1、提能专训(八)与数列交汇的综合问题一、选择题1(2013石家庄一模)已知等比数列an，且a4a8dx，则a6(a22a6a10)的值为()A2 B4C D9答案：A命题立意：本题考查等比数列的性质及定积分的运算，正确地利用定积分的几何意义求解积分值是解答本题的关键，难度中等解题思路：由于dx表示圆x2y24在第一象限内部分的面积，故dx22，即a4a8，又由等比数列的性质，得a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)22，故选A.2(东北三校二次联考)已知an是等差数列，Sn为其前n项和，若S21S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2 011，a2
2、 011)，则()A2 011 B2 011C0 D1答案：A命题立意：本题考查等差数列前n项和公式与性质及平面向量的坐标运算，难度中等解题思路：由已知S21S4 000a22a23a4 0003 979a2 0110，故有a2 0110，因此2 011ana2 0112 011，故选A.3以双曲线1的离心率为首项，以函数f(x)4x2的零点为公比的等比数列的前n项的和Sn()A3(2n1) B3C. D.答案：B命题立意：本题考查双曲线的离心率及函数的零点与等比数列前n项和公式的应用，难度较小解题思路：由双曲线方程易得e，函数零点为，故由公式可得Sn33，故选B.4等差数列an的前n项和为S
3、n，若a415，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为()A4 B.C4 D14答案：A命题立意：本题考查等差数列的性质、前n项和及直线斜率的坐标计算形式，难度较小解题思路：由题S555，故a1a522，根据等差数列的性质可知a1a52a322，故a311，因为a415，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为kPQ4，故选A.5(2013沈阳质检二)在等比数列an中，对于nN*都有an1a2n3n，则a1a2a6()A()11 B()13C35 D36答案：D命题立意：本题考查数列的递推公式、等比数列的性质及整体代换思想，考查考生的运算能力，难度中等解题思路：
4、由等比数列的性质可知，a1a2a3a4a5a6(a2a6)a4(a1a5)a3(a3)3(a4)3(a3a4)3，令n2，得a3a432，故选D.6(2013南昌二模)等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知(a81)32 013(a81)1，(a2 0061)32 013(a2 0061)1，则下列结论正确的是()Ad0，S2 0132 013 Bd0，S2 0132 013Cd0，S2 0132 013 Dd0，S2 0132 013答案：C命题立意：本题考查函数的性质单调性与奇偶性、等差数列的性质与前n项和公式，难度中等解题思路：记f(x)x32 013x，则函数f(x)是在R上的奇
5、函数与增函数；依题意有f(a81)f(a2 0061)1f(0)0，即f(a81)f(a2 0061)1，a81(a2 0061)，a810a2 0061即a8a2 006，d0；a8a2 0062，S2 0132 013，故选C.二、填空题7(2013西城区二模)在等差数列an中，a25，a1a412，则an_；设bn(nN*)，则数列bn的前n项和Sn_.答案：2n1命题立意：本题考查等差数列的通项公式与裂项相消法，难度中等解题思路：设等差数列an的公差为d，则有a2a35a312，a37，da3a22，ana2(n2)d2n1，bn，因此数列bn的前n项和Sn.8(2013高考原创卷)设
6、Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列cn是首项为2，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，则d_.答案：4解题思路：由题意可知，数列cn的前n项和为Sn，前2n项和为S2n，所以22，所以当d4时，4.9已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足ff(x)，f(2)3，数列an满足a11，且Sn2ann(其中Sn为an的前n项和)，则f(a5)f(a6)_.答案：3解题思路：因为Sn2ann，则Sn12an1n1，两式相减得an2an11，通过拼凑整理得an12(an11)，所以an1是等比数列，则an12n，因此an12n，所
7、以a531，a663.由ff(x)且函数f(x)是奇函数，用x代替x得到ff(x)f(x)，用x代替x得到f(3x)f(x)，所以函数f(x)为周期为3，则f(a5)f(a6)f(31)f(63)f(1)f(0)f(2)0f(2)3.10(2013齐鲁高三名校联考)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成递减的等差数列若A2C，则的值为_答案：命题立意：本题主要考查等差数列、正弦定理、余弦定理与三角函数基本公式解题思路是依据题意得出a，b，c之间的关系，再结合正弦定理、余弦定理及A2C，从而得出a，c之间的关系解题思路：依题意知b，2cos C2，即，所以a2c，即(2
8、a3c)(ac)0，又由ac，因此有2a3c，故.三、解答题11已知函数f(x)x2bx为偶函数，数列an满足an12f(an1)1，且a13，an1.(1)设bnlog2(an1)，求证：数列bn1为等比数列；(2)设cnnbn，求数列cn的前n项和Sn.命题立意：本题主要考查函数的性质，数列的通项公式和前n项和公式等知识解题时，首先根据二次函数的奇偶性求出b值，确定数列通项的递推关系式，然后由等比数列的定义证明数列bn1为等比数列，这样就求出数列bn的通项公式，进一步就会求出数列cn的通项公式，从而确定数列cn的前n项和Sn的计算方法解析：(1)证明： 函数f(x)x2bx为偶函数， b0
9、， f(x)x2， an12f(an1)12(an1)21， an112(an1)2.又a13，an1，bnlog2(an1)， b1log2(a11)1， 2， 数列bn1是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)，得bn12n， bn2n1， cnnbnn2nn.设An12222323n2n，则2An122223324n2n1， An222232nn2n1n2n12n1n2n12， An(n1)2n12.设Bn1234n，则Bn， SnAnBn(n1)2n12.12(2013东北师大附中三模)函数f(x)对任意xR都有f(x)f(1x)1.(1)求f的值；(2)数列an满足：anf(0)
10、ffff(1)，求an；(3)令bn，Tnbbb，Sn8，试比较Tn与Sn的大小解析：(1)令x，则有ffff1. f.(2)令x，得ff1，即ff1. anf(0)ffff(1)， anf(1)ffff(0)两式相加，得2anf(0)f(1)f(1)f(0)n1， an，nN*.(3)bn，当n1时，TnSn；当n2时， Tnbbb44448Sn.综上，TnSn.13(2013山东滨州一模)某产品在不做广告宣传且每千克获得a元的前提下，可卖出b千克若做广告宣传，广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n1)千元时多卖出千克(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量s；(2)试写出销售
11、量s与n的函数关系式；(3)当a50，b200时，要使厂家获利最大，销售量s和广告费n分别应为多少？解析：(1)当广告费为1千元时，销售量sb.当广告费为2千元时，销售量sb.(2)设Sn(nN)表示广告费为n千元时的销售量，由题意得，s1s0，s2s1，snsn1.以上n个等式相加得，sns0.即ssnb.b.(3)当a50，b200时，设获利为Tn，则有Tnsa1 000n10 0001 000n1 000，设bn20n，则bn1bn20n120n1.当n2时，bn1bn0；当n3时，bn1bn0.所以当n3时，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此时s375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为375千克和3千元