1、1.1.3 导数的几何意义目标定位重点难点1.理解导函数的定义2.了解导数的几何意义，会求曲线在某点处的切线斜率，进而求出切线方程重点：导数的几何意义难点：导数的几何意义的理解1导数的几何意义曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数f(x0)的几何意义为_，相应地，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_切线的斜率yf(x0)f(x0)(xx0)2yf(x)的导函数当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作y，即f(x)y_.limx0fxxfxx1函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的
2、几何意义是()A在点x0处的斜率B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率【答案】C2（多选题）曲线yx2在x0处的()A切线斜率为0B切线方程为y2xC没有切线D切线方程为y0【答案】AD3已知曲线yx3在点(2,8)处的切线方程为12xay160，则实数a的值是()A1B1C2D2【答案】B4曲线yx23x在点(2,10)处的切线的斜率是_【答案】7【例1】求曲线yx32x在点(1，1)处的切线方程【解题探究】根据导数的几何意义求切线的斜率即可求曲线在某点处的切线方程【解析】yli
3、mx0 xx32xxx32xx3x22，则斜率为y|x11.所以切线方程为y1x1，即xy20.求曲线在某点处的切线，关键是利用导数求出切线斜率1求曲线y1x在点2，12 处的切线方程【解析】因为y x2 limx012x12x limx0122x14，所以曲线y1x在点2，12 处的切线斜率为14.由直线的点斜式方程可得切线方程为y1214(x2)，即x4y40.已知过曲线外一点，求切线方程【例2】求过点A(2,0)且与曲线y1x相切的直线方程【解题探究】设出切点，根据导数的几何意义求切线在某一点处的斜率，把点代入切线方程求切点坐标【解析】设P(x0，y0)(x00)为切点，因为ylimx0
4、1xx1xx1x2，则切线的斜率为y|xx01x20，所以切线方程为yy01x20(xx0)，即y1x01x20(xx0)又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，得1x01x20(2x0)，解得x01，y0 1x0 1，即切点为(1,1)，故所求的切线方程为y1(x1)，即xy20.求过曲线外一点的切线方程时，设切点坐标，求出切线方程，再把已知点代入切线方程求得切点坐标，进而求得切线也可将切线的斜率用两点式和切点处的导数分别表示出来，求出切点，进而求得切线2试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程【解析】由已知得yx2xx，limx0yx2x，即y2x.设所求切线的切点为A(x0，
5、y0)，点A在曲线yx2上，y0 x20.A是切点，过点A的切线斜率y|xx02x0.所求的切线过点P(3,5)和A(x0，y0)，其斜率为y05x03x205x03，则2x0 x205x03.解得x01或x05，从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010.所求切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)，即y2x1和y10 x25.【例3】已知曲线yx2在点P处的切线分别满足下列条件，求点P的坐标(1)平行于直线y4x5；(2)与x轴成135的倾斜角【解题探究】设切点坐标，根据导数的
6、几何意义求切线斜率，然后利用条件(平行、倾斜角)求切点坐标求切点坐标【解析】ylimx0yxlimx0 xx2x2x2x，设P(x0，y0)为所求的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，则x02，y04，即P(2,4)(2)因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1，即2x01，得x012，即y014，即P12，14.求切点坐标的步骤（1）设出切点坐标；（2）利用导数或斜率公式求出斜率；（3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；（4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标3已知曲线C：yx33x22x，直线l：ykx且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x00)，求直线
7、l的方程及切点坐标【解析】直线l过原点，则k y0 x0(x00)，由点(x0，y0)在曲线C上，则y0 x303x202x0，所以ky0 x0 x203x02.又y(xx)33(xx)22(xx)(x33x22x)3x2x3x(x)23(x)26xx2x，ylimx0yx3x26x2.所以在(x0，y0)处，曲线C的切线斜率应为ky|xx03x206x02.所以x203x023x206x02，解得x032(x00舍去)此时y038，k14.因此直线l的方程为y14x，切点坐标为32，38.忽略隐含条件致误【示例】已知曲线yax2bx5在点(2,1)处的切线方程为y3x7，求a，b的值【错解】
8、fxxfxxaxx2bxx5ax2bx5x2axbax.ylimx0(2axbax)2axb，所以y|x24ab.所以直线y1(4ab)(x2)与直线y3x7是同一条直线所以4ab3，124ab7，化简得4ab3.到此，少一个条件，问题不可以解决【错因分析】忽视了切点在曲线上这一条件而导致思路受阻【正解】由题可知y2axb，所以y|x24ab.所以直线y1(4ab)(x2)与直线y3x7是同一条直线所以4ab3，124ab7，化简得4ab3.又点(2,1)在曲线上，所以4a2b51.由联立方程组得4ab3，4a2b51，解得a3，b9.【警示】在求切线方程中的参数时，一定要注意切点在曲线上也在
9、切线上这个隐含条件1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k limx0fx0 xfx0 xf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又密切相关f(x0)是导函数yf(x)在xx0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这一点处的导数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出
10、切线方程，然后求出切点1曲线f(x)x23x在点A(1,4)处的切线斜率为()A2 B5 C6 D11【答案】B【解析】f(1)limx0f1xf1xlimx01x231x4x5，即切线斜率为5.故选B2(2017年江西抚州月考)曲线3x2y60在x16处的切线的倾斜角是()A135 B45C45 D135【答案】D【解析】f(x)y3x26，f16 limx0f16x f16xlimx0316x 2631626x1，则函数f(x)在x16处切线的倾斜角为135.3.(2019 年安徽期末)若曲线 y=x2+ax 在点(1,a+1)处的切线与直线 y=7x 平行，则 a=（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】y|x=1=limx0(1+x)2+a(1+x)-(1+a)x=limx0(x+a+2)=a+2，由切线与直线 y=7x 平行，可得 a+2=7，解得 a=5.4(2017年安徽马鞍山期中)如图函数f(x)的图象在点P处的切线为y2x5，则f(2)f(2)_.【答案】1【解析】函数yf(x)的图象在点x2处的切线方程是y2x5，f(2)2，f(2)451，f(2)f(2)211.故答案为1.