1、第一章集合与常用逻辑用语第一节 集合的概念及其运算基础梳理1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：_、_、_(2)元素与集合的两种关系：属于，记为_，不属于，记为_(3)集合的三种表示方法：_、_、_确定性无序性互异性列举法描述法图示法(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_NN或N*Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系 文字语言符号语言相等集合 A 与集合 B 中的所有元素_且_AB子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素_相同ABBAAB或BA真子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B中至少有一个元素不是 A 中的元素_空集空集是_的子集，是_的真
2、子集AB(B)A B 或 B A任何集合任何非空集合3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示AB_ AB_UA_x|xA或xBx|xA且xBx|xU且xA1集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)2集合的子集个数若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，非空子集有 2n1 个，真子集有2n1 个3两个防范(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防
3、止漏解(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性四基自测1(基础点：元素与集合的关系)若集合 AxN|x 10，a2 2，则下面结论中正确的是()AaA BaACaADaA答案：D2(基础点：补集运算)已知集合 Ax|x2160，则RA()Ax|x4 Bx|4x4Cx|4x4 Dx|x4x|x4答案：D3(易错点：定义不透)已知集合 A0，1，2，集合 B 满足 AB0，1，2，则集合 B 有_个答案：84(易错点：交集运算)已知集合 MxN|4x2，Nx|x2x60，则 MN_答案：0，1考点一 集合的概念挖掘 1 求集合元素的个数/自主练透例 1(1)(2018高考全国卷)已
4、知集合 A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A 中元素的个数为()A9 B8C5 D4解析 将满足 x2y23 的整数 x，y 全部列举出来，即(1，1)，(1，0)，(1，1)，(0，1)，(0，0)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，共有 9 个故选 A.答案 A(2)设集合 A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则 M 中元素的个数为()A3 B4C5 D6解析 a1，2，3，b4，5，则 M5，6，7，8，即 M 中元素的个数为 4，故选 B.答案 B破题技法 与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么(2)看这些元素满足什么限制条件(
5、3)注意元素的三个特性，特别是互异性挖掘 2 利用元素特性求参数/互动探究例 2 设集合 Ax|(xa)21，且 2A，3A，则实数 a 的取值范围为_解析 由题意得（2a）21，（3a）21，解得1a3，a2或a4.结合数轴得 1a2.答案(1，2破题技法 1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性2集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意1将例 1(1)改为已知集合 A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则 AB 中元素的个数为()A3 B2C1 D0解析：A 表示圆 x2y21 上的点的集合，B 表示直线 yx 上
6、的点的集合，直线 yx 与圆 x2y21 有两个交点，所以 AB 中元素的个数为 2.答案：B2将例 2 改为集合x|x2ax0有两个元素 0 和 1.则 a 的值为_解析：0 和 1 为方程 x2ax0 的两根01a，a1.答案：1考点二 集合间的基本关系挖掘 1 判断集合间的关系/自主练透例 1 已知集合 Mx|xk4 4，kZ，集合 Nx|xk8 4，kZ，则()AMN BMNCNMDMNN解析 由题意可知，Mx|x（2k4）84，kZx|x2n8 4，nZ，Nx|x2k8 4或x（2k1）84，kZ，所以 MN，故选 B.答案 B破题技法 求集合间关系的常用方法技巧方法解读适合题型列举
7、法利用列举法，根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系集合为有限集转化法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系集合为无限集挖掘 2 利用集合关系求参数/互动探究例 2(1)已知集合 Ax|x22x30，xN，则集合 A 的真子集的个数为()A7 B8C15 D16解析 Ax|(x3)(x1)0，xN1，2，3，真子集个数为 2317，故选 A.答案 A(2)已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围为
8、_解析 因为 BA，所以若 B，则 2m1m1，此时 m2.若 B，则2m1m1，m12，2m15.解得 2m3.由、可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m3.答案(，3破题技法 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解2已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题若将例 2(2)中的集合 A 改为 Ax|x2 或 x5，如何求解？解析：因为 BA，所以当 B时，即 2m1m1 时，m2，符合题意当 B时，m12m1，m15，或m12m1，2m12，解
9、得m2，m4，或m2，m12，即 m4.综上可知，实数 m 的取值范围为(，2)(4，)考点三 集合的运算挖掘 1 集合的基本运算/自主练透例 1(1)(2019高考全国卷)已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则 MN()Ax|4x3 Bx|4x2Cx|2x2 Dx|2x3解析 由 x2x60，得(x3)(x2)0，解得2x3，即 Nx|2x3，MNx|2x2故选 C.答案 C(2)(2019高考全国卷)已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，则 BUA()A1，6 B1，7C6，7 D1，6，7解析 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，U
10、A1，6，7又B2，3，6，7，BUA6，7故选 C.答案 C破题技法 解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)对集合化简有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用集合运算常用的数形结合形式有数轴和 Venn 图挖掘 2 利用集合运算求参数/互动探究例 2(1)已知 A1，2，3，4，Ba1，2a若 AB4，则 a()A3 B2C2 或 3 D3 或 1解析 AB4，a14 或 2a4，若 a14，则 a3，此时 B4，6，符合题
11、意；若 2a4，则 a2，此时 B3，4，不符合题意，综上，a3，故选 A.答案 A(2)(2020广州模拟)已知 xR，集合 A0，1，2，4，5，集合 Bx2，x，x2，若 AB0，2，则 x()A2 B0C1 D2解析 因为 A0，1，2，4，5，Bx2，x，x2，且 AB0，2，所以x20 x2，或x0，x22，当 x2 时，B0，2，4，AB0，2，4(舍)；当 x0 时，B2，0，2，AB0，2综上，x0.故选 B.答案 B破题技法 根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先
12、要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况1已知集合 AxR|x2x60，BxR|ax10，若 BA，则实数 a的值为()A.13或12B13或12C.13或12或 0 D13或12或 0答案：D2已知集合 Ax|x2x120，Bx|2m1xm1，且 ABB，则实数 m 的取值范围为()A1，2)B1，3C2，)D1，)解析：由 x2x120，得(x3)(x4)0，即3x4，所以 Ax|3x4又 ABB，所以 BA.当 B时，有 m12m1，解得 m2；当 B时，有32m1，m14，2m1m1，解得1m2.综上，m 的取值范围为1，)答案：D考点四 集合的创新问题挖掘
13、1 集合思想与方法的应用/互动探究例 1(1)(2019高考全国卷)西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6C0.7 D0.8解析 法一：设调查的 100 位学生中阅读过西游记的学生人数为 x，则 x806090，解得 x70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
14、701000.7.故选 C.法二：用 Venn 图表示调查的 100 位学生中阅读过西游记和红楼梦的人数之间的关系如图：易知调查的 100 位学生中阅读过西游记的学生人数为 70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 701000.7.故选 C.答案 C(2)某店统计了两天的售出商品的情况第一天售出 19 种商品，第二天售出了 13种商品这两天都售出的商品有 3 种第一天售出，但第二天未售出的商品有_种；这两天共售出_种商品解析 如图，设第一天售出的商品为集合 A，则 A 中有 19 个元素，第二天售出的商品为集合 B，则 B 中有 13 个元素，则 AB 中共有 3 个
15、元素第一天售出，第二天未售出的共有 19316 种这两天共售出的种数为 1913329 种答案 16 29破题技法 将文字语言转换为符号语言，即集合语言，借助于图形语言，即 Venn图解决实际问题挖掘 2 集合的新定义/互动探究例 2(2020中原名校联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”对于集合 A1，12，1，Bx|ax21，a0，若 A 与B 构成“全食”或构成“偏食”，则 a 的取值集合为_解析 当 a0 时，B 为空集，满足 BA，此时 A 与 B 构成“全食”；当 a0时，B 1a
16、，1a，由题意知 1a1 或 1a12，解得 a1 或 a4.故 a 的取值集合为0，1，4答案 0，1，4破题技法 解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的定义一种新的集合运算：ABx|xA，且 xB若集合 Ax|x24x30，Bx|2x4，则按运算，BA 等于()Ax|3x4 Bx|3x4Cx|3x4 Dx|2x4解析：Ax|1x3，Bx|2x4，由题意知，BAx|xB，且 xAx|3x4答案：B