1、第七章章末综合检测(学生用书为活页试卷解析为教师用书独有)(检测范围：第七章)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()A7 B6 C5 D3解析A依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有(r3r)384，解得r7.2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k()A1 B. C. D.解析Dk abk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1
2、,0)(1,0,2)(3,2，2)，两向量垂直，3(k1)2k220，k.3如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则()AEF与GH平行BEF与GH异面CEF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上DEF与GH的交点M一定在直线AC上解析D依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E、F、G、H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所
3、以点M一定在AC上4将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A6a2 B12a2C18a2D24a2解析B依题意，小正方体的棱长为，所以27个小正方体的表面积总和为276218a2，故表面积增加量为18a26a212a2.5设m，n是空间两条直线，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是()A当n时，“n”是“”成立的充要条件B当m时，“m”是“”的充分不必要条件C当m时，“n”是“mn”的必要不充分条件D当m时，“n”是“mn”的充分不必要条件解析CC中，当n时，直线m，n的位置关系可能平行，可能异面若mn，则n或者n，所以n是mn的既不充分也不必要条件，故选C.6
4、已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是()A28836 B60C28872 D28818解析A依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于86632828836，故选A.7关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn.其中真命题有()A1个 B2个 C3个 D4个解析B中两直线可以平行、相交或异面，故不正确；中两直线可以平行、相交或异面，故不正确；中，由条件可得m，
5、进而有mn，故正确；中，由条件可得m与平行或m在内，故有mn.综上正确8一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为，a，b的三条线段，则ab的最大值为()A. B. C. D3解析C构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知a2y21，b2x21，x2y23，即a2b2x2y22325，又5a2b22ab，所以ab，当且仅当ab时取等号，所以选C. 9已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中点，若xy，则x、y的值分别为()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1解析C如图，()，所以x，y.10在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1
6、与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析D如图，连接A1C1，B1D1，交于点O1，由长方体的性质易知C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角BC2，CC11，BC1，又C1O1A1C1，在RtBO1C1中，sin C1BO1.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()AAC BBD CA1D DA1A解析B以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E，(1,1,0)，(1,1,0)，
7、(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即CEBD.12连接球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M；弦AB、CD可能相交于点N；MN的最大值为5；MN的最小值为1.其中真命题的个数是 ()A1 B2 C3 D4解析C易求得M、N到球心O的距离分别为OM3，ON2，若两弦交于M，则ONMN，在RtONM中，有ONOM，符合题意，故正确若两弦交于N，同推得，OMON，矛盾，故错当M、O、N共线，M、N在O同侧，则MN取最小值1；M、N在O两侧，则MN取最大值
8、5，故正确二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上)13.如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只要MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.(答案不唯一)【答案】M位于线段FH上14已知、是两个不同的平面，m、n是平面及平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn，m，n，以其中三个论断作为条件，余下一
9、个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.解析同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行【答案】15有6根木棒，已知其中有两根的长度为cm和cm，其余四根的长度均为1 cm，用这6根木棒围成一个棱锥，则这样的三棱锥体积为_cm3.解析由题意知该几何体如图所示，SASBSCBC1，AB，AC，则ABC90，取AC的中点O，连接SO、OB，由已知可解得SOSA，OBAC，又SB1，所以SOB90，又SOAC，所以SO底面ABC，所以所求三棱锥的体积V.【答案】16(2013赣州模拟)三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，给出以
10、下结论：异面直线SB与AC的夹角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离，为a，正确【答案】三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)如图所示，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线BD把ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上(1)求证：平面ACD平面ABC; (2)求三棱锥ABCD的体积解析(1)AE平面B
11、CD，AECD.又BCCD，且AEBCE，CD平面ABC.又CD平面ACD，平面ACD平面ABC.(2)由(1)知，CD平面ABC，又AB平面ABC，CDAB.又ABAD，CDADD，AB平面ACD.VABCDVBACDSACDAB.又在ACD中，ACCD，ADBC4，ABCD3，AC.VABCD33.18(12分)(2013西安模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)证明AF平面A1ED；(2)求平面A1ED与平面FED夹角的余弦值解析如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得D(0,
12、2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1)已知(1,2,1)，于是0，0，因此AFEA1，AFED，又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(2)设平面FED的法向量u(x，y，z)，则，即不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(1)可知，为平面A1ED的一个法向量于是cosu，所以平面A1ED与平面FED夹角的余弦值是.19.(12分)如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB2BF，DE平面ABCD，G为EF的中点(1)求证：CF平面ADE；(2)求证：平面ABG平面CDG；(3)求二面角CFGB的余弦值解析(1)BFDE，BCAD，BFBCB，DEADD，平面CB
13、F平面ADE.又CF平面CBF，CF平面ADE.(2)如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接GM、GN、MN、AC、BD，设AC、MN、BD交于O，连接GO.四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB2BF，DE平面ABCD，G为EF的中点，则GO平面ABCD，GOMN，GNMG.又GNDC，ABDC，GNAB.又ABMGM，GN平面GAB.又GN平面CDG，平面ABG平面CDG.(3)由已知易得CGFG，由(2)知GOEF，CGO为二面角CFGB的平面角，cos CGO.20(12分)如图所示，在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2.E，F，G分别为线段
14、PC，PD，BC的中点，现将PDC折起，使平面PDC平面ABCD.(1)求证：PA平面EFG；(2)求二面角GEFD的大小解析(1)PEEC，PFFD，EFCD.又CDAB，EFAB，EF平面PAB.同理，EG平面PAB.又EFEGE，平面PAB平面EFG，而PA在平面PAB内，PA平面EFG.(2)如图，以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，G(1,2,0)，易知(2,0,0)为平面EFD的一个法向量设平面EFG的一个法向量为n(x，y，z)，又(0，1，0)，(1,1，1
15、)，由得即取x1，得n(1,0,1)设所求二面角为，cos ，45，即二面角GEFD的平面角的大小为45.21(12分)如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点M是棱BB1上一点(1)求证：B1D1平面A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.解析(1)由直四棱柱概念，得BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD.而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，B1D1平面A1BD.(2)BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC.又BDAC，且BDBB1B，AC平面BB1D1D.而MD平面BB1D
16、1D，MDAC.(3)当点M为棱BB1的中点时，取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示N是DC的中点，BDBC，BNDC.又DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD平面DCC1D1，BN平面DCC1D1.又可证得，O是NN1的中点，BM綊ON，即四边形BMON是平行四边形，BNOM，OM平面CC1D1D，OM平面DMC1，平面DMC1平面CC1D1D.22(14分)在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD60，A1AAB，E为BB1延长线上的一点，D1E面D1AC.(1)求二面角EACD1的大小；
17、(2)在D1E上是否存在一点P，使A1P平面EAC？若存在，求D1PPE的值；若不存在，说明理由解析设AC与BD交于O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB2，则A(，0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，D(0，1,0)，D1(0，1,2)，A1(，0,2)(1)设E(0,1,2h)，则(0,2，h)，(2，0,0)，(，1，2)，D1E平面D1AC，D1EAC，D1ED1A，0，0，22h0，h1，即E(0,1,3)，(0,2,1)，(，1,3)设平面EAC的法向量为m(x，y，z)，则m，m，令z1，得m(0,3，1)，cosm，二面角EACD1的大小为45.(2)设()，则，(，1,0).A1P平面EAC，m，m0，03(1)0，.存在点P使A1P平面EAC，此时D1PPE32.