距离，当直线l与圆相切时，即，解得：，综上所述：当直线l从两圆之间经
18、过时，b的范围为【解析】设P的坐标，由与的关系可得P的轨迹方程；分别求出两圆与直线l的相切时的b的值，进而求出直线l从两圆之间通过时b的范围本题考查求点的轨迹方程的方法及直线与圆相切的性质，属于中档题19.【答案】解：由椭圆的定义得：，所以的周长为由题意得，直线MN的倾斜角为或，不妨直线 MN 的方程为，与椭圆方程联立可得：，设，则有所以弦长【解析】利用椭圆的定义求解；不妨直线MN的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求解本题考查椭圆的定义，及椭圆中求弦长的问题，属于中档题20.【答案】证明：如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面DBM的，则，令，则，所以，而，所以，因为平面DBM，平面DB
19、M；解：，所以，所以，即点N到直线PD的距离为【解析】建立空间直角坐标系，求出平面DBM的法向量，即可得到，即可判断；利用空间向量法求出点到直线的距离本题主要考查空间向量及其应用，线面平行的证明，点线距离的计算等知识，属于中等题21.【答案】证明：直三棱柱所以，又因为，所以BA、BC、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，所以解：因为D为中点，令，因为，所以平面DEF的法向量为，平面的法向量为，因为平面DEF与平面平面夹角的为锐角，所以平面与平面DFE的夹角的余弦值为【解析】只要证明为即可；用向量数量积计算二角的余弦值本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档
20、题22.【答案】解：设椭圆的左焦点为F，由题意可知，根据定义，可求得，椭圆的标准方程为，证明：设，直线AB的斜率为k，则有作差得：，两边同除，可得：，即，所以直线MO的斜率为的方程为，所以，所以直线 PF 的斜率为，因为，所以，由可求得，所以直线QF的斜率为，因为，所以，综上，O，S，F，R四点共圆，OF为圆的一条直径；解：由可知，所以，由于直线PF的方程为，直线OP的方程为，由垂径定理可知，又因为，所以，综上，的取值范围为【解析】设椭圆的左焦点为，利用求解即可；设，直线AB的斜率为k，由点差法可得直线MO的斜率为，然后根据斜率可证明，即可得证；由可知：，所以，然后可算出，然后，即可求得答案本题考查直线与椭圆的综合，考查学生的运算能力，属于难题
