1、第四节 相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验 【教材知识精梳理】1.相关性(1)散点图:在考虑两个量的关系时,为了对_之间 的关系有一个大致的了解,人们通常将_的点 描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这 种图为变量之间的散点图.变量 变量所对应(2)曲线拟合:从散点图上可以看出,如果变量之间_ _,这些点会有一个_的大致趋势,这种趋 势通常可以用一条_来近似,这种近似的过程 称为曲线拟合.存在 着某种关系 集中 光滑的曲线(3)线性相关:若两个变量x和y的散点图中,所有点看上 去都在_附近波动,则称变量间是线性相关的.此时,我们可以用_来近似.(4)非线性相关:若散点图上所有
2、点看上去都在_ _附近波动,则称此相关为非线性相 关.此时,可以用_来拟合.一条直线 一条直线 某条曲 线(不是一条直线)一条曲线(5)不相关:如果所有的点在散点图中_ _,则称变量间是不相关的.没有显示任何 关系 2.线性回归方程与相关系数(1)最小二乘法:如果有n个点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),可以用下面 的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度:_ _.使得上式 y1-(a+bx1)2+y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2 达到_的直线y=a+bx就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.最小值(2)线性回归方程:假设样本点为(x1,y1),(x
3、2,y2),(xn,yn),用 表示 用 表示 ,则 直线方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方 程的_.x12nxxx,ny12nyyyn1 122nn222212nx yx yx ynxyb,ay bx.xxxnx系数 3.独立性检验(1)22列联表:设A,B为两个变量,每一个变量都可以取两个值,变量 A:A1,A2=;变量B:B1,B2=,通过观察得到如表所 示的数据:1A1B B AB1B2总计A1aba+bA2cdc+d总计a+cb+dn=a+b+c+d(2)独立性判断方法:选取统计量_,用它的大小 来检验变量之间是否独立.当 2_时,没有充分的证据判定变量A,B有关
4、联,可以认为变量A,B是没有关联的;2.706 22n adbcab cdac bd 当 2_时,有90%的把握判定变量A,B有关联;当 2_时,有95%的把握判定变量A,B有关联;当 2_时,有99%的把握判定变量A,B有关联.2.706 3.841 6.635 特别提醒:回归分析的关注点(1)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实 质上回归直线必过(,)点,可能所有的样本数据点 都不在直线上.(2)利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为是 准确值,而实质上是预测值(期望值).yx【教材拓展微思考】1.“相关关系与函数关系”有什么区别?提示:函数关系是一种确定性关系,体现的是因果关
5、系;而相关关系是一种非确定性关系,体现的不一定是因果关系,可能是伴随关系.2.独立性检验所得的结果一定准确吗?提示:独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个结论,因此才出现了临界值表,在分析问题时一定要注意这点,不可对某个问题下确定性结论,否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.3.线性回归方程是否都有实际意义?根据回归方程进行预报是否一定准确?提示:(1)不一定都有实际意义.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.(2)根据回归方程进行预报,
6、仅是一个预报值,而不是真实发生的值.【教材母题巧变式】题号1234源自P73例 P93练习 P56例1 P91练习1.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,所得数据如下表:x681012y2356则y对x的线性回归方程为()A.y=2.3x-0.7 B.y=2.3x+0.7 C.y=0.7x-2.3 D.y=0.7x+2.3(相关公式:)niii 1n22ii 1x ynxyb,aybxxnx【解析】选C.因为 xiyi=62+83+105+126=158,所以b=0.7,a=4-0.79=-2.3.故线性回归方程为y=0.7x-2.3.ni 16 8 10 12x94 ，2
7、3 5 6y4.4 158 4 9 436 64 100 144 4 81 2.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关 系,现随机抽取50名学生,得到如下22列联表:根据表中数据,得到 2=4.844.则认为选修文科与性别有关系的把握为_.理科文科男1310女720250(13 20 10 7)23 27 20 30【解析】24.8443.841,所以有95%的把握认为“是否选修文科与性别之间有关系”.答案:95%3.已知x,y之间的一组数据如下表 试根据最小二乘法求得的线性回归方程,预测当x=7时,y的值为_.x23456y34689【解析】由题意知 所以 所以 所以线性回归方程为y=
8、当x=7时,y=.答案:x4,y6,5iii 152ii 1xxyy8b,5xx2ay bx,5 82x,555455454.为了解高中生是否喜欢电子竞技项目,随机调查了110名性别不同的高中生,得到如下的列联表:是否喜欢 性别 喜欢不喜欢男4020女2030则可以有_的把握认为是否喜欢电子竞技项目与性别有关.【解析】由2=得2=7.86.635,2n adbcab cdac bd2110(40 30 20 20)60 50 60 50所以有99%的把握认为是否喜欢电子竞技项目与性别有关.答案:99%考向一 相关关系的判断 夯基练透【技法点拨】判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图:点的
9、分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角,两个变量负相关.(2)相关系数:r0时,正相关;r0时,正相关;b6.635,所以能有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.2308 12812 18 20 10【母题变式】1.若本例中条件不变,能否说有99%的亲属的饮食习惯与年龄有关?【解析】这种说法不正确.能有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,是这个论断成立的可能性大小的结论,与是否有“99%的亲属的饮食习惯与年龄有关”无关.2.若本例中条件不变,求认为其亲属的饮食习惯与年龄 有关出错的可能性为多少.【解析】因为 2=106.635,所以认为 其亲属的饮食习惯
10、与年龄有关出错的可能性为1%.2308 12812 18 20 10【技法点拨】独立性检验问题的常见类型及解题策略(1)已知分类变量的数据,判断两类变量的相关性.可依据数据及公式计算 2,然后作出判断.(2)已知某些数据,求分类变量的部分数据依据已知条件列表即可求出.(3)已知 2的值,判断几种命题的正确性.可由临界值,分别作出判断,然后再得出结论.提醒:应用独立性检验方法解决问题,要特别注意计算 2时计算量大,小心出错.【拓展提升高考模拟预测】1.(2017黄山模拟)下列四个命题中,正确的是()A.人的年龄与其拥有的财富之间具有相关关系 B.从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠
11、癌有关系时,我们说某一个人吃地沟油,那么他有99%的可能患胃肠癌 C.若从统计量中求出有95%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系,是指有5%的可能性使得判断出现错误 D.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病【解析】选C.对于A,人的年龄与其拥有的财富之间不具有相关关系;根据独立性检验的意义,可知B错误,C正确;对于D,有99%的把握认为有关系,而不是吸烟者患肺癌的可能性为99%.2.(2017抚州模拟)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系,运用22列联表进行独立性检验,经计算 27.069,则所
12、得到的统计学结论是:有_的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”.()A.5%B.1%C.99%D.95%【解析】选C.因为 27.0696.635,所以得到的统计学结论是:有99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”.3.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用22列联表计算得 2 3.918.则下列结论中,正确结论的序号是_.世纪金榜导学号99972349 有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能
13、性得感冒;这种血清预防感冒的有效率为95%;这种血清预防感冒的有效率为5%.【解析】23.9183.841,所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;但检验的是假设是否成立,与该血清预防感冒的有效率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆,正确结论为.答案:【加固训练】有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果:冷漠不冷漠总计多看电视6842110少看电视203858总计8880168则认为多看电视与人冷漠有关系的把握是()A.1%B.99%C.5%D.95%【解析】选B.可计算得 2=11.3776.635,因此有99%的把握认为多看电视与 人冷漠有关
14、.2168(68 38 20 42)110 58 88 80考向三 线性回归方程【典例】(2016全国卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.世纪金榜导学号99972350 注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明.(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:参考公式:相关系数 7772iiiii 1i 1i 1y9.32t y40.17yy0.5572.646.，（），niii 1nn22iii 1i 1t
15、tyyrttyy回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:niii 1n2ii 1ttyybaybt.tt（），【解题指南】(1)利用公式求出相关系数r.(2)利用公 式得出 求出线性回归方程加以预测.a,b【规范解答】(1)由折线图中的数据和附注中参考数 据得 77722iiiii 1i 1i 177iiii 1i 1t4,(tt)28,(yy)0.55.(tt)(yy)t yty40.174 9.322.89,2.89r0.99.0.55 2 2.646 所以因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由
16、 1.331及(1)得 0.1030.10,1.331-0.10340.92.所以,y关于t的回归方程为y=0.92+0.10t.将2016年对应的t=9代入回归方程得:9.32y77iii 172ii 1(tt)(yy)2.89b28(tt)ay bt y=0.92+0.109=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.【技法点拨】处理线性回归方程的关注点(1)正确理解计算b,a的公式和准确的计算是求线性回 归方程的关键.(2)线性回归方程y=bx+a必过点 x,y.(3)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具
17、有线性相关关系,则可通过线性回归方程来估计和预测.【拓展提升高考模拟预测】1.(2017赣州模拟)对于下列表格所示五个散点,已知求得的线性回归方程为y=0.8x-155,则实数m的值为()x196197200203204y1367mA.8 B.8.2 C.8.4 D.8.5【解析】选A.=200,将点 代入y=0.8x-155,可得m=8.196 197200 203 204x51 3 6 7m17my.55 17m200,5()2.工人月工资y(元)依劳动产值x(千元)变化的线性回归方程为y=60+90 x,下列判断正确的是()A.劳动产值为1000元时,工资为50元 B.劳动产值提高100
18、0元时,工资提高150元 C.劳动产值提高1000元时,工资提高90元 D.劳动产值为1000元时,工资为90元【解析】选C.回归系数b的意义为:解释变量每增加1个单位,预报变量平均增加b个单位.3.已知x,y的取值如表:从所得的散点图分析可知:y与x线性相关,且y=1.03x+a,则a=()A.1.30 B.1.13 C.1.65 D.1.80 x014568y1.31.85.66.17.49.3【解析】选B.依题意得,(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)=5.25.又直线y=1.03x+a必过样本中心点(),即点(4,5.25),于是 有5.2
19、5=1.034+a,由此解得a=1.13.1x61y6x,y4.(2017抚州模拟)某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表:广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()世纪金榜导学号99972351 A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元【解析】选B.=3.5(万元),=42(万元),所以 =42-9.43.5=9.1,所以线性回归方程为y=9.4x+9.1,所以当x=6(万元)时,y=9.46+9.1=65.5(万元).42 3 5x
20、4 4926 39 54y4ay bx【加固训练】1.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数 则由该观测数据算得的线性回归方 程可能是()A.y=0.4x+2.3 B.y=2x-2.4 C.y=-2x+9.5 D.y=-0.3x+4.4 x3,y3.5,【解题指南】根据正相关可知斜率为正,再根据线性回 归方程经过点()可求出结果.【解析】选A.由正相关可知斜率为正,故可排除C,D两 项,又因为y=0.4x+2.3经过点(3,3.5),故A项正确.x,y2.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.
21、311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得线性回归方程y=bx+a,其中b=0.76,a=.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年 支出为()A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元 y bx【解题指南】点()一定在回归直线上.【解析】选B.由题意得 所以a=8-0.7610=0.4,所以y=0.76x+0.4,把x=15代入得到y=11.8.x,y8.2 8.6 10.0 11.3 11.9x1056.27.5 8.0 8.5 9.8y85，3.(2017淮北模拟)正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高x(cm)的线性回归方程为y=0.72x-58.2,张刚同学(20岁)身高178cm,他的体重应该在_kg左右.【解析】利用线性回归方程对身高178cm的人的体重进行预测,当x=178时,y=0.72178-58.2=69.96(kg).答案:69.96