1、第一章集合与常用逻辑用语第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础梳理1命题 p 且 q，p 或 q，非 p 的真假判断pqp 且 qp 或 q非 p真真_真假_假真_假假_真真假假真假假真真假假真2.全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词(2)含有_的命题，叫作全称命题3存在量词与特称命题(1)“_”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词(2)含有_的命题叫作特称命题全称量词有些存在量词1判定全称命题为真，需证明对任意 xM，p(x)恒成立；判定全称命题为假，我们只需找到
2、一个 xM，使 p(x)不成立即可2判定特称命题为真，只需找到一个 xM，使 p(x)成立即可；判定特称命题为假，需证明对任意 xM，p(x)均不成立4全称命题与特称命题的否定(1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的_是正确的全称命题的否定是_命题(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质实际上是要说明这个特称命题的_是正确的，特称命题的否定是_命题否定特称否定全称1一种关系逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补
3、”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题2两类否定(1)非(p 且 q)(非 p)或(非 q)(2)非(p 或 q)(非 p)且(非 q)3三句口决p 且 q 全真为真，p 或 q 有真即真，非 p 与 p 真假相反四基自测1(基础点：复合命题真假)已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题非 p，非 q，p 或 q，p 且 q 中真命题的个数为()A1 B2C3 D4答案：B2(基础点：特称命题的否定)设命题 p：存在 nN，n22n，则非 p 为()A任意 nN，n22nB存在 nN，n22nC任意 nN，n22nD存在 nN，n22n答案：C3(基础点：全称命题的否定)若
4、命题 p：任意 xR，x22x20，其非 p 为()A任意 xR，x22x20B存在 xR，x22x20C任意 xR，x22x20D存在 xR，x22x20答案：B4(易错点：含有量词命题的真假)给出下列命题：任意 xN，x3x2；所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0；存在 xR，x2x10；存在一个四边形，它的对角线互相垂直则以上命题的否定中，真命题的序号为_答案：考点一 含有逻辑联结词的命题真假挖掘 1 判断复合命题的真假/自主练透例 1(1)设有下面四个命题p1：若复数 z 满足1zR，则 zR；p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2R
5、，则 z1z2；p4：若复数 zR，则zR.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4解析 设复数 zabi(a，bR)，对于 p1，1z1abi abia2b2R，b0，zR，p1 是真命题；对于 p2，z2(abi)2a2b22abiR，ab0，a0 或 b0，p2 不是真命题；对于 p3，设 z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，则 z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dxcy)iR，dxcy0，取 z112i，z212i，z1z2，p3 不是真命题；对于 p4，zabiR，b0，zabiaR，p4 是真命题故选 B.答案 B(2)(2020太原模拟
6、)已知命题 p：存在 xR，x2x10；命题 q：若 ab，则1a1b，则下列命题中为真命题的是()Ap 且 qBp 且(非 q)C(非 p)且 qD(非 p)且(非 q)解析 x2x1(x12)234340，所以存在 xR，使 x2x10 成立，故p 为真命题，非 p 为假命题，又易知命题 q 为假命题，所以非 q 为真命题，由复合命题真假判断的真值表知 p 且(非 q)为真命题，故选 B.答案 B破题技法 复合命题的真假判断方法解读适合题型直接法(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假能够顺利分解为简单命题转化法根
7、据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性原命题的真假性不易判断拓展 含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p 或 q 真p，q 至少一个真(非 p)且(非 q)假(2)p 或 q 假p，q 均假(非 p)且(非 q)真(3)p 且 q 真p，q 均真(非 p)或(非 q)假(4)p 且 q 假p，q 至少一个假(非 p)或(非 q)真(5)非 p 真p 假；非 p 假p 真挖掘 2 利用复合命题真假求参数/互动探究例 2(2020湖北武汉模拟)已知命题 p：关于 x 的方程 x2ax40 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y2x2ax4 在3，)上是增函数若 p 或 q 是真命
8、题，则实数 a 的取值范围是_解析 若命题 p 是真命题，则 a2160，即 a4 或 a4；若命题 q 是真命题，则a43，即 a12.因为 p 或 q 是真命题，所以 aR，即 a 的取值范围是(，)答案(，)破题技法 根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)；(3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围1在例 2 条件下，若 p 且 q 为真命题，求实数 a 的取值范围解析：p 且 q 为真命题，p 和 q 均为真命题，a4或a4，a12.a 的取值范围为12，
9、44，)2在例 2 条件下，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，求实数 a 的取值范围解析：由 p 或 q 为真命题，p 且 q 是假命题知，命题 p 和 q 一真一假若 p 真 q假，则 a12；若 p 假 q 真，则4a4.故 a 的取值范围是(，12)(4，4)考点二 全称命题、特称命题挖掘 1 全称命题、特称命题的真假判断/自主练透例 1(1)下列命题中的假命题是()A任意 xR，x20B任意 xR，2x10C存在 xR，lg x1D存在 xR，sin xcos x2解析 对于 sin xcos x 2sin(x4)22，D 为假命题答案 D(2)已知命题 p：存在 xR，
10、x2x10；命题 q：若 a2b2，则 ab.下列命题为真命题的是()Ap 且 q Bp 且(非 q)C(非 p)且 qD(非 p)且(非 q)解析 方程 x2x10 的根的判别式(1)2430 恒成立，p 为真命题对于命题 q，取 a2，b3，223，q 为假命题，非 q 为真命题因此 p 且(非 q)为真命题选 B.答案 B破题技法 全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二真所有对象使命题真否定为假全称命题假存在一个对象使命题假否定为真真存在一个对象使命题真否定为假特称命题假所有对象使命题假否定为真挖掘 2 全称命题、特称命题的否定/互动探究例 2(1)命题“任意
11、x0，)，x3x0”的否定是()A任意 x(，0)，x3x0B任意 x(，0)，x3x0C存在 x0，)，x3x0D存在 x0，)，x3x0答案 C(2)命题“存在 x(0，)，ln xx1”的否定是()A任意 x(0，)，ln xx1B任意 x(0，)，ln xx1C存在 x(0，)，ln xx1D存在 x(0，)，ln xx1解析 该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.答案 A破题技法 全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写(2)否定结论：对原命题的结论进行否定考点三 根据量词的意义求
12、参数挖掘 1“任意”恒成立问题/互动探究例 1(1)对于任意实数 x，不等式(a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数 a的取值范围是()A(，2)B(，2C(2，2 D(2，2)解析 当 a2 时，有40，对任意 xR 恒成立当 a2 时，有a20，2（a2）24（a2）（4）0，解得a2，2a2，2a2.综上可得2a2.故选 C.答案 C(2)已知函数 f(x)exxmx(e 为自然对数的底数)，若 f(x)0 在(0，)上恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，2)B(，e)C(，e24)D(e24，)解析 f(x)exxmx0 在(0，)上恒成立，mexx2在(0，)上恒成立，令
13、g(x)exx2，x0，g(x)（x22x）exx4（x2）exx3，当 0 x2 时，g(x)0，g(x)单调递减；当 x2 时，g(x)0，g(x)单调递增则当 x2 时，g(x)取得最小值，且最小值为 g(2)e24，me24.则实数 m 的取值范围是(，e24)故选 C.答案 C破题技法 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决挖掘 2“存在”有解问题/互动探究例 2 若命题“存在 xR，使得 x2(a1)x10”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析 由题意得(a1)240，a3 或 a1.答案(，1)(3，)破题技法 单变量对“任意”恒成立，“存在”成立问题(1)任意 xm，n，af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.(2)存在 x0m，n，使 af(x)成立af(x)min，af(x)成立af(x)max.(2020长沙模拟)已知命题“任意 xR，ax24x10”是假命题，则实数 a 的取值范围是()A(4，)B(0，4)C(，4 D0，4)解析：任意 xR，ax24x10，恒成立，当 a0 时，显然不成立，当a0424a0时，a4，故原命题为假：其解集为(，4故选 C.答案：C