1、 数 学 试 卷 注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式样本数据x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知全集U1，2，3，a，集合M1，3若UM2，5，则实数a的值为2设复数z满足z(1i)24i，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数为 3甲、乙两位选
2、手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：选手第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是S1I2While S100II2SSIEnd WhilePrint I（第5题图）4从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是5执行如图所示的伪代码，输出的结果是 6已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l，m给出下列命题：lm； lm； ml； lm其中正确的命题是 (填写所有正确命题的序号)7设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2
3、an2，则 8设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为9如图，已知A，B分别是函数f(x)sinx(0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且AOB，则该函数的周期是10已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x2，则不等式f(x1)2的解集是OyxAB（第9题图）ABCDM（第11题图）11如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2若3，则 12在平面直角坐标系xOy中，圆M：(xa)2(ya3)21(a0)，点N为圆M上任意一点若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小
4、值为13设函数f(x)g(x)f(x)b若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为 14若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)在ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边若向量m(a，cosA)，向量n(cosC，c)，且mn3bcosB（1）求cosB的值；（2）若a，b，c成等比数列，求的值16(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱BC上一点 （1）若ABAC，D为棱BC的中点，求证：平面A
5、DC1平面BCC1B1；（2）若A1B平面ADC1，求的值 （第16题图）ABCDA1B1C117 (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点 OxyFPQ（第17题图）若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证： OPOQ18(本小题满分16分)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，ADBC，ADC90，AB5千米，BC8千米，CD3千米现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，
6、乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围（第18题图）CBAD19(本小题满分16分)设函数f(x)x3mx2m(m0) （1）当m1时，求函数f(x)的单调减区间； （2）设g(x)|f(x)|，求函数g(x)在区间0，m上的最大值；（3）若存在t0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围 20(本小题满分1
7、6分)已知数列an的前n项的和为Sn，记bn （1）若an是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数 当3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值； 求证：存在唯一的正整数n，使得an+1bnan+2 （2）设数列an是公比为q(q2)的等比数列，若存在r，t(r，tN*，rt)使得，求q的值 数学附加题 注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答
8、卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲APOHC（第21题A图）B如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A， H是OC的中点，AHBC（1）求证：AC是PAH的平分线；（2）求PC的长B选修42：矩阵与变换已知曲线C：x22xy2y21，矩阵A所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程 C选修44：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合已知椭圆C的参数方程为（为参数），点M的极坐标为(1，)若P是椭圆C上任意一点，试求PM的最大值，并求出此时点P的直角坐标D选修45
9、：不等式选讲求函数f(x)5的最大值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望23（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线yx2(x0)上已知A(0，1)，Pn(x，y)，nN*记直线APn的斜率为kn （1）若k12，求P1的坐标；（2）若 k1为偶数，求证：kn为偶数数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供
10、参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）15 23i 30.02 4 58 674 8 94 101，3 11 123 13(1，2) 14 二、解答题（本大题共6小
11、题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)解：（1）因为mn3bcosB，所以acosCccosA3bcosB由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA3sinBcosB，3分所以sin(AC)3sinBcosB，所以sinB3sinBcosB因为B是ABC的内角，所以sinB0，所以cosB7分（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2ac由正弦定理，得sin2BsinAsinC 9分因为cosB，B是ABC的内角，所以sinB11分又14分16(本小题满分14分)证明：（1）因为ABAC，点D为BC中点，所以ADB
12、C 2分 因为ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以BB1平面ABC 因为AD平面ABC，所以BB1AD 4分 因为BCBB1B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1， 所以AD平面BCC1B1 因为AD平面ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B1 6分(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点 8分因为A1B平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1平面A1BCOD，所以A1BOD 12分因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以1 14分17(本小题满分14分)解：（1）由题意，得，1，解得a26，b23所以椭圆的方程为1 2分（2）解法一 椭圆C的右焦点F(
13、，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)4分由方程组解得或 所以点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，所以PQ 6分因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，OPQ的面积也为综上所述，OPQ的面积为 8分解法二 椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)4分把切线方程 y(x)代入椭圆C的方程，消去y得5x28x60设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2 由椭圆定义可得，PQPFFQ2ae( x1x2)26分因为O到直线PQ的距离为，所以OP
14、Q的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，所以OPQ的面积为综上所述，OPQ的面积为 8分解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ 10分(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0因为直线与圆相切，所以，即m22k22将直线PQ方程代入椭圆方程，得(12k2) x24kmx2m260.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x212分因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)km()m
15、2将m22k22代入上式可得0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 14分解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0xy0y20，且xy2 (i)当y00时，则直线PQ的直线方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ 10分(ii) 当y00时，由方程组消去y得(2xy)x28x0x86y0设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2 12分所以x1x2y1y2x1x2因为xy2，代入上式可得0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 14分18(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD12千米 由题可知|， 2分解得v 4分(2)
16、解法一：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于先乙到达D地，故2，即v8 6分当0vt5，即0t时，f(t)(6t)2(vt)226tvtcosDAB(v2v36) t2因为v2v360，所以当t时，f(t)取最大值，所以(v2v36)()225，解得v 9分当5vt13，即t时，f(t)(vt16t)29(v6) 2 (t)29因为v8，所以，(v6) 20，所以当t时，f(t)取最大值，所以(v6) 2 ()2925，解得v 13分当13vt16， t时，f(t)(126t)2(16vt)2，因为126t0，16vt0，所以当f(t)在(，)递减，所以当t时，f(t)取最大值，(
17、126)2(16v)225，解得v 因为v8，所以 8v 16分解法二：设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于先乙到达D地，故2，即v8 6分以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系， 当0vt5时，f(t)(vt6t)2(vt)2由于(vt6t)2(vt)225，所以(v6)2(v)2对任意0t都成立，所以(v6)2(v)2v2，解得v 9分当5vt13时，f(t)(vt16t)232由于(vt16t)23225，所以4vt16t4对任意t都成立，即对任意t都成立，所以解得v 13分当13vt16即t，此时f (t)(126t)2(16vt)2由及知：8v，于是0126t12124
18、，又因为016vt3，所以f (t)(126t)2(16vt)2423225恒成立综上可知8v 16分19(本小题满分16分)解：（1）当m1时，f(x)x3x21f (x)3x22xx(3x2)由f (x)0，解得x0或x所以函数f(x)的减区间是(，0)和(，) 2分（2）依题意m0因为f(x)x3mx2m，所以f (x)3x22mxx(3x2m)由f (x)0，得x或x0 当0x时，f (x)0，所以f(x)在(0，)上为增函数；当xm时，f (x)0，所以f(x)在(，m)上为减函数；所以，f(x)极大值f()m3m 4分当m3mm，即m，ymaxm3m6分当m3mm，即0m时，yma
19、xm综上，ymax 8分（3）设两切点的横坐标分别是x1，x2则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为y(x13mx12m)(3x122mx1)(xx1)，y(x23mx22m)(3x222mx2)(xx2) 10分将(2，t)代入两条切线方程，得t(x13mx12m)(3x122mx1)(2x1)，t(x23mx22m)(3x222mx2)(2x2)因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t(x3mx2m)(3x22mx)(2x)有且仅有不相等的两个实根12分整理得t2x3(6m)x24mxm设h(x)2x3(6m)x24mxm，h (x)6x22(6m)x4m2(3xm)(x
20、2)当m6时，h (x)6(x2)20，所以h(x)单调递增，显然不成立当m6时， h (x)0，解得x2或x列表可判断单调性，可得当x2或x，h(x)取得极值分别为h(2)3m8，或h()m3m2m 要使得关于x的方程t2x3(6m)x24mxm有且仅有两个不相等的实根，则t3m8，或tm3m2m 14分因为t0，所以3m80，（*），或m3m2m0（*）解（*），得m，解（*），得m93或m93因为m0，所以m的范围为(0，93，) 16分20(本小题满分16分)解：（1）因为3b1，2b2，b3成等差数列， 所以4b23b1b3，即43(2ad)， 解得， 4分 由an1bnan2，得a
21、nda(n1)d，整理得 6分解得n， 8分由于1且0 因此存在唯一的正整数n，使得an1bnan2 10分（2）因为，所以 设f(n)，n2，nN*则f(n1)f(n)，因为q2，n2，所以(q1)n22(q2)n3n2310，所以f(n1)f(n)0，即f(n1)f(n)，即f(n)单调递增12分所以当r2时，tr2，则f(t)f(r)，即，这与互相矛盾所以r1，即 14分若t3，则f(t)f(3) ，即，与相矛盾于是t2，所以，即3q25q50又q2，所以q 16分 数学附加题参考答案及评分标准 说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标
22、准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲证明：(1)连接AB因为PA是半圆O的切线，所以PACABC因为BC是圆O的直径，所以ABAC又因为AHBC，所以CAHABC，所以P
23、ACCAH，所以AC是PAH的平分线 5分(2)因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH3，CH1又因为AHBC，所以AH2BHHC3，所以AH在RtAHC中，AH，CH1，所以CAH30由(1)可得PAH2CAH60，所以PA2由PA是半圆O的切线，所以PA2PCPB，所以PC(PCBC)(2)212，所以PC2 10分B选修42：矩阵与变换解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A对应的变换下得到点Q(x，y)则 ， 即x2yx，xy，所以xy，y 5分代入x22xy2y21，得y22y2()21，即x2y22，所以曲线C1的方程为x2y22 10分C选修44：坐标系与参数方程解
24、：M的极坐标为(1，)，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cos，sin)，所以PM，sin1，1 5分当sin时，PMmax，此时cos所以，PM的最大值是，此时点P的坐标是(，)10分D选修45：不等式选讲 解：函数定义域为0，4，且f(x)0 由柯西不等式得52()2()()(5)2，5分 即274(5)2，所以56 当且仅当5，即x时，取等号所以，函数f(x)5的最大值为6 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 22（本小题满分10分）解：（1）记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48 2分X是奇数的个数有28，所以P(A)答：X是奇数的概率为 4分（2
25、） X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9当 X3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X3)；当 X4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X4)；当 X5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X5)； 当 X6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X6)； 当 X7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X7)； 当 X8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X8)； 当 X9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X9)；8分所以X的概率分布列为：X3456789PE(X)3456789 10分23（本小题满分10分）解：（1）因为k12，所以2，解得x01，y01，所以P1的坐标为(1，1) 2分（2）设k12p(pN*)，即2p，所以x2px010，所以x0p 4分因为y0x02，所以knx， 所以当x0p时，kn(p)n()n(p)n(p)n6分同理，当 x0p时，kn(p)n(p)n 当n2m(mN*)时， kn2Cpn2k(p21)k，所以 kn为偶数当n2m1(mN)时，kn2Cpn2k(p21)k，所以 kn为偶数综上， kn为偶数 10分